2020-2021学年九年级数学华东师大版下册 26.2.3 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质（培优卷）（word版含答案）

26.2.3
二次函数y=a(x-h)2的图象与性质（培优卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知抛物线的开口向下，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2．抛物线y＝2(x－1)2的对称轴是（
）
A．1
B．直线x＝1
C．直线x＝2
D．直线x＝－1
3．对于二次函数的图象，下列说法正确的是(
)
A．开口向上
B．对称轴是x=-3
C．当x>-4
时，y随x的增大而减小
D．顶点坐标为(-2，-3)
4．在抛物线上的一个点是(?
)
A．(2,3)
B．(-2,3)
C．(1,-2)
D．(0,-2)
5．已知二次函数，当时，随着的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，的值为（
）
A．2
B．
C．4
D．
6．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　）
A．＞＞
B．
＞＞
C．＞＞
D．
＞＞
7．顶点为，开口向下，开口的大小与函数的图象相同的抛物线所对应的函数是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知二次函数y＝－（ｘ－3）2，对于x1＜x2＜3，x1、x2的对应函数值为y1、y2，则（
）
A．y1＝y2
B．y1＞y2
C．y1＜y2
D．无法确定
9．在正比例函数中，随的增大而减小，则二次函数的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
10．二次函数的图象如图，则下列正确的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
11．如图，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，且与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB＝3，则点M到直线l的距离是（　　）
A．
B．
C．
D．
12．如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s的速度分别沿CB﹣BA、CD﹣DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t（s），△AEF的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．如果二次函数y=a(x+3)2有最大值，那么a___0，当x=___时，函数的最大值是___.
14．已知二次函数，如果，那么随的增大而__________．
15．已知抛物线的对称轴是直线x=4，则m=_____．
16．将抛物线y=x2向右平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为_______________.
17．将抛物线绕原点旋转，得到的抛物线解析式为__________．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2（a＞0）与y＝a（x﹣2）2的图象交于点B，抛物线y＝a（x﹣2）2交y轴于点E，过点B作x轴的平行线与两条抛物线分别交于C、D两点，若点A是x轴上两条抛物线顶点之间的一点，连结AD，AC，EC，ED，则四边形ACED的面积为_____．
三、解答题
19．请在同一坐标系中画出二次函数①；②的图象．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点．
20．对于二次函数．
（1）它的图象与二次函数的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？
（2）当取哪些值时，的值随的增大而增大？当取哪些值时，的值随的增大而减小？
21．如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC
22．如图，抛物线y＝ax2经过△ABC的三个顶点，点A坐标为（﹣1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．
23．如图，二次函数：=+）的图象与一次函数：=的图象交于A
（0，1），B两点，C（1，0）为二次函数图象的顶点．
（1）求二次函数：=+）的解析式．
（2）定义函数当自变量任取一值时，对应的函数值分别为或，若，函数的函数值等于、中的较小值；若，函数的函数值等于或．当直线->0）与函数的图象只有两个交点时，求的值．
24．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．
（1）求m的值及这个二次函数的关系式；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x．
①求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②线段PE的长h是否存在最大值？若存在，求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由？
25．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．
（1）直接写出A点B点坐标及抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）把抛物线与直线的交点称为抛物线的不动点，若将（1）中抛物线平移，使其顶点为(m，2m)，当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．
参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
B
B
D
D
D
D
C
B
D
B
D
二、填空题
13
14
15
16
17
18
＜，x=-3，0
增大
4
y=（x-2）2
8a
三、解答题
19.
解：列表：
-2
-1
0
1
2
3
4
2
0.5
0
0.5
2
2
0.5
0
0.5
2
描点，连线，如图
由图像可知，①向左平移两个单位得到②
∴②的开口方向向上，对称轴是，顶点坐标为（2，0）
20.
（1）将的图象向左平移个单位可以得到的图象
∵
∴抛物线开口向下
它是轴对称图形，对称轴为，顶点坐标是
∵，抛物线开口向下
∴当时，的值随的增大而增大；当时，的值随的增大而减小
21.
解：过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，由抛物线y=得C（2，0）
∴对称轴为直线x=2
设B（m，n）
∴CP=m-2
∵AB∥x轴
∴AB=2m-4
∵△ABC是等边三角形
∴BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°
∴PB=PC=（m-2）
∵PB=n=
∴（m-2）=
解得m=，m=2（不合题意，舍去）
∴AB=，BP=
∴S△ABC=
22.
解：（1）∵
抛物线y=ax2经过△ABC的三个顶点，点A坐标为（﹣1，2）
∴
2=a，∴
a
∴
抛物线的函数关系表达式为y
（2）①当点F在第一象限时，如图1
令y=0得，0，解得：
∴点C的坐标为（3，0）
设直线AC的解析式为y=mx+n
则有，解得
∴直线AC的解析式为y
设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p）
∵点F（p，p）在直线y上
∴p，解得p=1
∴点F的坐标为（1，1）
②当点F在第二象限时
同理可得：点F的坐标为（﹣3，3）
此时点F不在线段AC上，故舍去
综上所述：点F的坐标为（1，1）
23.
解：（1）设抛物线解析式为y1=a（x-1）2
由拋物线过点A（0，1），代入y1=a（x-1）2，求得a=1
所以
（2）∵
点A（0，1）在=上
∴
d=1
∴
=
将y=x2-2x+1与y=x+1联立解得：x=0，y=1或x=3，y=4，即B（3，4）
直线与函数f的图象只有两个交点共有三种情况：
①直线与直线AB：平行，此时k=1
②直线过点B（3，4），此时k
=
③直线与二次函数的图象只有一个交点
此时有，得：
=
由△
=
0，可得（舍去）
综上，k=1或k
=或
24.
解：（1）∵
点A（3，4）在直线y＝x+m上
∴
4＝3+m
∴
m＝1
设所求二次函数的关系式为y＝a（x﹣1）2
∵
点A（3，4）在二次函数y＝a（x﹣1）2的图象上
∴
4＝a（3﹣1）2
∴
a＝1
∴
所求二次函数的关系式为y＝（x﹣1）2
即y＝x2﹣2x+1
（2）①设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE
∴
PE＝h＝yP﹣yE＝（x+1）﹣（x2﹣2x+1）＝﹣x2+3x
即h＝﹣x2+3x（0＜x＜3）
②存在．∵
h＝﹣（x﹣）2+
又∵
a＝﹣1＜0
∴
x＝时，h的值最大
当x＝时，y＝x+1＝+1＝
出此时点P的坐标（，）
25.
（1）∵点A是直线与轴的交点
∴A点为（-1，0）
∵点B在直线上，且横坐标为2
∴B点为（2，3）
∵过点A、B的抛物线的顶点M在轴上，故设其解析式为：
∴，解得：
∴抛物线的解析式为
（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下：
作BC⊥轴于点C
∵A（-1，0）、B（2，3）
∴AC＝BC＝3
∴∠BAC＝45°
点M是抛物线的顶点
∴M点为（0，-1）
∴OA＝OM＝1
∵∠AOM＝90°
∴∠MAC＝45°
∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90°
∴△ABM是直角三角形
（3）将抛物线的顶点平移至点（，），则其解析式为
∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点
∴
化简得：
∴△＝＝
当时，方程总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点，解得：，
∴
试卷第1页，总3页
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