5.2菱形-2020-2021学年浙教版八年级数学下册同步提升训练（Word版含解析）

2020-2021年度浙教版八年级数学下册《5.2菱形》同步提升训练（附答案）
1．菱形ABCD的一条对角线的长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．16 B．12 C．12或16 D．无法确定
2．已知菱形的两条对角线长分别为和8cm和10cm，则菱形的面积为（　　）
A．cm2 B．40cm2 C． D．
3．如图，一块三角板放在一张菱形纸片上，斜边与菱形的一边平行，则∠1的度数是（　　）
A．45° B．50° C．60° D．75°
4．如图，已知菱形ABCD中，过AD中点E作EF⊥BD，交对角线BD于点M，交BC的延长线于点F．连接DF，若CF＝2，BD＝4，则DF的长是（　　）
A．4 B．4 C．2 D．5
5．如图，菱形ABCD的面积为24，对角线AC与BD交于点O，E是BC边的中点，EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，则四边形EFOG的面积为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．8
6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝3，OH＝2，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．12 B．18 C．6 D．24
7．下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是菱形 B．四条边相等的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形
8．如图，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，∠ACB＝15°，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．若菱形ABCD的面积为4，则菱形的边长为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4
9．如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　 　．
10．四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE＝，则CE的长为　 　．
11．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形；
⑧如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．
其中，正确的有　 　．（只填写序号）
12．如图，菱形ABCD的边长为17，对角线AC＝30，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G．则EG＝　 　．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为　 　．
14．如图，在菱形ABCD中，点E在CD上，若AE＝AC，∠B＝48°，则∠BAE的大小为　 　．
15．如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，BC＝2，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为　 　．
16．如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD的长为16，点E，F分别是边AD，CD的中点，连接EF并延长与BC的延长线相交于点G，则EG的长为　 　．
17．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC于点E，若AC＝6，BD＝8，则OE＝　 　．
18．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为　 　．
19．在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则AB与CD之间的距离为　 　．
20．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则BH＝　 　．
21．如图，已知?ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2．
（1）求证：?ABCD是菱形．
（2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求AO的长．
22．如图，在?ABCD中，AF是∠BAD的平分线，交BC于点F，与DC的延长线交于点N．CE是∠BCD的平分线，交AD于点E，与BA的延长线交于点M．
（1）试判断四边形AFCE的形状，并说明理由；
（2）若BE⊥ME，证明四边形ABFE是菱形．
23．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当∠BAE为多少度时，四边形AECF是菱形？请说明理由．
24．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，请你先补全图形，再求出当AB＝，BD＝2时，OE的长．
25．如图，在?ABCD中，AB＝2AD，DE平分∠ADC，交AB于点E，交CB的延长线于点F，EG∥AD交DC于点G．
（1）求证：四边形AEGD为菱形；
（2）若∠ADC＝60°，AD＝2，求DF的长．
26．如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，∠ADB的平分线交AB于点F，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC＝，EF：BF＝3，求菱形AEBD的面积．
27．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝DC，连接CF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若∠BAC＝90°，求证：四边形ADCF是菱形．
28．在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F，且BE＝DF．
（1）如图1，求证：?ABCD是菱形；
（2）如图2，连接BD，交AE于点G，交AF于点H，连接EF、FG，若∠CEF＝30°，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图中面积是△BEG面积2倍的所有三角形．
参考答案
1．解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴（x﹣3）（x﹣4）＝0，
∴x1＝3，x2＝4，
当x1＝3时，由菱形的对角线的一条对角线6和菱形的两边3，3不能组成三角形，即不存在菱形，舍去；
当x2＝4时，由菱形的对角线的一条对角线6和菱形的两边4，4能组成三角形，即存在菱形，∴菱形的周长为4×4＝16．
故选：A．
2．解：菱形的面积＝×8×10＝40（cm2），
故选：B．
3．解：如图，
∵EF∥CD，
∴∠GEF＝∠ADC＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADB＝∠BDC＝30°，
∵∠G＝90°，
∴∠1＝60°，
故选：C．
4．解：设CD与EF的交点为H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝BC，∠ADB＝∠CDB，
∵点E是AD中点，
∴AE＝DE＝AD，
在△DEM和△DHM中，
，
∴△DEM≌△DHM（ASA），
∴DE＝DH，
∴DH＝CH，
∵AD∥BC，
∴DE＝CF＝2，
∴AD＝4＝CD＝BC，
∴BF＝6，
∵BD＝4，
∴BC＝CD＝BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠DBC＝60°，
∴∠BFM＝30°，
∴BM＝BF＝3，MF＝BM＝3，
∴DM＝1，
∴DF＝＝＝2，
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，面积＝AC×BD＝24，
∴AC×BD＝48，
∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，
∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，
∵点E是线段BC的中点，
∴EF、EG都是△OBC的中位线，
∴EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，
∴矩形EFOG的面积＝EF×EG＝AC×BD＝×48＝3；
故选：A．
6．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴BD＝2OH，
∵OH＝2，
∴BD＝4，
∵OA＝3，
∴AC＝6，
∴菱形ABCD的面积＝AC?BD＝．
故选：A．
7．解：A．对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意；
B．四条边相等的四边形是菱形，故符合题意；
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形，故不符合题意；
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故不符合题意；
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，AB∥CD，
∴∠EDC＝∠DAB＝2∠ACB＝30°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴CE＝DC＝，
∴菱形ABCD的面积＝AD?CE＝ADAD＝AD2＝4，
∴AD＝2（负值舍去），
则菱形的边长为2．
故选：A．
9．解：∵A，B的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0），
∴OA＝2，OB＝3，AB＝5，
∵菱形ABCD，
∴AD＝AB＝CD＝5，
Rt△AOD中，OD＝＝，
∴D（0，），
∴C（5，），
故答案为：（5，）．
10．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝6，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝6，
∴OB＝BD＝3，
∴OC＝OA＝＝3，
∴AC＝2OA＝6，
∵点E在AC上，OE＝，
∴当E在点O左边时CE＝OC+＝4
当点E在点O右边时CE＝OC﹣＝2，
∴CE＝4或2；
故答案为：4或2．
11．解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；
∵∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是矩形，故②错误；
∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，故③正确；
∵AB＝AC，四边形AEDF是平行四边形，
不能得出AE＝AF，故四边形AEDF不一定是菱形，故④错误；
故答案为：①③．
12．解：连接BD，交AC于点O，如图，
∵菱形ABCD的边长为17，点E，F分别是边CD，BC的中点，
∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝AD＝17，EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝30，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝15，OB＝OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，
∴DE∥BG，BD∥EG，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD＝EG，
在Rt△COD中，∵OC⊥OD，CD＝17，CO＝15，
∴OB＝OD＝8，
∴BD＝2OD＝16，
∴EG＝BD＝16．
故答案为：16．
13．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝12，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴OH＝BD，
∵菱形ABCD的面积＝AC?BD＝×12?BD＝48，
∴BD＝8，
∴OH＝BD＝4；
故答案为：4．
14．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CA平分∠BCD，AB∥CD，
∴∠BAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣48°＝132°，
∴∠ACE＝∠BCD＝66°，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE＝66°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AEC＝114°；
故答案为：114°．
15．解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴GH＝AF，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，
则∠AFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝AB＝×2＝，
∴GH＝，
即GH的最小值为，
故答案为：．
16．解：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵菱形ABCD的边长为10，
∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝DA＝10，
∵点E、F分别是边AD，CD的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴EF∥AC，
∵AC、BD是菱形的对角线，BD＝16，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝8，OA＝OC，
又∵AD∥BC，EF∥AC，
∴四边形CAEG是平行四边形，
∴AC＝EG，
在Rt△AOB中，AB＝10，OB＝8，
∴OA＝OC＝＝6，
∴AC＝2OA＝12，
∴EG＝AC＝12；
故答案为：12．
17．解：∵菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，
∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝BD＝4，AC⊥BD，
∴BC＝＝＝5，
∵OE⊥BC，
∴S△OBC＝×OB×OC＝×BC×OE，
∴OE＝＝＝，
故答案为：．
18．解：由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
∴∠A＝90°，AB＝BE＝7，AD∥BC，BF∥DE，AD＝11，
∴四边形BGDH是平行四边形，
∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE，
∴BG＝BH，
∴四边形BGDH是菱形，
∴BH＝DH＝DG＝BG，
设BH＝DH＝x，则AH＝11﹣x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：72+（11﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴BH＝，
∴四边形BGDH的周长＝4BH＝，
故答案为：．
19．解：如图：作OE⊥AB于E，再反向延长交CD于F．
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝4，AC⊥BD，
∴AB＝＝5，
∵菱形ABCD的面积＝AB?EF＝?AC?BD＝24，
∴EF＝，
故答案为：．
20．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB＝＝5，
∵S菱形ABCD＝?AC?BD，
S菱形ABCD＝DH?AB，
∴DH?5＝?6?8，
∴DH＝．
∴BH＝，
故答案为：3.6
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠ACB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠ACB，
∴AB＝CB，
∴?ABCD是菱形．
（2）解：由（1）得：?ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝5，AO＝CO，
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CBE，
∵AE＝AF＝3，
∴∠AFE＝∠AEF，
又∵∠AEF＝∠CEB，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴CE＝BC＝5，
∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，
∴AO＝AC＝4．
22．解：（1）四边形AFCE是平行四边形，
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC，
∴∠FAD＝∠BFA．
∵AF是∠BAD的角平分线，CE是∠BCD的角平分线，
∴∠FAD＝∠BAD，∠BCE＝∠BCD，
∴∠FAD＝∠BCE，
∴∠BFA＝∠BCE，
∴AF∥CE，
又∵AD∥BC，
∴四边形AFCE的是平行四边形；
（2）如图，∵AF是∠BAD的角平分线，且∠FAD＝∠BFA，
∴∠BFA＝∠BAF，
∴BA＝BF，
∵BE⊥ME，
∴∠BEM＝90°，
∵AF∥CE，
∴∠BOA＝∠BEM＝90°，即BO⊥AF，
又∵在△ABF中，BA＝BF，
∴∠ABE＝∠FBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠FBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴BA＝AE，
∴BF＝AE，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABFE的是平行四边形，
又∵BA＝BF，
∴?ABFE是菱形．
23．解：（1）方法一：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D＝90°，∠BAC＝∠DCA．
由翻折的性质可知：∠EAC＝∠BAC，∠NCF＝∠DCA
∴∠EAC＝∠NCF，
∴AE∥CF，
∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形；
方法二：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D＝90°，∠BAC＝∠DCA．
由翻折的性质可知：∠EAB＝∠BAC，∠DCF＝∠DCA．
∴∠EAB＝∠DCF．
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴DF＝BE．
∴AF＝EC．
又∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）当∠BAE＝30°时，四边形AECF是菱形，
理由：由折叠可知，∠BAE＝∠CAE＝30°，
∵∠B＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣60°＝30°，
即∠CAE＝∠ACE，
∴EA＝EC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
24．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC平分∠BAD．
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：补全图形如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝2，
∴OE＝OA＝2．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠AED＝∠GDE，
∵AE∥DG，EG∥AD，
∴四边形AEGD是平行四边形，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠GDE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴四边形AEGD为菱形；
（2）解：连接AG交DF于H，如图所示：
∵四边形AEGD为菱形，
∴AD＝DG，AG⊥DE，
∵∠ADC＝60°，AD＝2，
∴△ADG是等边三角形，AG＝AD＝2，
∴∠ADH＝30°，AH＝AG＝1，
∴DH＝AH＝，
∴DE＝2DH＝2，
∵AD＝AE，AB＝2AD，AD∥CF，EG∥AD，
∴DG＝BE，∠EDG＝∠FEB，∠DGE＝∠C＝∠EBF，
在△DGE和△EBF中，，
∴△DGE≌△EBF（ASA），
∴DE＝EF，
∴DF＝2DE＝4．
26．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEB，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠BDE，
∴∠BED＝∠BDE，
∴BE＝BD，
∵BD＝DA，
∴AD＝BE，且AD∥BE，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∵AD＝BD，
∴四边形AEBD是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝，
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB⊥DE，AF＝FB＝AB＝，EF＝DF，
∵EF：BF＝3，
∴EF＝3BF＝，
∴DE＝2EF＝3，
∴S菱形AEBD＝?AB?DE＝××3＝15．
27．（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEB中，，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝DB，
∵AF＝DC，
∴DB＝DC，即D是BC的中点；
（2）证明：∵AF∥DC，AF＝DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，DB＝DC，
∴AD＝BC＝DC，
∴四边形ADCF是菱形．
28．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△AEB和△AFD中，，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴AB＝AD，
∴?ABCD是菱形；
（2）解：图中面积是△BEG面积2倍的所有三角形为△ABG、△ADH、△AGH、△DFG；理由如下：
连接AC交BD于O，如图所示：
则AC⊥BD，
∵BC＝CD，BE＝DF，
∴BE：BC＝DF：CD，
∴EF∥BD，
∴∠CBD＝∠CEF＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵?ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝AB，
∴△ABC是等边三角形，∠EBG＝∠FDH，
∴∠BAG＝∠ABG，
∴AG＝BG，
同理：AH＝DH，
∵AE⊥BC，
∴BE＝BC＝AB，
∵?ABCD是菱形，
∴BD是∠ABC的平分线，
∴点G到AB与BC边上的高相等，
∴S△ABG＝2S△BEG，
在△BEG和△DFH中，，
∴△BEG≌△DFH（ASA），
∴△BEG的面积＝△DFH的面积，BG＝DH，
∴AG＝AH，
∵△AEB≌△AFD，
∴S△ABG＝S△ADH，∴S△ADH＝2S△BEG；
∵∠GAH＝∠OAG+∠OAH＝60°，
∴△AGH是等边三角形，
∴GH＝AG＝AH＝BG＝DH，OG＝AG＝EG，OA＝OG＝BE，
∴△AGH的面积＝2△BEG的面积，
∴△GHF的面积＝△DFH的面积，
∴△DFG的面积＝2△BEG的面积；
∴图中面积是△BEG面积2倍的三角形为：△ABG、△ADH、△AGH、△DFG．