5.1 多边形(1)

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5.1 多边形
第1课 四边形
由上述这些图形，你能
抽象出什么几何图形？
三角形
四边形
六边形
八边形
……..
小明有每天坚持跑步的好习惯，右图就是小明清晨沿一个四边形广场逆时针方向跑步的效果图.
A
B
C
D
四边形定义：在同一平面内，不在同一条直线上的　　　四条线段首尾顺次相接形成的图形。
A
B
C
D
凸四边形
E
F
G
H
不是凸四边形
A
B
C
D
四边形的内角和是多少呢？
探索：
四边形的内角和为３６００
A
B
C
D
(1) 小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪些角？在图中标出它们.
(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
即∠ 1+∠2+∠3+∠4＝360 °
你能说出你的理由吗？
１
２
３
４
自
己
动
手
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
作连接AC，它把四边形分成两个三角形．四边形的四个角的和就是这两个三角形的内角和，因此，四边形的内角和等于
２×180 °＝３６０ ° 　　
在一张纸上任意画一个四边形,剪下他的四个角,把它们拼在一起(顶点重合),你发现了什么
你还有其他添辅助线方法求四边形的内角和吗？
畅
想
天
地
把四边形问题转化为三角形进行讨论,体现了转化的思想,即把未知转化为已知,把复杂转化为简单.
想一想：
你能用数学理论推导出多边形外角和性质吗？
A
B
C
D
1
2
3
4
四边形的外角和等于360
A
B
C
D
· O
四边形的内角和等于这四个三角形的内角和与一个周角的差．即　
４× １８０ ° －３６０ ° ＝ ３６０ °
A
B
C
D
·
P
用式子表示为：
３× 180 °－ 180 ° ＝ ３６０ °
把四边形问题转化为三角形进行讨论,体现了转化的思想,即把未知转化为已知,把复杂转化为简单.这是我们研究知识解决问题的一种重要方法.
只凭风力健，不加羽毛丰。
红线凌空去，清云有路通。
　　　　　　　　　　　　　　　　清·吴友如
猜一猜描写的是一项什么活动？
　　 如图，四边形风筝的四个内角∠A、
∠B、∠C、∠D的度数之比为1∶1∶0.6∶1，
求它的四个内角的度数．
A
B
C
D
解∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=360 ° （四边形的内角和等360 °）
又∵∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为1：1：0.6：1
设∠A=x度，则x+x+0.6x+x=360,
解得x=100.
∴∠A=∠B=∠D=100 °
∠C=100 °×0.6=60 °
1.已知四边形ABCD中， ∠A＝80 °, ∠B＝60°, ∠C=70°则∠D=_____.
2.已知四边形ABCD中， ∠A与∠C互补，∠B＝80 °，则∠D＝　　　.
150 °
100°
３.四边形最多有_____个直角？最多有_____个钝角？
４
３
4. 如图，在四边形ABCD中,∠A=85 °，∠D＝110 °， ∠1的外角是71 °，则∠1＝____,∠2＝____.
B
85 °
A
D
C
110 °
2
71 °
1
1090
560
A
B
C
D
E
F
例2：（1）如图，在长方形ABCD中，BE平分∠ABC，交CD于点E，DF平分∠ADC，交AB于点F．问：DF是否平行于BE？请说明理由.
（2）若将上图的长方形ABCD改成如图∠A=∠C=900的四边形，其他条件不变。问：DF是否还平行于BE？请说明理由.
3
4
1
2
E
F
我最感兴趣的地方是……
这节课我的收获是……
我想进一步研究的问题是……