中小学教育资源及组卷应用平台
1.4二次函数的应用（2）
学案
课题
1.4二次函数的应用（2）
单元
第一单元
学科
数学
年级
九年级上册
学习目标
1.运用二次函数求有关“距离”问题；2．运用二次函数求有关“何时获得最大”问题．
重点
利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题．
难点
解决二次函数求有关“距离”问题时充分运用勾股定
理、函数思想、数形结合思想．
教学过程
导入新课
【引入思考】议一议
想一想想一想：如何求下列函数的最值？
新知讲解
提炼概念“二次函数应用”
的思路运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤
:典例精讲
例2、如图，Ｂ船位于Ａ船正东２６km处，现在Ａ，Ｂ两船同时出发，A船以１２km/h的速度朝正北方向行驶，B船以５km/h的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶.问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？
课堂练习
巩固训练1.下列有关函数y＝的说法正确的是(
）A．有最大值2，又有最小值0B．有最大值，但没有最小值C．有最大值1，又有最小值0D．既有最大值，又有最小值02.如图是两条互相垂直的街道,
且A到B,
C的距离都是4千米.
现甲从B地走向A地,
乙从A地走向C地,
若两人同时出发且速度都是4千米/时,
问何时两人之间的距离最近?某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？【点悟】
利用二次函数求最大利润问题时注意：(1)分类讨论(涨价与降价)；(2)分涨价和降价每件的利润与每周的销售量，理清价格与它们之间的关系；(3)自变量的取值范围的确定，保证实际问题有意义；(4)一般是利用二次函数顶点坐标求最大值，但有时顶点不在取值范围内，此时可利用图象分析．答案引入思考根据函数的性质即可得出此函数的最值.提炼概念（1）求出函数解析式和自变量的取值范围.（2）配方变形，或检查求得的最大值或最小值对(3）应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.（4）利用公式求它的最大值或最小值.典例精讲
例3例4答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1280元。巩固训练D2.解：设两人均出发了t时,
则此时甲到A地的距离是(4－4t)千米,
乙离A地的距离是4t千米,
由勾股定理,
得甲,
乙两人间的距离为：S=,∴当t=(在0S的最小值为千米.3.解：调整价包括涨价和降价两种情况：(1)设每件涨价x元，每星期少卖10x件，实际卖出(300－10x)件，销售额为(60＋x)(300－10x)元，买进商品需付40(300－10x)元．因此，所得利润y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)，即y＝－10x2＋100x＋6
000＝－10(x－5)2＋6
250.其中0≤x≤30.(∵300－10x≥0，∴x≤30)当x＝5时，y有最大值为6
250.即在涨价情况下，涨价5元，定价65元，所获利润最大，最大利润是6
250元．(2)设每件降价x元，则每星期可多卖20x件，实际卖出(300＋20x)件，销售额为(60－x)(300＋20x)元，买进商品时需付40(300＋20x)元，因此，所得利润y＝(60－x)(300＋20x)－40(300＋20x)，即y＝－20x2＋100x＋6
000＝－20(x2－5x－300)＝－20＝－20＝－20(x－)2＋6
125.
课堂小结
1.综合运用二次函数和其他数学知识解决与距离、利润等有关的函数最值问题．“距离”问题：要构造直角三角形，利用勾股定理，建立S＝型的函数关系式(这不是二次函数)，但问题的本质是求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大(小)值．2.“最大利润”问题：一般是先运用“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝每件商品所获利润×销售数量”，建立利润与价格之间的二次函数表达式，求出这个函数表达式的顶点坐标(符合实际情况)，即求得最大利润．
?
?
?
?
?
?
?
?
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
1.4二次函数的应用（2）
教案
课题
1.4二次函数的应用（2）
单元
一
学科
数学
年级
九年级（上）
学习目标
1．运用二次函数求有关“距离”问题；2．运用二次函数求有关“何时获得最大”问题．
重点
利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题．
难点
解决二次函数求有关“距离”问题时充分运用勾股定理、函数思想、数形结合思想．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
创设情景，引出课题想一想：如何求下列函数的最值？根据函数的性质即可得出此函数的最值.二、提炼概念“二次函数应用”
的思路运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤
:（1）求出函数解析式和自变量的取值范围.（2）配方变形，或检查求得的最大值或最小值对(3）应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.（4）利用公式求它的最大值或最小值.
思考自议
掌握运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤.
解决二次函数求有关“距离”问题时充分运用勾股定理、函数思想、数形结合思想．
讲授新课
三、典例精讲
例2、如图，Ｂ船位于Ａ船正东２６km处，现在Ａ，Ｂ两船同时出发，A船以１２km/h的速度朝正北方向行驶，B船以５km/h的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶.问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1280元。
几何动点问题，利用二次函数解决有关几何动点问题是常用的方法．解题关键是利用勾股定理、面积公式及几何知识建立函数表达式，求函数的最大(小)值．
利用二次函数求最大利润问题时注意：(1)分类讨论(涨价与降价)；(2)分涨价和降价每件的利润与每周的销售量，理清价格与它们之间的关系；(3)自变量的取值范围的确定，保证实际问题有意义；(4)一般是利用二次函数顶点坐标求最大值，但有时顶点不在取值范围内，此时可利用图象分析．
课堂检测
四、巩固训练1.下列有关函数y＝的说法正确的是(
）A．有最大值2，又有最小值0B．有最大值，但没有最小值C．有最大值1，又有最小值0D．既有最大值，又有最小值0D2.如图是两条互相垂直的街道,
且A到B,
C的距离都是4千米.
现甲从B地走向A地,
乙从A地走向C地,
若两人同时出发且速度都是4千米/时,
问何时两人之间的距离最近?解：设两人均出发了t时,
则此时甲到A地的距离是(4－4t)千米,
乙离A地的距离是4t千米,
由勾股定理,
得甲,
乙两人间的距离为：21·世纪
教育网S=,∴当t=(在0S的最小值为千米.3.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：调整价包括涨价和降价两种情况：(1)设每件涨价x元，每星期少卖10x件，实际卖出(300－10x)件，销售额为(60＋x)(300－10x)元，买进商品需付40(300－10x)元．因此，所得利润y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)，即y＝－10x2＋100x＋6
000＝－10(x－5)2＋6
250.其中0≤x≤30.(∵300－10x≥0，∴x≤30)当x＝5时，y有最大值为6
250.即在涨价情况下，涨价5元，定价65元，所获利润最大，最大利润是6
250元．(2)设每件降价x元，则每星期可多卖20x件，实际卖出(300＋20x)件，销售额为(60－x)(300＋20x)元，买进商品时需付40(300＋20x)元，因此，所得利润y＝(60－x)(300＋20x)－40(300＋20x)，即y＝－20x2＋100x＋6
000＝－20(x2－5x－300)＝－20＝－20＝－20(x－)2＋6
125.【点悟】
利用二次函数求最大利润问题时注意：(1)分类讨论(涨价与降价)；(2)分涨价和降价每件的利润与每周的销售量，理清价格与它们之间的关系；(3)自变量的取值范围的确定，保证实际问题有意义；(4)一般是利用二次函数顶点坐标求最大值，但有时顶点不在取值范围内，此时可利用图象分析．
课堂小结
1.综合运用二次函数和其他数学知识解决与距离、利润等有关的函数最值问题．“距离”问题：要构造直角三角形，利用勾股定理，建立S＝型的函数关系式(这不是二次函数)，但问题的本质是求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大(小)值．2.“最大利润”问题：一般是先运用“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝每件商品所获利润×销售数量”，建立利润与价格之间的二次函数表达式，求出这个函数表达式的顶点坐标(符合实际情况)，即求得最大利润．
?
?
?
?
?
?
?
?
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共18张PPT)
1.4二次函数的应用（2)
浙教版
九年级上
新知导入
复习回顾
实际问题
抽象
转化
数学问题
运用
数学知识
问题得解
返回解释
检验
合作学习
想一想
如何求下列函数的最值？
根据函数的性质即可得出此函数的最值。
典例精讲
新知讲解
例2、如图，Ｂ船位于Ａ船正东２６km处，现在Ａ，Ｂ两船同时出发，A船以１２km/h的速度朝正北方向行驶，B船以５km/h的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？
提炼概念
“二次函数应用”
的思路
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤
:
求出函数解析式和自变量的取值范围.
配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值.
检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
例3、某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元.经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶.问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？
答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1280元。
课堂练习
D
2.如图是两条互相垂直的街道,
且A到B,
C的距离都是4千米.
现甲从B地走向A地,
乙从A地走向C地,
若两人同时出发且速度都是4千米/时,
问何时两人之间的距离最近?
解:设两人均出发了t时,
则此时甲到A地的距离是(4－4t)千米,
乙离A地的距离是4t千米,
由勾股定理,
得甲,
乙两人间的距离为：
s=2S=1·世纪
教
∴当
在0.
(
3.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
解：调整价包括涨价和降价两种情况：
(1)设每件涨价x元，每星期少卖10x件，实际卖出(300－10x)件，销售额为(60＋x)(300－10x)元，买进商品需付40(300－10x)元．因此，所得利润
y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)，
即y＝－10x2＋100x＋6
000＝－10(x－5)2＋6
250.
其中0≤x≤30.(∵300－10x≥0，∴x≤30)
当x＝5时，y有最大值为6
250.即在涨价情况下，涨价5元，定价65元，所获利润最大，最大利润是6
250元．
(2)设每件降价x元，则每星期可多卖20x件，实际卖出(300＋20x)件，销售额为(60－x)(300＋20x)元，买进商品时需付40(300＋20x)元，因此，所得利润
y＝(60－x)(300＋20x)－40(300＋20x)，即
y＝－20x2＋100x＋6
000＝－20(x2－5x－300)
【点悟】
利用二次函数求最大利润问题时注意：
(1)分类讨论(涨价与降价)；
(2)分涨价和降价每件的利润与每周的销售量，理清价格与它们之间的关系；
(3)自变量的取值范围的确定，保证实际问题有意义；
(4)一般是利用二次函数顶点坐标求最大值，但有时顶点不在取值范围内，此时可利用图象分析．
课堂总结
2.“最大利润”问题：一般是先运用“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝每件商品所获利润×销售数量”，建立利润与价格之间的二次函数表达式，求出这个函数表达式的顶点坐标(符合实际情况)，即求得最大利润．
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
