4.1比例线段

(共34张PPT)
比例线段
四条线段 a、b、c、d 中，
如果 a：b=c：d，
那么这四条线段a、b、c、d 叫做
成比例的线段，
简称比例线段.
B
C
D
A
50
25
B`
C`
D`
A`
20
10
AB 50
BC 25
∵ = =2，
A`B` 20
B`C` 10
= =2，
AB A`B`
BC B`C`
∴ = .
因此，AB、BC、A`B`、B`C`是成比例线段.
已知四条线段a、b、c、d ，
如果
a c
b d
= ，
或 a：b=c：d，
那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项，
线段 a、d 叫做比例外项，
线段 b、c 叫做比例内项，
线段 d 叫做 a、b、c的第四比例项.
如果作为比例内项的是两条相同的线段 ，
即
a b
b c
= ，
或 a：b=b：c，
那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项.
两条线段的比是它们的长度的比，
也就是两个数的比.
关于成比例的数具有下面的性质.
比例式是等式，
因而具有等式的各个性质，
此外还有一些特殊性质：
(1)比例的基本性质
如果 a：b =c：d ，那么ad =bc.
因为 a：b=c：d，
即
a c
b d
= ，
比例的内项乘积等于外项乘积.
两边同乘以 bd，得 ad=bc；
上述性质反过来也对，就是
如果 ad =bc，那么 a：b =c：d .
(1)比例的基本性质
a：b=c：d ad=bc.
特殊地说：
a：b=b：c b =ac.
2
综合地说：
练习1—1：
如果
PA PC
PB PD
= ，
那么 PA·
PD=
如果
CD DF
EB AD
= ，
那么 AD·
CD=
如果
AC BD
EF EA
= ，
那么 EF·
BD=
如果
HE HF
NF NK
= ，
那么 HF·
NF=
PB·PC；
EB·DF；
AC·EA；
HE·NK；
练习1—2：
如果
AD PB
PB BC
= ，
那么 AD·
BC=
如果
DE DF
DF DC
= ，
那么 DE·
DC=
如果
SB EF
EF SC
= ，
那么 EF
2=
如果
MA NF
NF MB
= ，
那么 NF
2=
PB2；
DF2；
SB·SC；
MA·MB.
练习2—1：
如果 AE·BF=AF·BE，
AE
= ，
那么
BE
= ，
BF
= ，
AF
= ；
BE
= ，
BF
= ，
AF
= ，
AE
= ，
AF
BE
BF
BE
AF
BF
AF
AE
BF
AE
BF
AF
AF
BE
AE
AF
BE
AE
AE
BF
BE
BF
AE
BE
对调内项，
比例仍成立！
练习2—1：
如果 AE·BF=AF·BE，
AE
= ，
那么
BE
= ，
BF
= ，
AF
= ；
BE
= ，
BF
= ，
AF
= ，
AE
= ，
AF
BE
BF
BE
AF
BF
AF
AE
BF
AE
BF
AF
AF
BE
AE
AF
BE
AE
AE
BF
BE
BF
AE
BE
对调外项，
比例也成立！
说明：
(1)一个等积式可以改写成八个比例式
(比值各不相同)；
(2)对调比例式的内项或外项，
比例式仍然成立
(比值变了).
a c
b d
=
a b
c d
=
d c
b a
= .
练习2—1：
如果 AE·BF=AF·BE，
AE
= ，
那么
BE
= ，
BF
= ，
AF
= ；
BE
= ，
BF
= ，
AF
= ，
AE
= ，
AF
BE
BF
BE
AF
BF
AF
AE
BF
AE
BF
AF
AF
BE
AE
AF
BE
AE
AE
BF
BE
BF
AE
BE
说明：
同时对调比例式两边的比的前后项，
比例式仍然成立
(比值变了).
a c
b d
=
b d
a c
= .
练习2—2：
如果 PA·PB=PC·PD，
PA
= ，
那么
PB
= ，
PC
= ，
PD
= ；
PB
= ，
PC
= ，
PD
= ，
PA
= ，
PC
PD
PB
PD
PC
PB
PA
PD
PC
PD
PC
PA
PA
PB
PD
PA
PB
PD
PA
PB
PC
PB
PA
PC
练习2—3：
如果 AE·CF=AB·AD，
AE
= ，
那么
CF
= ，
AB
= ，
AD
= ；
CF
= ，
AB
= ，
AD
= ，
AE
= ，
AB
AD
CF
AD
AB
CF
AE
AD
AB
AD
AB
AE
AE
CF
AD
AE
CF
AD
AE
CF
AB
CF
AE
AB
练习2—4：
如果 AC2=AB·AD，
AC
= ，
那么
AB
= ；
AB
AD
AC
AC
AC
AD
练习2—5：
如果 PT2=PQ·PR，
PT
= ，
那么
PQ
= .
PQ
PR
PT
PT
PT
PR
(2)合比性质
如果
a c
b d
= ，
那么
a±b c±d
b d
= .
练习3—1：
如图，已知
AC
BC
= ，
那么
AB DE
BC EF
= ，
DF
EF
理由：
AB DE
BC EF
=
AC DF
BC EF
= .
AB+BC DE+EF
BC EF
=
A
B
C
D
E
F
练习3—2：
如图，已知
AC
AB
= ，
那么
AB DE
BC EF
= ，
DF
DE
理由：
AB DE
BC EF
=
AB+BC DE+EF
AB DE
=
BC EF
AB DE
=
AC DF
AB DE
= .
A
B
C
D
E
F
练习3—3：
如图，已知
BC
AB
= ，
那么
AC DF
BC EF
= ，
A
B
C
D
E
F
EF
DE
理由：
AC DF
BC EF
=
AC–BC DF–EF
BC EF
=
AB DE
BC EF
=
BC EF
AB DE
= .
练习3—4：
如图，已知
AE
AB
= ，
那么
BE CF
EA FA
= ，
AF
AC
理由：
BE CF
EA FA
=
AE+BE AF+CF
AE AF
=
AB AC
AE AF
=
AE AF
AB AC
= .
A
B
C
E
F
练习3—5：
如图，已知
AE
AB
= ，
那么
BE CF
AB AC
= ，
AF
AC
理由：
BE CF
AB AC
=
AB AC
BE CF
=
AE+BE AF+CF
AE AF
=
AE AF
BE CF
=
AB–BE AC–CF
BE CF
=
BE CF
AE AF
=
AE AF
AB AC
= .
AB AC
AE AF
=
有没有简单方法？
有！
A
B
C
E
F
(3)等比性质
如果
那么
a c
b d
=
m
n
= …=
(b+d+…+n≠0),
a+c+…+m
b+d+…+n
= .
a
b
a c
b d
=
m
n
= …=
证明：
设
=k,
则
a=bk,
c=dk,
…
m=nk,
∴ =
a+c+…+m
b+d+…+n
bk+dk+…nk
b+d+…n
=
(b+d+…n)k
b+d+…n
=k
= .
a
b
a c
b d
=
m
n
= …=
a+c+…+m
b+d+…+n
= .
a
b
？
练习3—5：
如图，已知
AE
AB
= ，
那么
BE CF
AB AC
= ，
A
B
C
E
F
AF
AC
理由：
BE CF
AB AC
=
AC CF
AB BE
=
AC –CF
AB –BE
=
AF AC
AE AB
=
AE AF
AB AC
= .
AF AE
AC AB
=
AC–CF AC
AB–BE AB
=
AB–BE≠0
x+y 5 x
3y 4 y
例1、已知 = ，求 .
解：
∵ = ，
x+y 5
3y 4
x+y 15
y 4
∴ = ，
x+y–y 15–4
y 4
∴ = ，
x 11
y 4
∴ = .
例2、已知 a：b：c=2：5：6，
求 的值.
2a+5b–c
3a–2b+c
解：
设 = = = k,
a b c
2 5 6
则 a=2k,
b=5k,
c=6k,
2a+5b–c
3a–2b+c
∴ =
4k+25k–6k
6k–10k+6k
=
23
2
.
例3、已知：如图， = = ，
OA OB 3
OC OD 2
求：(1) ; (2) .
OA
AC
OA+OB
OC+OD
O
A
B
C
D
分析：(1)
OA
AC
OA
OA+OC
OA+OC
OA
OC
OA
=
2
3
.
例3、已知：如图， = = ，
OA OB 3
OC OD 2
求：(1) ; (2) .
OA
AC
OA+OB
OC+OD
解：(1)
OC
OA
∴ = ，
2
3
OA 3
OC 2
∵ = ，
OA+OC
OA
∴ = ，
5
3
AC 5
OA 3
即 = ，
OA 3
AC 5
∴ = ；
O
A
B
C
D
例3、已知：如图， = = ，
OA OB 3
OC OD 2
求：(1) ; (2) .
OA
AC
OA+OB
OC+OD
解：(2)
OA+OB
OC+OD
∴ = .
3
2
OA OB 3
OC OD 2
∵ = = ，
O
A
B
C
D
本课小结：
主要内容：
成比例线段的意义，
比例的3个主要性质及其应用.
能力要求：
通过本课的学习，
形成比例变形的能力，
要做一定量的习题，达到熟练.