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1.2二次函数的图象（1）学案
课题
1.2二次函数的图象（1）
单元
第一单元
学科
数学
年级
九年级上册
学习目标
1．掌握用描点法画二次函数y＝ax2(a≠0)的图象；2．能结合图象理解二次函数y＝ax2(a≠0)的图象特征．
重点
掌握y＝ax2(a≠0)型二次函数图象的特征．
难点
经历探索二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质的过程，体会数形结合思想．
教学过程
导入新课
【引入思考】议一议
想一想正比例函数y=kx（k
≠
0）其图象是什么？一次函数y=kx+b（k
≠
0）其图象又是什么？三、反比例函数
（k
≠
0）其图象又是什么？二次函数y=ax?+
bx+c（a
≠
0）其图象又是什么呢？
新知讲解
本节课来研究：二次函数y=ax2的图像按下列步骤用描点法画二次函数y＝x2的图象：1．完成自变量与函数的对应值表．2．以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点．3．用光滑曲线顺次连结各点．回顾上述过程，总结在取对应值、描点等方面有哪些有用的经验和体会，在同一坐标系中画二次函数y＝x2与y＝－x2的图像．1、二次函数y＝x2的图像与y＝－x2的图像关于什么对称？2、如果已知y＝ax2的图像，怎样更方便地得到
y＝－ax2的图像？提炼概念
请归纳二次函数y=ax2的性质：
典例精讲
例1、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(-2,-3).
(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置.
课堂练习
巩固训练
1.下列函数中，y随x增大而增大的是(
)A．y＝－(x>0) B．y＝－x＋5C．y＝－x
D．y＝x2(x<0)2．在同一坐标系中①y＝x2，②y＝－2x2，③y＝4x2这三个函数图象开口最大的是______，最小的是______，开口向下的是______(用序号作答)．3.（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是
,对称轴是
，在
侧，y随着x的增大而增大；在
侧，y随着x的增大而减小，当x=
时，函数y的值最小，最小值是
,抛物线y=2x2在x轴的
方（除顶点外）。抛物线
在x轴的
方（除顶点外），在对称轴的左侧，y随着x的
；在对称轴的右侧，y随着x的
，当x=0时，函数y的值最大，最大值是
，当x
0时，y<0.4.函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3交于(1，b)，求：(1)a和b的值；(2)求抛物线y＝ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴；(3)求抛物线与直线y＝－2的两交点及顶点所构成的三角形面积．答案：引入思考一．正比例函数y=kx（k
≠
0）其图象是一条经过原点的直线.二．一次函数y=kx+b（k
≠
0）其图象也是一条直线.三．反比例函数
（k
≠
0）其图象是双曲线提炼概念1、抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴.
2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展；
当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且向下无限伸展.3、当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大。当x=0时函数y的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x增大而减小，当x=0时，函数y的值最大.典例精讲
例1解：（1）把点（-2，-3）的坐标代入y=ax2，得-3=a（-2）2，解得.所以这个次函数的解析式是
.（2）顶点为（0，0),对称轴为y轴.因为a<0，这个二次函数图象的开口向下，顶点是图象上的最高点，图象在x轴的下方（除顶点外）.
巩固训练A2.解：∵|1|<|－2|<|4|，∴抛物线①的开口最大，抛物线③的开口最小，∵函数y＝－2x2中，二次项系数为－2<0，∴此函数图象开口向下．3.（1）答案：（0，0），y轴，对称轴的右，对称轴的左，0，0，上（2）答案：下，增大而增大，增大而减小，0，≠4.解：(1)将x＝1，y＝b代入y＝2x－3中，得b＝－1.∴交点坐标是(1，－1)，再将x＝1，y＝－1代入y＝ax2，解得a＝－1.∴a＝－1，b＝－1.(2)抛物线的解析式为y＝－x2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴．(3)设直线y＝－2与y＝－x2相交于A，B两点(如图所示)．
由解得A(－，－2)，B(，－2)．∴|AB|＝－(－)＝2，|OC|＝2.∴SΔAOB＝×2×2＝2.
课堂小结
1．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象的画法列表：为了便于计算和描点，一般以O为中心选取自变量x的整数值，y也相应地是整数(至少为五组数)；描点：把自变量x与函数y的每组对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点；连线：用平滑的曲线依次(按自变量由小到大的顺序)连结各点．2．二次函数y＝ax2(a≠0)型图象的特征图象：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条抛物线．对称轴：它关于_________对称．顶点：坐标原点．开口方向：当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的_________点；当a<0时，抛物线的开口_________，顶点是抛物线上的_________点．y轴
最低
向下
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1.2二次函数的图象（1)
浙教版
九年级上
新知导入
复习回顾
一、正比例函数y=kx（k
≠
0）其图象是什么？
二、一次函数y=kx+b（k
≠
0）其图象又是什么？
正比例函数y=kx（k
≠
0）其图象是一条经过原点的直线.
一次函数y=kx+b（k
≠
0）其图象也是一条直线.
反比例函数
（k
≠
0）其图象是双曲线.
三、反比例函数
（k
≠
0）其图象又是什么？
合作学习
二次函数y=ax?+
bx+c（a
≠
0）其图象又是什么呢？
研究：二次函数y=ax2的图像
x
y=x2
y=
-
x2
...
...
...
...
...
...
0
-2
-1.5
-1
-0.5
1
1.5
0.5
2
函数图象画法
列表
描点
连线
0
0.25
1
2.25
4
0.25
1
2.25
4
描点法
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
0
-0.25
-1
-2.25
-4
-0.25
-1
-2.25
-4
注意：列表时自变量
取值要均匀和对称.
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时
所经过的路线，我们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴.
抛物线的顶点位于对称
轴与抛物线的交点处.
抛物线的顶点位于对称
轴与抛物线的交点处.
抛物线的顶点位于对称
轴与抛物线的交点处.
这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴.
这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴.
提炼概念
当a>0时，在对称轴的
左侧，y随着x的增大而
减小。
当a>0时，在对称轴的
右侧，y随着x的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
左侧，y随着x的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
右侧，y随着x的增大而
减小。
当x=-2时，y=4
当x=-1时，y=1
当x=1时，y=1
当x=2时，y=4
当x=-2时，y=-4
当x=-1时，y=-1
当x=1时，y=-1
当x=2时，y=-4
归纳概念
二次函数y=ax2的性质
1、抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴.
2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展；
当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且向下无限伸展.
3、当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；
在对称轴右侧，y随着x的增大而增大。当x=0时函数y的值最小.
当a<0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；
在对称轴的右侧，y随着x增大而减小，当x=0时，函数y的值最大.
典例精讲
新知讲解
例1、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(-2,-3).
(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.
(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置.
解：（1）把点（-2，-3）的坐标代入y=ax2，得-3=a（-2）2，解得
所以这个次函数的解析式是
.
（2）顶点为（0，0),对称轴为y轴.
因为a<0，这个二次函数图象的开口向下，顶点是图象上的最高点，图象在x轴的下方（除顶点外）.
课堂练习
1.下列函数中，y随x增大而增大的是(
)
A
2．在同一坐标系中①y＝x2，②y＝－2x2，③y＝4x2这三个函数图象开口最大的是______，最小的是______，开口向下的是______(用序号作答)．
【解析】∵|1|<|－2|<|4|，∴抛物线①的开口最大，抛物线③的开口最小，∵函数y＝－2x2中，二次项系数为－2<0，∴此函数图象开口向下．
【点悟】|a|越大，抛物线y＝ax2(a≠0)开口越小．
3.（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是
,对称轴是
，在
侧，y随着x的增大而增大；在
侧，
y随着x的增大而减小，当x=
时，函数y的值最小，最小值是
,抛物线y=2x2在x轴的
方（除顶点外）。
答案：（0，0），y轴，对称轴的右，对称轴的左，0，0，上
（2）抛物线
在x轴的
方（除顶点外），在对称轴的
左侧，y随着x的
；在对称轴的右侧，y随着x的
，当x=0时，函数y的值最大，最大值是
，
当x
0时，y<0.
答案：下，增大而增大，增大而减小，0，
4.函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3交于(1，b)，求：
(1)a和b的值；
(2)求抛物线y＝ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴；
(3)求抛物线与直线y＝－2的两交点及顶点所构成的三角形面积．
解：(1)将x＝1，y＝b代入y＝2x－3中，得b＝－1.
∴交点坐标是(1，－1)，再将x＝1，y＝－1代入y＝ax2，解得a＝－1.∴a＝－1，b＝－1.
(2)抛物线的解析式为y＝－x2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴．
(3)设直线y＝－2与y＝－x2相交于A，B两点(如图所示)．
课堂总结
1．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象的画法
列表：为了便于计算和描点，一般以O为中心选取自变量x的整数值，y也相应地是整数(至少为五组数)；
描点：把自变量x与函数y的每组对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点；
连线：用平滑的曲线依次(按自变量由小到大的顺序)连结各点．
注意：(1)画图时图象应越过端点，表示向上或向下无限延伸；(2)作图时应注意在两个象限内画出的曲线是对称的；(3)顶点不能画成尖角形，而应圆滑．
2．二次函数y＝ax2(a≠0)型图象的特征
图象：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条抛物线．
对称轴：它关于_________对称．
顶点：坐标原点．
开口方向：当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的_________点；当a<0时，抛物线的开口_________，顶点是抛物线上的_________点．
y轴
最低
向下
最高
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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1.2二次函数的图象（1）教案
课题
1.2二次函数的图象（1）
单元
一
学科
数学
年级
九年级（上）
学习目标
1．掌握用描点法画二次函数y＝ax2(a≠0)的图象；2．能结合图象理解二次函数y＝ax2(a≠0)的图象特征．
重点
掌握y＝ax2(a≠0)型二次函数图象的特征．
难点
经历探索二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质的过程，体会数形结合思想．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题回顾思考：一、正比例函数y=kx（k
≠
0）其图象是什么.正比例函数y=kx（k
≠
0）其图象是一条经过原点的直线.二、一次函数y=kx+b（k
≠
0）其图象又是什么？一次函数y=kx+b（k
≠
0）其图象也是一条直线.三、反比例函数
（k
≠
0）其图象又是什么？反比例函数
（k
≠
0）其图象是双曲线.二次函数y=ax?+
bx+c（a
≠
0）其图象又是什么呢？本节课来研究：二次函数y=ax2的图像按下列步骤用描点法画二次函数y＝x2的图象：1．完成自变量与函数的对应值表．2．以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点．3．用光滑曲线顺次连结各点．回顾上述过程，总结在取对应值、描点等方面有哪些有用的经验和体会，在同一坐标系中画二次函数y＝x2与y＝－x2的图像．1、二次函数y＝x2的图像与y＝－x2的图像关于什么对称？2、如果已知y＝ax2的图像，怎样更方便地得到
y＝－ax2的图像？
思考自议
经历描点法画函数图象的过程．学会观察、
归纳、概括函数图象的特征．
注意：(1)画图时图象应越过端点，表示向上或向下无限延伸；(2)作图时应注意在两个象限内画出的曲线是对称的；(3)顶点不能画成尖角形，而应圆滑．
讲授新课
提炼概念
二次函数y=ax2的性质
1、抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴.
2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展；
当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且向下无限伸展.3、当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大。当x=0时函数y的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x增大而减小，当x=0时，函数y的值最大.三、典例精讲例1、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(-2,-3).
(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置.解：（1）把点（-2，-3）的坐标代入y=ax2，得-3=a（-2）2，解得.所以这个次函数的解析式是
.（2）顶点为（0，0),对称轴为y轴.因为a<0，这个二次函数图象的开口向下，顶点是图象上的最高点，图象在x轴的下方（除顶点外）.
经历探索二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质的过程，体会数形结合思想．
(1)抛物线y＝ax2的顶点是原点(0，0)，对称轴是y轴，开口方向由a的符号决定，开口大小由|a|决定．(2)|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线开口越大；|a|相等，抛物线开口等宽．
课堂检测
四、巩固训练1.下列函数中，y随x增大而增大的是(
)A．y＝－(x>0) B．y＝－x＋5C．y＝－x
D．y＝x2(x<0)A2．在同一坐标系中①y＝x2，②y＝－2x2，③y＝4x2这三个函数图象开口最大的是______，最小的是______，开口向下的是______(用序号作答)．解：∵|1|<|－2|<|4|，∴抛物线①的开口最大，抛物线③的开口最小，∵函数y＝－2x2中，二次项系数为－2<0，∴此函数图象开口向下．3.（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是
,对称轴是
，在
侧，y随着x的增大而增大；在
侧，y随着x的增大而减小，当x=
时，函数y的值最小，最小值是
,抛物线y=2x2在x轴的
方（除顶点外）。答案：（0，0），y轴，对称轴的右，对称轴的左，0，0，上抛物线
在x轴的
方（除顶点外），在对称轴的左侧，y随着x的
；在对称轴的右侧，y随着x的
，当x=0时，函数y的值最大，最大值是
，当x
0时，y<0.答案：下，增大而增大，增大而减小，0，≠4.函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3交于(1，b)，求：(1)a和b的值；(2)求抛物线y＝ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴；(3)求抛物线与直线y＝－2的两交点及顶点所构成的三角形面积．解：(1)将x＝1，y＝b代入y＝2x－3中，得b＝－1.∴交点坐标是(1，－1)，再将x＝1，y＝－1代入y＝ax2，解得a＝－1.∴a＝－1，b＝－1.(2)抛物线的解析式为y＝－x2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴．(3)设直线y＝－2与y＝－x2相交于A，B两点(如图所示)．由解得A(－，－2)，B(，－2)．∴|AB|＝－(－)＝2，|OC|＝2.∴SΔAOB＝×2×2＝2.
课堂小结
1．二次函数y＝ax2(a≠0)的图象的画法列表：为了便于计算和描点，一般以O为中心选取自变量x的整数值，y也相应地是整数(至少为五组数)；描点：把自变量x与函数y的每组对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点；连线：用平滑的曲线依次(按自变量由小到大的顺序)连结各点．2．二次函数y＝ax2(a≠0)型图象的特征图象：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条抛物线．对称轴：它关于_________对称．顶点：坐标原点．开口方向：当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的_________点；当a<0时，抛物线的开口_________，顶点是抛物线上的_________点．y轴
最低
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2
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