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1.4二次函数的应用（3)
浙教版
九年级上
新知导入
复习回顾
由b?-4ac的符号决定
b?-4ac﹥0，有两个交点
b?-4ac=0，只有一个交点
b?-4ac﹤0，没有交点
如何求二次函数图象的顶点坐标，与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标？
二次数函的图象与x轴有没有交点，由什么决定?
合作学习
探究：求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标.
解：∵A、B在x轴上，∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-3x+2=0
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0）
，
B（2，0）
你发现方程
的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？
x2-3x+2=0
方程的解是函数图象与x轴的交点的横坐标.
典例精讲
新知讲解
1
2
0
-1
-2
t(s)
1
2
3
4
5
6
h(m)
地面
1
2
0
-1
-2
t(s)
1
2
3
4
5
6
h(m)
解：由题意，得h关于t的二次函数解析式为h=10t-5t?
取h=0，得一元二次方程10t－5t?=0
解方程得t1=0；t2=2
球从弹起至回到地面需要时间为t2－t1=2（s）
取h=3.75，得一元二次方程10t－5t?=3.75
解方程得t1=0.5；t2=1.5
答：球从弹起至回到地面需要时间为2（s）；
经过圆心的0.5s或1.5s球的高度达到3.75m。
提炼概念
例5
利用二次函数的图象求一元二次方程x?+x－1=
0
的近似解．
在例5中，我们把一元二次方程
x?+x-1=
0
的解看做是抛物线
y=x?+x-1
与x轴交点的横坐标，利用图象求出了方程的近似解．
如果把方程x?+x-1
=
0变形成
x?
=
-x+1，那么方程的解也可以看成怎样的两个函数的交点的横坐标？用不同图象解法试一试，结果相同吗？
在不使用计算机画图象的情况下，你认为哪一种方法较为方便？
利用二次函数的图象求一元二次方程
x?+x-1=
0
的近似解．
1
2
0
-1
-2
x
1
2
3
4
5
6
y
y=x?
｛
y1=x2
y2=-x+1
A
B
y=1-x
反过来，也可利用二次函数的图象求一元二次方程的解.
二次函数y=ax?+bx+c
y=0
一元二次方程ax?+bx+c=0
两根为x1=m；x2=n
函数与x轴交点坐标为：
（m，0）；（n，0）
归纳概念
课堂练习
1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交点的
个数是(
)
?A．3
B．2
C．1
D．0
B
2．根据下表的对应值：
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2＋bx＋c
－0.06
－0.02
0.03
0.09
判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b，c为常数)一个解x的范围是
(
)
A．3B．3.23C．3.24D．3.25【解析】
当x由3.24变到3.25时，ax2＋bx＋c(a≠0)的值由－0.02变到0.03，则中间必过原点．所以方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个解必在3.24C
3.利用函数图象判断方程2x2－x－1＝0有没有实数解，若有，求出它的解(精确到十分位)．
【解析】
用函数图象解方程有两种方法：一是求函数y＝2x2－x－1与x轴交点的横坐标；二是求函数y＝2x2与y＝x＋1的图象的交点的横坐标．
解：方法一：设y＝2x2－x－1，则方程2x2－x－1＝0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标．在平面直角坐标系内画出函数y＝2x2－x－1的图象如图(1)所示，得到与x轴交点为A，B，则A，B的横坐标x1，x2就是方程的解．由图象可知方程2x2－x－1＝0的解为x1＝－0.5，x2＝1.0.
(1)
方法二：设y＝2x2与y＝x＋1，则方程2x2－x－1＝0的解就是函数y＝2x2与y＝x＋1的图象交点的横坐标．在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x2与y＝x＋1的图象，如图(2)所示，得到两函数图象有两个交点A，B，即方程2x2－x－1＝0有两个实数解，且A，B两点的横坐标x1，x2就是方程的解．由图象可得方程2x2－x－1＝0的解为x1＝－0.5，x2＝1.0.
【点悟】
用函数图象解方程有两种方法：
(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标；
(2)求二次函数y＝ax2与一次函数y＝－bx－c的图象的交点的横坐标．
4.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)求方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．
(2)求不等式ax2＋bx＋c>0的解集．
(3)求y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．
(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【解析】(1)方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，即抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标．
(2)不等式ax2＋bx＋c>0的解集即为抛物线y＝ax2＋bx＋c>0所对应的x的值．
(3)抛物线的对称轴是直线x＝2.当x>2时，y随x的增大而减小．
(4)方程ax2＋bx＋c＝k的根，可以看作抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k的交点情况．因为抛物线的最大值为y＝2，所以方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根对应的是抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k有两个交点．故k<2.
解：(1)x1＝1，x2＝3；(2)12；
(4)k<2.
【点悟】(1)当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
(2)不等式ax2＋bx＋c>0(或ax2＋bx＋c<0)的解集就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)>0(或y＝ax2＋bx＋c(a≠0)<0)所对应的x的取值范围．
(3)方程ax2＋bx＋c＝k的解可以看作求抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k的交点的横坐标．
这样，我们就可以把方程、函数、不等式这三大块代数知识有机地联系起来了．
课堂总结
1．用一元二次方程求二次函数的图象与x轴(或平行于x轴的直线)的交点坐标
二次函数图象与x轴交点坐标：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根．因此可以用方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)来求抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点坐标．
二次函数图象与平行于x轴的直线的交点坐标：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与平行于x轴的直线y＝n的交点横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝n(a≠0)的两个根．
2．利用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似解
步骤：(1)画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象．
(2)确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的取值范围，即确定抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点的横坐标的大致范围．
(3)在(2)确定的范围内，用计算器进行探索，即在(2)范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
(4)确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解(或近似解)．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解或近似解．
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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1.4二次函数的应用（3）
教案
课题
1.4二次函数的应用（3）
单元
一
学科
数学
年级
九年级（上）
学习目标
1．会用一元二次方程求二次函数的图象与x轴(或平行于x轴的直线)的交点坐标；2．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解(或解)．
重点
问题解决过程中二次函数与一元二次方程两种数学模式的相互转换．
难点
学会利用函数的思想方法解决一元二次方程问题和利用一元二次方程知识解决二次函数问题.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
创设情景，引出课题思考：二次数函的图象与x轴有没有交点，由什么决定?由b?-4ac的符号决定：b?-4ac﹥0，有两个交点b?-4ac=0，只有一个交点b?-4ac﹤0，没有交点如何求二次函数图象的顶点坐标，与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标？探究：求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标.解：∵A、B在x轴上，
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-3x+2=0
解得：x1=1，x2=2；∴A（1，0）
，
B（2，0）你发现方程
x2-3x+2=0
的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？方程的解是函数图象与x轴的交点的横坐标。二、提炼概念我们知道，二次函数y＝ax2＋bx
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根。因此我们可以通过解方程ax2＋bx＋c＝0来求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的坐标；反过来，也可以由y＝ax2＋bx＋c的图象来求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解。
思考自议
利用数形结合的思想研究一元二次方程根的情况，体会知识内在的联系；
学会利用函数的思想方法解决一元二次方程问题和利用一元二次方程知识解决二次函数问题.
讲授新课
三、典例精讲
例4、一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t（s）时球的高度为h（m）。已知物体竖直上抛运动中，（v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g=10m/s?）。问球从弹起至回到地面需要多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m?分析：根据题意可以得出函数并画出函数的大致图象，从图象我们可以看到，图象与横轴的两个交点分别为(0,0)，(2,0).它们的横坐标分别为0与2，就是球从地面弹起和回到地面的时刻，此时h=0.所以这两个时刻也就是一元二次方程的两个根.这两个时刻的差就是球从地面弹起至回到地面所需的时间。解：由题意，得h关于t的二次函数解析式为h=10t-5t?取h=0，得一元二次方程
10t－5t?=0解方程得t1=0；t2=2球从弹起至回到地面需要时间为t2－t1=2（s）取h=3.75，得一元二次方程10t－5t?=3.75解方程得t1=0.5；t2=1.5答：球从弹起至回到地面需要时间为2（s）；经过圆心的0.5s或1.5s球的高度达到3.75m。
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
归纳从上例我们看到，可以利用解一元二次方程求二次函数的图象与横轴(或平行于横轴的直线)的交点坐标。例5、利用二次函数的图象求一元二次方程x?+x-1=0的近似解。解：设，则方程的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标.在直角坐标系中画出函数的图象，得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标就是方程的解.观察图，得到点A的横坐标点B的横坐标.所以方程的近似解为，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)想一想将和代入，其值分别是多少？
课堂检测
四、巩固训练1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交点的个数是(
)?A．3
B．2
C．1
D．0B根据下表的对应值：x3.233.243.253.26ax2＋bx＋c－0.06－0.020.030.09判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b，c为常数)一个解x的范围是
(
)A．3B．3.23D．3.25当x由3.24变到3.25时，ax2＋bx＋c(a≠0)的值由－0.02变到0.03，则中间必过原点．所以方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个解必在3.24用函数图象解方程有两种方法：一是求函数y＝2x2－x－1与x轴交点的横坐标；二是求函数y＝2x2与y＝x＋1的图象的交点的横坐标．解：方法一：设y＝2x2－x－1，则方程2x2－x－1＝0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标．在平面直角坐标系内画出函数y＝2x2－x－1的图象如图(1)所示，得到与x轴交点为A，B，则A，B的横坐标x1，x2就是方程的解．由图象可知方程2x2－x－1＝0的解为x1＝－0.5，x2＝1.0.方法二：设y＝2x2与y＝x＋1，则方程2x2－x－1＝0的解就是函数y＝2x2与y＝x＋1的图象交点的横坐标．在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x2与y＝x＋1的图象，如图(2)所示，得到两函数图象有两个交点A，B，即方程2x2－x－1＝0有两个实数解，且A，B两点的横坐标x1，x2就是方程的解．由图象可得方程2x2－x－1＝0的解为x1＝－0.5，x2＝1.0.【点悟】
用函数图象解方程有两种方法：(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标；(2)求二次函数y＝ax2与一次函数y＝－bx－c的图象的交点的横坐标．4.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)求方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．(2)求不等式ax2＋bx＋c>0的解集．(3)求y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【解析】(1)方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，即抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标．(2)不等式ax2＋bx＋c>0的解集即为抛物线y＝ax2＋bx＋c>0所对应的x的值．(3)抛物线的对称轴是直线x＝2.当x>2时，y随x的增大而减小．(4)方程ax2＋bx＋c＝k的根，可以看作抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k的交点情况．因为抛物线的最大值为y＝2，所以方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根对应的是抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k有两个交点．故k<2.解：(1)x1＝1，x2＝3；(2)12；(4)k<2.【点悟】(1)当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．(2)不等式ax2＋bx＋c>0(或ax2＋bx＋c<0)的解集就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)>0(或y＝ax2＋bx＋c(a≠0)<0)所对应的x的取值范围．(3)方程ax2＋bx＋c＝k的解可以看作求抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k的交点的横坐标．这样，我们就可以把方程、函数、不等式这三大块代数知识有机地联系起来了．
课堂小结
1．用一元二次方程求二次函数的图象与x轴(或平行于x轴的直线)的交点坐标二次函数图象与x轴交点坐标：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根．因此可以用方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)来求抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点坐标．二次函数图象与平行于x轴的直线的交点坐标：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与平行于x轴的直线y＝n的交点横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝n(a≠0)的两个根．2．利用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似解步骤：(1)画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象．(2)确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的取值范围，即确定抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点的横坐标的大致范围．(3)在(2)确定的范围内，用计算器进行探索，即在(2)范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．(4)确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解(或近似解)．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解或近似解．
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1.4二次函数的应用（3）
学案
课题
1.4二次函数的应用（3）
单元
第一单元
学科
数学
年级
九年级上册
学习目标
1．会用一元二次方程求二次函数的图象与x轴(或平行于x轴的直线)的交点坐标；2．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解(或解)．
重点
问题解决过程中二次函数与一元二次方程两种数学模式的相互转换．
难点
学会利用函数的思想方法解决一元二次方程问题和利用一元二次方程知识解决二次函数问题.
教学过程
导入新课
【引入思考】议一议
想一想思考：二次数函的图象与x轴有没有交点，由什么决定?如何求二次函数图象的顶点坐标，与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标？探究：求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标.你发现方程
x2-3x+2=0
的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？
新知讲解
提炼概念我们知道，二次函数y＝ax2＋bx
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程
的两个根。因此我们可以通过解方程ax2＋bx＋c＝0来求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的坐标；反过来，也可以由
的图象来求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解。典例精讲
例4、一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t（s）时球的高度为h（m）。已知物体竖直上抛运动中，（v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g=10m/s?）。问球从弹起至回到地面需要多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m?例5、利用二次函数的图象求一元二次方程x?+x-1=0的近似解。
课堂练习
巩固训练1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交点的个数是(
)?A．3
B．2
C．1
D．0根据下表的对应值：x3.233.243.253.26ax2＋bx＋c－0.06－0.020.030.09判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b，c为常数)一个解x的范围是
(
)A．3B．3.23D．3.250的解集．(3)求y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．答案引入思考由b?-4ac的符号决定：b?-4ac﹥0，有两个交点
；b?-4ac=0，只有一个交点b?-4ac﹤0，没有交点解：∵A、B在x轴上，∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-3x+2=0
解得：x1=1，x2=2；∴A（1，0）
，
B（2，0）方程的解是函数图象与x轴的交点的横坐标。提炼概念ax2＋bx
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＋c=0(a≠0)y＝ax2＋bx
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＋c(a≠0)典例精讲例4
解：由题意，得h关于t的二次函数解析式为h=10t-5t?取h=0，得一元二次方程
10t－5t?=0解方程得t1=0；t2=2球从弹起至回到地面需要时间为t2－t1=2（s）取h=3.75，得一元二次方程10t－5t?=3.75解方程得t1=0.5；t2=1.5答：球从弹起至回到地面需要时间为2（s）；经过圆心的0.5s或1.5s球的高度达到3.75m。
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归纳从上例我们看到，可以利用解一元二次方程求二次函数的图象与横轴(或平行于横轴的直线)的交点坐标。例5
解：设，则方程的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标.在直角坐标系中画出函数的图象，得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标就是方程的解.观察图，得到点A的横坐标点B的横坐标.所以方程的近似解为，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)巩固训练1.B2.【解析】
当x由3.24变到3.25时，ax2＋bx＋c(a≠0)的值由－0.02变到0.03，则中间必过原点．所以方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个解必在3.240的解集即为抛物线y＝ax2＋bx＋c>0所对应的x的值．(3)抛物线的对称轴是直线x＝2.当x>2时，y随x的增大而减小．(4)方程ax2＋bx＋c＝k的根，可以看作抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k的交点情况．因为抛物线的最大值为y＝2，所以方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根对应的是抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k有两个交点．故k<2.解：(1)x1＝1，x2＝3；(2)12；(4)k<2.
课堂小结
1．用一元二次方程求二次函数的图象与x轴(或平行于x轴的直线)的交点坐标二次函数图象与x轴交点坐标：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根．因此可以用方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)来求抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点坐标．二次函数图象与平行于x轴的直线的交点坐标：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与平行于x轴的直线y＝n的交点横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝n(a≠0)的两个根．2．利用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似解步骤：(1)画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象．(2)确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的取值范围，即确定抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点的横坐标的大致范围．(3)在(2)确定的范围内，用计算器进行探索，即在(2)范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．(4)确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解(或近似解)．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解或近似解．
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