第1章 三角形的初步知识核心知识练习 2021-2022学年浙教版数学八年级上册（Word版含答案）

第1章　三角形的初步知识
核心知识练习
1．1　认识三角形
1．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5.
(1)求CD的取值范围．
(2)若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．
3．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC.
(1)若∠BAC＝80°，∠C＝30°，求∠DAE的度数．
(2)若∠B＝80°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．
4．小王准备用一段长30m的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养家兔，已知第一条边长为a(m)，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2m.
(1)请用a表示第三条边长．
(2)问第一条边长可以为7m吗？请说明理由．
1．2　定义与命题
1．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．
(1)内错角相等．
(2)两个角的和是180°，它们就是互补的角．
(3)等角的余角相等．
(4)垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
2．下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再指出命题的条件和结论．
(1)同号两数的和一定不是负数．
(2)若x＝2，则1－5x＝0.
(3)延长线段AB至C，使B是AC的中点．
(4)互为倒数的两个数的积为1.
3．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举一个反例．
(1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
(2)如果a>b，那么ac>bc.
(3)两个锐角的和是钝角．
4．已知命题：若a>b，则<.
(1)请判断这个命题的真假．若是真命题，请加以证明；若是假命题，请举一个反例．
(2)请你适当修改命题的条件使其成为一个真命题．
1．3　证明
1．如图，已知AB∥CD，∠A＝∠E，求证：DC∥EF.
2．如图，直线AC，DE上分别有两点B，E，连结BE，若∠ABE＋∠DEB＝180°，∠1＝∠2，求证：∠F＝∠G.
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是∠ABC的平分线，∠BDC＝87°，求∠A的度数．
4．如图，已知∠1＝∠BDE，∠2＋∠FED＝180°.
(1)证明：AD∥EF.
(2)若EF⊥BF，且∠FED＝140°.求∠BAC的度数．
1．4　全等三角形
1．如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
2．如图所示，△ABF≌△CDE，∠B和∠D是对应角，AF和CE是对应边．
(1)写出△ABF和△CDE的其他对应角和对应边．
(2)若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数．
(3)若BD＝10，EF＝2，求BF的长．
1．5　三角形全等的判定
1．如图，已知AB＝DC，AC＝DB.求证：△ABC≌△DCB.
2．已知，如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，求证：AE∥FB.
3．如图，已知AD是△ABC的角平分线，AE＝AF.
求证：△AED≌△AFD.
4．如图所示，F是CD的中点，且AF⊥CD，BC＝ED，∠BCD＝∠EDC.求证：
(1)BF＝EF.
(2)AB＝AE.
5．已知：如图，AB＝AC，∠1＝∠2，∠B＝∠C.求证：△ABD≌△ACE.
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边的中线，过C点作CF⊥AE，垂足为F，过B点作BD⊥BC，交CF的延长线于点D.
(1)求证：AE＝CD.
(2)若AC＝12cm，求BD的长．
7．如图，AD是△ABC的中线，过点C，B分别作AD的垂线CF，BE，垂足分别为F，E.求证：BE＝CF.
8．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D.
(1)求证：AB＝CD.
(2)若AB＝CF，∠B＝30°，求∠D的度数．
1．6　尺规作图
1．为进一步打造“宜居城市”，某市拟在新竣工的长方形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A，B，C的位置如图所示．请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图)
2．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°.
(1)作∠B的平分线BD，交AC于点D；作AB的中点E(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明).
(2)连结DE，求证：△ADE≌△BDE.
第2题图
参考答案
第1章　三角形的初步知识
1．1　认识三角形
1．(1)∵在△BCD中，BC＝4，BD＝5，
∴BD－BC＝1，BD＋BC＝9，∴1(2)∵AE∥BD，∠BDE＝125°，∴∠E＝180°－∠BDE＝55°，
又∵∠A＝55°，∴∠C＝180°－∠E－∠A＝70°.
2．∵AD是BC边上的中线，∴D为BC的中点，CD＝BD.
∵△ADC的周长－△ABD的周长＝5，∴AC－AB＝5，
又∵AB＋AC＝11，∴AC＝8，即AC的长度是8cm.
3．(1)∵∠BAC＝80°，∠C＝30°，∴∠B＝70°，
∵AD⊥BC，∴∠BAD＝20°.
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝40°.
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝40°－20°＝20°.
(2)∵∠B＝80°，AD⊥BC，∴∠BAD＝10°，
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)＝×60°＝30°.
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝30°－10°＝20°.
4．(1)第三条边长为30－a－(2a＋2)＝(28－3a)m.　
(2)第一条边长不可以为7m.　理由：当a＝7时，三边长分别为7m，16m，7m，
∵7＋7<16，∴不能构成三角形，即第一条边长不可以为7m.
1．2　定义与命题
1．(1)如果两个角是内错角，那么这两个角相等．　
(2)如果两个角的和是180°，那么它们是互补的角．　
(3)如果两个角相等，那么它们的余角也相等．　
(4)如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．
2．(1)“同号两数的和一定不是负数”是命题；改写为：如果两个数同号，那么这两个数的和一定不是负数．条件是两个数同号，结论是这两个数的和一定不是负数．　
(2)“若x＝2，则1－5x＝0”是命题；改写为：如果x＝2，那么1－5x＝0.条件是x＝2，结论是1－5x＝0.　
(3)“延长线段AB至C，使B是AC的中点”不是命题．　
(4)“互为倒数的两个数的积为1”是命题；改写为：如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1.条件是两个数互为倒数，结论是这两个数的积为1.
3．(1)假命题．　反例：两直线不平行时不成立，如图所示，∠1与∠2是同位角，但∠1≠∠2.　
(2)假命题．　反例：当c≤0时不成立，如3>2，但3×0＝2×0.　
(3)假命题．　反例：如α＝20°，β＝50°，则α＋β＝70°，不是钝角．
4．(1)假命题．反例：如a＝1，b＝－2符合a>b，但不满足<.　
(2)改成：若a>b>0，则<.
1．3　证明
1．∵AB∥CD，∴∠A＝∠ECD，
∵∠A＝∠E，∴∠ECD＝∠E，∴DC∥EF.
2．∵∠ABE＋∠DEB＝180°，∴AC∥DE，∴∠CBE＝∠DEB.
∵∠1＝∠2，∴∠EBF＝∠BEG，∴BF∥GE，∠F＝∠G.
3．∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABC＝2∠CBD＝2∠ABD.
∵∠CBD＋∠C＋∠BDC＝180°，∠ABC＝∠C，
∴3∠ABD＋87°＝180°，∴∠ABD＝31°.
∵∠CDB＝∠A＋∠ABD，∴∠A＝87°－31°＝56°.
4．(1)∵∠1＝∠BDE，∴AC∥DE，∴∠2＝∠ADE，
∵∠2＋∠FED＝180°，∴∠ADE＋∠DEF＝180°，∴AD∥EF.　
(2)∵EF⊥BF，∴∠F＝90°，
∵AD∥EF，∠FED＝140°，∴∠FAD＋∠F＝180°，∠ADE＋∠DEF＝180°，
∴∠DAF＝90°，∠ADE＝40°，
∴∠2＝∠ADE＝40°，∴∠BAC＝180°－∠2－∠DAF＝50°.
1．4　全等三角形
1．∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝(∠EAB－∠CAD)＝×(120°－10°)＝55°.
∴∠DFB＝∠FAB＋∠B＝∠FAC＋∠CAB＋∠B＝10°＋55°＋25°＝90°，
∠DGB＝∠DFB－∠D＝90°－25°＝65°.
综上所述：∠DFB＝90°，∠DGB＝65°.
2．(1)其他对应角为：∠BAF和∠DCE，
∠AFB和∠CED.其他对应边为：AB和CD，BF和DE.　
(2)∵△ABF≌△CDE，∠B＝30°，∴∠D＝∠B＝30°.
∵∠DCF＝40°，∴∠EFC＝∠D＋∠DCF＝30°＋40°＝70°.　
(3)∵△ABF≌△CDE，∴BF＝DE.∴BF－EF＝DE－EF.∴DF＝BE.
∵BD＝10，EF＝2，∴DF＝BE＝4.∴BF＝BE＋EF＝4＋2＝6.
1．5　三角形全等的判定
1．在△ABC与△DCB中，∴△ABC≌△DCB(SSS).
2．∵AD＝BC，∴AD＋CD＝BC＋CD，即AC＝BD，
又∵AE＝BF，CE＝DF，
∴△ACE≌△BDF(SSS)，∴∠A＝∠B，∴AE∥FB.
3．∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，
∵在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD(SAS).
4．(1)∵F是CD的中点，∴CF＝DF.在△BCF和△EDF中，
∵∴△BCF≌△EDF(SAS).∴BF＝EF.　
(2)∵△BCF≌△EDF，∴BF＝EF，∠BFC＝∠EFD.
∵AF⊥CD，∴∠BFC＋∠AFB＝∠EFD＋∠AFE.
∴∠AFB＝∠AFE.
在△ABF和△AEF中，∵∴△ABF≌△AEF(SAS).∴AB＝AE.
5．∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，即∠CAE＝∠BAD，
在△ACE与△ABD中，
∴△ACE≌△ABD(ASA).
6．(1)证明：∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠AEC＝90°.
∵CF⊥AE，∴∠BCD＋∠AEC＝90°，∴∠CAE＝∠BCD.
∵BD⊥BC，∴∠CBD＝∠ACE＝90°.
∵AC＝CB，∴△ACE≌△CBD(ASA).∴AE＝CD.　
(2)∵AE是BC边的中线，∴CE＝＝＝＝6(cm).
∵△ACE≌△CBD，∴BD＝CE＝6cm.
7．证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.
∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD(AAS)，∴BE＝CF.
8．(1)证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF(AAS)，∴AB＝CD.
(2)∵△ABE≌△DCF，∴BE＝CF，
又∵AB＝CF，∴AB＝CD＝CF＝BE，∠B＝∠C＝30°，
∴∠D＝∠CFD＝×(180°－30°)＝75°.
1．6　尺规作图
1．作AB的垂直平分线，以点C为圆心，AB的一半长为半径画弧交AB的垂直平分线于点M即可．
第1题图
　　　第2题图
2．(1)如图．　
(2)证明：∵∠ABD＝×60°＝30°，∠A＝30°，
∴∠ABD＝∠A.过点D作DH⊥AB交AB于点H，∴∠AHD＝∠DHB＝90°，
又∵DH＝DH，∴△ADH≌△BDH(AAS)，∴AH＝BH，即H为AB中点，
∵E为AB中点，∴点H，E重合，即△ADE≌△BDE.