第5章 一次函数
核心知识练习
5.1 常量与变量
1.完成以下问题:
(1)某人持续以a(m/min)的速度经t(min)跑了s(m),其中常量是______,变量是________.
(2)在t(min)内,不同的人以不同的速度a(m/min)跑了s(m),其中常量是________,变量是________.
(3)s(m)的路程,不同的人以不同的速度a(m/min)各需跑t(min),其中常量是________,变量是________.
(4)根据以上叙述,写一句关于常量与变量的结论:____________________________
________________________________________________________________________.
2.运动员在400m一圈的跑道上训练,他跑一圈所用的时间t(s)与跑步速度v(m/s)之间的关系满足公式t=.指出其中的常量与变量.
3.如表是某报纸公布的世界人口数据情况:
年份
1957
1974
1987
1999
2010
2025
人口数
30亿
40亿
50亿
60亿
70亿
80亿
(1)表中有几个变量?
(2)如果用x表示年份,用y表示世界人口总数,那么随着x的变化,y的变化趋势是怎样的?
5.2 函数
1.下列式子中的y是x的函数吗?为什么?并求出x的取值范围.
(1)y=3x-5. (2)y=. (3)y=.
2.据测定,海沟扩张的速度是很缓慢的,在太平洋海底,某海沟的某处宽度为100米,其两侧的地壳向外扩张的速度是每年6厘米,假设海沟扩张速度恒定,扩张时间为x年,海沟的宽度为y米.
(1)两年后,此处海沟的宽度变为________米.
(2)y可以看做是x的函数吗?如果可以,请写出函数表达式,如果不可以,请说明理由.
(3)求海沟扩张到130米时需要多少年.
3.已知一个长方形中,相邻的两边长分别是xcm和4cm,设长方形的周长为ycm.
(1)试写出y与x之间的关系式.
(2)求x=10cm时,长方形的周长.
(3)求长方形周长为30cm时,x的值.
4.“五四”青年节,王老师组织八年级(二)班同学一起春游.已知某风景区集体门票的收费标准是20人以内(含20人),每人25元,超过20人,超过部分每人10元.
(1)写出应收门票费y(元)与游览人数x(人)之间的函数表达式.
(2)利用(1)中函数表达式计算,全班54名学生去该景区游览时,为购门票共花了多少元?
5.3 一次函数
1.函数y=(m-2)x+m2-4(m为常数).
(1)当m取何值时,y是x的正比例函数?
(2)当m取何值时,y是x的一次函数?
2.高新开发区某企业生产的产品每件出厂价为50元,成本价为25元,在生产过程中,平均每生产一件产品有0.5m3污水排出,为了绿色环保,工厂设计了两种处理污水的方案.
方案一:工厂污水先净化处理后再排出,每处理1m3污水的费用为2元,并且每月排污设备维护费为30000元.
方案二:工厂将污水排到污水厂统一处理,每处理1m3污水的费用为14元.
设工厂每月生产x件产品,每月利润为y元,分别写出依据方案一和方案二处理污水时,y关于x的函数表达式.
3.已知y-2与x+1成正比例函数关系,且x=-2时,y=6.
(1)写出y关于x的函数表达式.
(2)求当x=-3时,y的值.
(3)求当y=4时,x的值.
4.已知y是关于x的一次函数,下表列出了部分对应值:
x
…
-2
-1
0
1
a
…
y
…
-3
-1
m
3
5
…
求此一次函数的表达式及a,m的值.
5.4 一次函数的图象
1.已知一次函数y=kx+2的图象经过点(-1,4).
(1)求k的值.
(2)画出该函数的图象.
(3)当x≤2时,y的取值范围是________.
2.已知一次函数y=2x+4.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中,画出函数的图象.
(2)求图象与x轴的交点A的坐标,与y轴的交点B的坐标.
(3)在(2)的条件下,求出△AOB的面积.
(4)利用图象直接写出:当y<0时,x的取值范围.
第2题图
3.已知函数y=-x+4,回答下列问题:
(1)请在上图的直角坐标系中画出函数y=-x+4的图象.
(2)y的值随x的值增大而________.
(3)当y=2时,x的值为________.
(4)当y<0时,x的取值范围是________.
第3题图
4.某商店销售A型和B型两种型号的电脑,销售一台A型电脑可获利120元,销售一台B型电脑可获利140元.该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍.设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.
(1)求y与x的关系式.
(2)该商店购进A型,B型电脑各多少台,才能使销售利润最大?
5.5 一次函数的简单应用
1.
元旦联欢会前某班布置教室,同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链,小橙同学测量了部分彩纸链的长度,她得到的数据如下表:
纸环数x(个)
1
2
3
4
…
彩纸链长度y(cm)
19
34
49
64
…
(1)把上表中x,y的各组对应值作为点的坐标,在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点,猜想y与x的函数关系,并求出函数表达式.
(2)教室天花板对角线长10m,现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链,则每根彩纸链至少要用多少个纸环?
2.小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发,沿同一条路相向而行,小玲开始跑步中途改为步行,到达图书馆恰好用30min.小东骑自行车以300m/min的速度直接回家,两人离家的路程y(m)与各自离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示.
(1)家与图书馆之间的路程为________m,小玲步行的速度为________.
(2)求小东离家的路程y关于x的函数解析式,并写出自变量的取值范围.
(3)求两人相遇的时间.
3.如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b).
(1)求b的值.
(2)不解关于x,y的方程组请你直接写出它的解.
(3)直线l3:y=nx+m是否也经过点P?请说明理由.
参考答案
第5章 一次函数
5.1 常量与变量
1.(1)a t,s (2)t a,s (3)s a,t (4)在不同的条件下,常量与变量是相对的
2.常量是400,变量是t,v.
3.(1)表中有两个变量,分别是年份和人口数.
(2)随着x的增大,y的变化趋势是增大.
5.2 函数
1.(1)y=3x-5,y是x的函数,满足对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应,x是全体实数.
(2)y=,y是x的函数,满足对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应,x≠1. (3)y=,y是x的函数,满足对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应,x≥1.
2.(1)100.12 (2)可以,y=100+0.06x. (3)130=100+0.06x,解得x=500.所以海沟扩张到130米需要500年.
3.(1)根据长方形的周长公式得2(x+4)=y,∴y=2x+8.
(2)当x=10cm时,y=2×10+8=28cm,∴长方形的周长为28cm. (3)当y=30cm时,2x+8=30,解得x=11cm.
4.(1)y=
(2)当x=54>20时,y=10×54+300=840(元).所以54名学生去该景区游览时,为购门票共花了840元.
5.3 一次函数
1.(1)当m2-4=0且m-2≠0时,y是x的正比例函数,解得m=-2.
(2)当m-2≠0时,即m≠2时,y是x的一次函数.
2.方案一:y=50x-25x-(0.5x×2+30000)=24x-30000.
方案二:y=50x-25x-0.5x×14=18x.
3.(1)设y-2=k(x+1).将x=―2,y=6代入,得k=-4,∴y=-4x-2.
(2)由(1)知y=-4x-2,∴当x=-3时,y=(-4)×(-3)-2=10.
(3)由(1)知y=-4x-2,∴当y=4时,4=-4x-2,解得x=-.
4.设y=kx+b,当x=1时,y=3;x=-1时,y=-1,
据此列出方程组解得
∴一次函数的表达式为y=2x+1.然后把x=0代入,
得到y=m=1.把y=5代入,得到5=2a+1,解得a=2.
5.4 一次函数的图象
1.(1)∵一次函数y=kx+2的图象经过点(-1,4),∴4=-k+2,解得k=-2.
(2)如图所示. (3)y≥-2.
第1题图
第2题图
2.(1)当x=0时,y=4;当y=0时,x=-2,则图象如图所示.
(2)由(1)知A(-2,0),B(0,4). (3)S△AOB=×2×4=4. (4)x<-2.
3.(1)图象如图所示:
第3题图
(2)减小 (3)2 (4)x>4
4.(1)由题意可得y=120x+140(100-x)=-20x+14000.
(2)根据题意,得100-x≤3x,解得x≥25.∵y=-20x+14000,-20<0,∴y随x的增大而减小.∵x为正整数,∴当x=25时,y取最大值,则100-x=75,即商店购进25台A型电脑和75台B型电脑的销售利润最大.
5.5 一次函数的简单应用
1.
(1)如图,
由图象猜想y与x之间满足一次函数关系,
设过(1,19),(2,34)两点的直线表达式为:y=kx+b,
∴∴∴y=15x+4,
当x=3时,y=15×3+4=49,当x=4时,y=15×4+4=64,
∴点(3,49),点(4,64)都在一次函数y=15x+4的图象上,
∴彩纸链长度y(cm)与纸环数x(个)之间的函数关系式为y=15x+4.
(2)根据题意得:15x+4≥1000,解得:x≥,故每根彩纸链至少要用67个纸环.
2.(1)4000 100m/min
(2)∵小东从离家4000m处以300m/min的速度返回家,
∴他离家的路程y=4000-300x,自变量x的范围为0≤x≤.
(3)由图象可知,两人相遇是在小玲改变速度之前.
∴4000-300x=200x,解得x=8,∴两人相遇时间为第8分钟.
3.(1)因为(1,b)在直线y=x+1上,所以b=1+1=2.
(2)因为直线l:y=x+1与直线l:y=mx+n相交于点P(1,2),而方程组的解即为点P的坐标,所以方程组的解是
(3)直线y=nx+m也经过点P.因为点P(1,2)在直线y=mx+n上,所以m+n=2,因为2=n×1+m,这说明直线y=nx+m也经过点P.