3.1直线与圆的位置关系(2)

(共27张PPT)
3.1直线与圆的位置关系
（2）
二中备课组
复习提问：
1、说出直线 与圆的位置关系的定义:
(1)直线和圆没有公共点时,就说这条
直线和这个圆相离。
(2)直线和圆有且只有一个公共点时,
就说这条直线和这个圆相切。
注意：这条直线叫做圆的切线。
这个公共点叫做切点。
(3)直线和圆有两个公共点时,就说这条
直线和这个圆相交。
注意：这条直线叫做圆的割线。
2、说出直线 与圆的位置关系的性质:
(1) 直线与圆相离 < => d>r
(3) 直线与圆相交 < => d(2) 直线与圆相切 < => d=r
●O
●O
相交
●O
相切
相离
r
r
r
┐d
d
┐
d
┐
Ｏ
d
r
B
C
A
情境引入
如图：直线BC和⊙O的位置关系是_________
切线
切点
公共点Ａ叫_________
想一想：
　满足什么条件的直线是圆的切线？
直线BC叫⊙O的_______
相切
课本P51请按照下述步骤作图：
在⊙O上任意取一点A，连结OA。过点A作直线し⊥OA
·O
·A
┏
思考以下问题：
（1）圆心O到直线し的距离和圆的
半径有什么系？
（2）直线し与⊙ O的位置有 什么关系？
根据什么？
（3）由此你发现有什么？
圆心O到直线し的距离等于圆的半径
直线し和⊙ O相切。
根据切线定义
し
切线的判定定理
经过半径的外端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
C
D
B
●O
A
∵AB是⊙O的直径,直线CD经过A点,且CD⊥AB,
∴ CD是⊙O的切线.
注意：切线的判定定理是证明一条直线是否是圆的切线的根据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一.
这个定理实际上就是：
d=r 直线和圆相切的另一种说法。
切线识别方法：
经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
1.判断下图中的l 是否为⊙O的切线
不是
不是
不是
⑴、经过半径外端的直线是圆的切线。
⑵、垂直于半径的直线是圆的切线。
⑶、过直径的外端并且垂直于这条直径的
直线是圆的切线。
⑷、和圆只有一个公共点的直线是圆的切
线。
⑸、以等腰三角形的顶点为圆心，底边上
的高为半径的圆与底边相切。
2.是非题：判断下列命题是否正确。
（×）
（×）
（√）
（√）
（√）
例1如图A是⊙O外的一点，AO的延长线交⊙O于C，点B在⊙O上，且AB＝BC，∠A＝30°.求证：直线AB是⊙O的切线
分析： 欲证AB是⊙O的切线，由于AB过圆上点B，若连结OB,则AB过半径OB的外端，只需证明OB⊥AB .
（经过半径的外端,并且
垂直于这条直径的直线是圆的切线.）
例1如图A是⊙O外的一点，AO的延长线交⊙O于C，点B在⊙O上，且AB＝BC，∠A＝30°.求证：直线AB是⊙O的切线
证明：连结OB
∴ AB是⊙O的切线
∵OB=OC,AB=BC,∠A=30°
∴∠OBC=∠C=∠A=30°
∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°
∴∠ABO=180°－(∠AOB+∠A)
=180°－(60°+30°) = 90°
∴OB⊥AB
一般情况下，要证明一条直线为圆的切线，已知它过半径外端（即一点已在圆上）时，只需证明直线垂直于这条半径。
(与圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线。)
例2
已知O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆O，
求证：⊙O与AC相切
证明直线与圆相切，但无切点时，往往过圆心作切线的垂线，再证明d=r即可
D
C
A
B
O
∟
证明：作OE⊥AC,垂足是E.
∵O为∠BAC平分线上一点，
OD⊥AB于D，
∴OD=OE
E
∵OD为⊙O的半径
∴⊙O与AC相切
已知：直线AB经过⊙O上的
点C，并且OA=OB,CA=CB.
求证：直线AB是⊙O的切线。
O
A
B
C
分析： 欲证AB是⊙O的切线，由于AB过圆上点C，若连结OC,则AB过半径OC的外端，只需证明OC⊥AB .
练习1：
课本P52课内练习1.2及P51做一做
已知：直线AB经过⊙O上的
点C，并且OA=OB,CA=CB.
求证：直线AB是⊙O的切线。
O
A
B
C
证明：如图，连结OC.
∵ OA=OB,CA=CB
∴ OC是等腰△OAB
底边BC上的中线
∴ OC⊥AB
又AB过半径OC的外端
∴ AB是⊙O的切线
∵∠PQO=180 °-67°18′-22°42
=90°∴OQ⊥PQ
1、如图，已知点Q在⊙O上。根据下列条件，能否判定直线PQ和⊙O相切？
⑴OQ=6,OP=10,PQ=8
⑵∠O=67.3°,∠P=22°42′
Q
P
O
∵OQ2+OP2=62+82=102=OP2
∴∠PQO=90°∴OQ⊥PQ
∴直线PQ和⊙O相切
∴直线PQ和⊙O相切
2.如图OP是⊙O的半径，∠POT=60° OT交⊙O于点S。
（1）过点P作⊙O的切线；
（2）过点P的切线交OT于点Q，判断点S是不是线段OQ的中点，并说明理由。
S
O
T
P
┏
解：（1）如图，QP是⊙O的切线
Q
∴∠OPQ=90°
（2）连结SP
∵QP是⊙O的切线，OP是半径
∵∠POT=60°
∴点S是线段OQ的中点
∴ ∠OQP=30°
∴OS=OP= QO
1
2
例3.如图台风中心P(100，200)沿北偏东30°方向移动,受台风影响区域的半径为200km.那么下列城市A(200,380),B(600,480),
C(550,300),D(370，540)中,哪些受到这次台风的影响,哪些不受到这次台风的影响？
因为台风圈在两平行线し1し2之间移动,点A,
D落在切线し1し2之间,所以受到这次台风的影响;
而B,C不在切线し1し2之间,所以不受到这次台
风的影响。
100
300
x
y
0
200
100
300
400
500
200
400
500
600
600
700
·P
· A
· B
· C
· D
30°
解：如图在坐标系中画出一点P(100,200)为圆心,以200半径的⊙P,再在点P处画出北偏东30°方向的方向线,作垂直于方向线的⊙P的直径HK,分别过点H,K作⊙O的切线し1し2,则し1∥し2 .
┓
H
K
し1
し2
过一点如何作圆的切线
·O
·A
┏
作法:连结OA。
过点A作直线し⊥OA
し
1.过圆内一点作圆的切线
答.过圆内一点不能做圆的切线.
2.过圆上一点作圆的切线.
已知⊙O上有一点A,过点A作出⊙O的切线.
答:过圆上一点能作圆的一条切线.
想一想
3.过圆外一点能作圆的几条切线？
作法：
(1)连接OP;
(2)以OP为直径画圆
交⊙O于点A,B.
(3)作直线PA、PB
则直线PA,PB为所求的切线.
●O
● P
A
B
答:能作圆的两条切线;且交点到切点的距离
相等.
做一做:课本P53探究活动
一、判定一条直线是圆的切线的三种方法
１.利用定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
２.利用数量关系：与圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
３.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
小结
二、证圆的切线的常用方法:
1.要证明一条直线为圆的切线，若它过半径外端（即一点已在圆上）是已知给出时，只需证明直线垂直于这条半径.常作过切点的半径.
2.证明直线与圆相切，但无切点时，往往过圆心作切线的垂线，再证明d=r即可
作业
1.课本P53--54第1--6题.
2.作业本（2）P12--13第1---5题
祝你们学习进步！
2、如图，AB是⊙O的直径， AT=AB，∠ABT=45°。
求证：AT是⊙O的切线
巩固练习
　　
(２)、如图,Rt⊿ABC中, ∠B=90度, ∠ A的平分线交BC于点D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D
试说明:AC是⊙D的切线
练习
定理： 圆的切线垂直于过切点的半径.
4、如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，
过A作AC⊥DC，
求证：DC是⊙O的切线。
巩固练习
5 如图，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，CD＝AD＋BC。
求证：以CD为直径的⊙O与AB相切
E
证明：过点O作OE⊥AB,垂足为E。
∵AD∥BC,AB⊥BC, ∴ AD⊥AB
而OE⊥AB ∴ AD∥OE∥BC
巩固练习
100
300
x
y
0
200
100
300
400
500
200
400
500
600
600
700
P
· A
· B
· C
· D
30°