2.4 等腰三角形的判定定理 训练——2021-2022学年浙教版数学八年级上册（Word版含答案）

2．4　等腰三角形的判定定理
【笔记】
1．等腰三角形的判定：如果一个三角形有________相等，那么这个三角形是等腰三角形．简单地说，在同一个三角形中，____________．
2．等边三角形的判定：________都相等的三角形是等边三角形，有一个角是________的________三角形是等边三角形．
【训练】
1．下列条件中，不能判定△ABC为等腰三角形的是(　　)
A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3　　　　　
B．AB∶BC∶CA＝2∶2∶3
C．∠B＝50°，∠C＝80°　　　　　
D．2∠A＝∠B＋∠C
2．(铜仁中考)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为(　　)
第2题图
A．6　　　　　
B．7　　　　　
C．8　　　　　
D．9
3．下列说法：①有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高线也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的有(　　)
A．1个　　　　　
B．2个　　　　　
C．3个　　　　　D．4个
4．如图，在下列三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(　　)
A．①②③　　　　　B．①②④　　　　　
C．②③④　　　　　D．①③④
第4题图
5．由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm.若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时AB＝________cm.
第5题图
　　　第6题图
6．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向上的M处，它以40海里/时的速度向正北方向航行，2h后到达位于灯塔P的北偏东40°方向上的N处，则N处与灯塔P的距离为________海里．
7．如图，△ABC为等边三角形，DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，垂足分别为E，F，D，则△DEF是________三角形．
第7题图
　　　第8题图
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，DB，CE分别平分∠ABC和∠ACB，且DE∥BC，若DE＝10，则AB的长为________．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE平分∠ABC，DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.
(1)求证：BD＝DE.
(2)若∠DEB＝30°且DE＝3，求AD的长度．
第9题图
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.
(1)求证：△DEF是等腰三角形．
(2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
第10题图
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有(　　)　
第11题图
A．2个　　　　　　B．3个
C．4个　　　　　　D．5个
12.在△ABC中，∠A＝30°，当∠B＝__________时，△ABC是等腰三角形．
13．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE，
(1)求证：AB＝AC.
(2)若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．
　第13题图
14．(1)如图1所示，在△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作EF∥BC交AB，AC于点E，F，试说明BE＋CF＝EF的理由．
(2)如图2所示，在△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACG，过点D作EF∥BC交AB，AC于点E，F，则BE，CF，EF有怎样的数量关系？并说明你的理由．
第14题图
参考答案
2．4　等腰三角形的判定定理
【笔记】
1．两个角　等角对等边　
2．三个角　60°　等腰　
【训练】
1—4.DDBD
5．18　
6．80　
7．等边
8．5
9．(1)∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC，∴∠DBE＝∠DEB，∴BD＝DE.
(2)∵∠DEB＝∠DBE＝30°＝∠EBC，∴∠ABC＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝60°，∠AED＝∠C＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝DE＝3.
10．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△DBE和△ECF中
∴△DBE≌△ECF，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形．　(2)∵△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝(180°－40°)＝70°，∴∠1＋∠2＝110°，∵∠1＝∠3，∴∠3＋∠2＝110°，∴∠DEF＝70°.
第10题图
11．C
12．30°或75°或120°　
13．(1)过点A作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF，∴AB＝AC.　(2)易证∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC.
第13题图
14．(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠CBD.∴∠ABD＝∠EDB，∴BE＝ED.同理DF＝CF，∴BE＋CF＝EF.　(2)BE－CF＝EF.理由如下：由(1)知BE＝ED，∵EF∥BC，∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD，∴CF＝DF.又ED－DF＝EF，∴BE－CF＝EF.