1.4 二次函数的应用 同步练习（含解析）

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初中数学浙教版九年级上册1.4 二次函数的应用 同步练习
一、单选题
1.二次函数 的图象与x轴交点的个数为（??? ）
A.?0个????????????????????????????????????B.?1个????????????????????????????????????C.?2个????????????????????????????????????D.?1个或2个
2.如图，矩形 中， ， ，抛物线 的顶点 在矩形 内部或其边上，则 的取值范围是（ ??）
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
3.如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A ， B ． 与y轴交于点C ． 连接AC、BC ． 已知△ABC的面积为3．将抛物线向左平移h（h＞0）个单位，记平移后抛物线中y随着x的增大而增大的部分为H ． 当直线BC与H没有公共点时，h的取值范围是（??? ）
A.?h＞ ???????????????????????????????B.?0＜h≤ ???????????????????????????????C.?h＞2???????????????????????????????D.?0＜h＜2
4.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为（??? ）人
A.?56?????????????????????????????????????????B.?55?????????????????????????????????????????C.?54?????????????????????????????????????????D.?53
5.已知一次函数 ，二次函数 ，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值分别为 和 ，则下列表述正确的是（??? ）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.? ， 的大小关系不确定
6.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（ ）
A.?20?????????????????????????????????????B.?1508?????????????????????????????????????C.?1550?????????????????????????????????????D.?1558
7.在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为 ，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（　　）
A.? 米?????????????????????????????????????B.?8米?????????????????????????????????????C.?10米?????????????????????????????????????D.?2米
8.实数a，b，c满足4a﹣2b+c＝0，则（?? ）
A.?b2﹣4ac＞0??????????????????????B.?b2﹣4ac≥0??????????????????????C.?b2﹣4ac＜0??????????????????????D.?b2﹣4ac≤0
9.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s.④小球抛出2秒后的高度是35m.其中正确的有（?? ）
A.?①②??????????????????????????????????B.?②③??????????????????????????????????C.?①③④??????????????????????????????????D.?①②③
10.二次函数y＝x2+2kx+k2﹣1（k为常数）与x轴的交点个数为（? ）
A.?1???????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????C.?0???????????????????????????????????????D.?无法确定
11.小明在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数 ，则小明此次成绩为（?? ）
A.?8米?????????????????????????????????????B.?10米?????????????????????????????????????C.?12米?????????????????????????????????????D.?14米
12.如图所示，将一根长 m的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是（? ）
A.?正比例函数关系????????????????B.?一次函数关系
????????????????C.?二次函数关系????????????????D.?反比例函数关系
13.已知抛物线 与x轴的一个交点为 ，则代数式 的值为（?? ）
A.?2018???????????????????????????????????B.?2019???????????????????????????????????C.?2020???????????????????????????????????D.?2021
14.已知二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，且 ，与 轴的负半轴相交.则下列关于 、 的大小关系正确的是（?? ）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
15.当 时，二次函数 的图象与x轴所截得的线段长度之和为（??? ）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
二、填空题
16.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度 与水平距离 之间的关系为 ，由此可知铅球推出的距离是________m．
17.以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2.现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1 ， 经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2 ， 经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）.若h1＝2h2 ， 则t1：t2＝________.
18.某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是________元.
19.已知抛物线 与 轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是________．
20.如图，直线 与抛物线 交于点 ，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式 的解集为________．
21.一个球从地面上竖直向上弹起的过程中，距离地面高度 （米）与经过的时间 （秒）满足以下函数关系： ，则该球从弹起回到地面需要经过________秒，距离地面的最大高度为________米.
22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为________.
23.如图，已知直线 分别交 轴、 轴于点 、 ，点 是抛物线 上的一个动点，其横坐标为 ．过点 且平行于 轴的直线与直线 交于点 ，当 时， 的值是________．
24.如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足函数关系式 ，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是________米．
25.二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点(0，-3)，与x轴两个交点的横坐标分别为m，n，则a(m2+n2)+b（m+n）的值为________
三、计算题
26.已知函数y=2x2-(3-k)x+k2-3k-10的图象经过原点，试确定k的值。
四、解答题（共2题；共10分）
27.如图，一个边长为 的正方形花坛是由4块全等的小正方形区域组成的中心对称图形.在小正方形 中，点G、E、F分别在 、 、 上，且 .在 、 、五边形 三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元.问：点E在什么位置时，正方形花坛种植花卉所需的总费用最少，最少为多少元？
28.某百货商店服装在销售过程中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件，当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？

五、综合题
29.某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元.
（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？

（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
30.某公司计划组织员工去武夷山风景区三日游，人数估计在 人.已知某旅行社的收费方案为：如果人数超过20人且不超过30人，人均收费为1000元；如果超过30人且不超过50人，则每增加1人，人均收费降低10元.设该公司旅游人数为x（人），人均收费为y（元）.
（1）求y与x之间的关系式；.
（2）若旅行社此次带团的导游工资和车辆等固定成本为6000元，游客的吃住和门票等其他成本为600元/人.请你分析：旅行社带团接待旅游人数多少人时，旅行社所获利润w（元）最大，最大利润是多少？（利润＝总收费－固定成本－其他成本）
答案解析部分
一、单选题
1. C
二次函数图象与坐标轴的交点问题
解析：∵b2-4ac=32-4×2×1=1＞0，
∴二次函数y=2x2+3x+1的图象与x轴有两个不同交点，
故答案为：C.
先求出△=b2-4ac的值，当△＞0，二次函数图象与x轴有两个不同交点；当△=0，二次函数图象与x轴只有一个交点；当△＜0，二次函数图象与x轴无交点，据此判断即可.
2. D
二次函数与不等式（组）的综合应用
解析：抛物线 的顶点坐标M为（m ， -m＋1），
∵ ， ，
∴ ，
∴-1≤m≤0，
故答案为：D ．

由抛物线的顶点坐标M，可求出 ， 即可得出m的取值范围。
3. C
二次函数与一次函数的综合应用
解析：对于抛物线 ，
当 时， ，解得 或 ，
则 ，
的面积为3，
，即 ，解得 ，
，
将点 代入抛物线解析式得： ，解得 ，
则抛物线的解析式为 ，
将抛物线向左平移 个单位所得抛物线为 ，
当 时， 随 的增大而增大，
设直线 的函数解析式 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则直线 的函数解析式 ，
当直线 与 没有公共点时，则只需 时，直线 的函数值大于抛物线 的函数值，
即 ，
解得 ，
故答案为：C．
先根据抛物线的解析式可得点 A，B 的坐标，从而可得 AB 长，再利用三角形的面积公式可得 OC 的长，从而可得点 C 的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式和一次函数的解析式，然后根据二次函数图象的平移规律、增减性求解即可得．
4. B
二次函数的实际应用-销售问题
解析：设旅行团人数为x人，此时的营业额为y元，则 ，
由题意得： ，
由二次函数的性质可知，在 内，当 时，y取得最大值，
即若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为55人，
故答案为：B．
设旅行团人数为x人，此时的营业额为y元，由题意可列出利润与x的函数关系式，进而求得最值得出答案。
5. B
二次函数与一次函数的综合应用
解析：从函数图像看， 图像总在 图像上方，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：B ．
先求出 ，再比较大小求解即可。
6. D
二次函数的实际应用-销售问题
解析：∵一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，且15≤x≤22，
∴当x=20时，y最大值=1558．
故答案为：D．
将x=20代入 y=-2（x-20）2+1558计算求解即可。
7. B
二次函数的实际应用-抛球问题
解析：当y＝0时，即 ＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，
所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，
故答案为：B ．
求出中y=0时的x值即可.
8. B
二次函数图象与坐标轴的交点问题
解析：可把a、b、c看作二次函数y＝ax2+bx+c的二次项系数、一次项系数和常数项，
∵4a﹣2b+c＝0，即x＝﹣2时，y＝0，
∴抛物线与x轴有公共点，
∴b2﹣4ac≥0.
故答案为：B.
由题意可把a、b、c看作二次函数y＝ax2+bx+c的二次项系数、一次项系数和常数项，再根据已知条件4a﹣2b+c＝0并结合二次函数与一元二次方程的根的判别式可判断求解.
9. A
二次函数的实际应用-抛球问题
解析：由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），
设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，
将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40，
解得：a＝ ，
∴h＝ （t﹣3）2+40.
①∵顶点为（3，40），
∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确；
②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2＝80m，故②正确；
③令h＝20，则20＝ （t﹣3）2+40，
解得t＝3± ，故③错误；
④令t＝2，则h＝ （2﹣3）2+40＝ m，故④错误.
综上，正确的有①②.
故答案为：A.
由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，用待定系数法求得解析式，再逐个选项分析或计算即可.
10. B
二次函数图象与坐标轴的交点问题
解析：∵b2﹣4ac＝（2k）2﹣4（k2﹣1）＝4＞0，
∴抛物线与x轴有2个交点.
故答案为：B.
先求出b2﹣4ac的值，根据b2﹣4ac＞0，图象与x轴有两个不同的交点；b2﹣4ac=0，图象与x轴有一个交点；b2﹣4ac＜0，图象与x轴没有交点，据此即可得出答案.
11. B
二次函数的实际应用-抛球问题
解析：当 时， ，即 .
解得： （舍）， .
则小明此次成绩时10米.
故答案为：B.
根据题意可知实心球落地时 ，即求 的解即可
12. C
二次函数的实际应用-几何问题
解析：设矩形的一边长为xm，另一边长为（1-x）m，面积用y表示，
，
故答案为：C．
设矩形的一边长为xm，求出矩形面积即可判断．
13. D
二次函数图象与坐标轴的交点问题
解析：∵A（m，0）是抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点，
∴m2-m-1=0，
∴m2-m=1，
∴m2-m+2020=2021.
故答案为：D.
把 代入求解即可.
14. B
二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数与不等式（组）的综合应用
解析：二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，
∴ ，
∴ ，
由抛物线与y轴负半轴相交， 、 ，
∴
由 ，抛物线开口向上，
∵另一根 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 满足的条件是 ，
故答案为：B.
由二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，可得 ，由抛物线与y轴负半轴相交，可知 ， 时，抛物线开口向上，另一根 利用函数值得不等式组 解不等式得 ；可得 满足的条件是 .
15. C
二次函数图象与坐标轴的交点问题
解析：解方程 ，得 ，
设题中二次函数的图象与x轴所截得的线段长度为dn ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C．
先求出方程 ?的两根为 ， 再利用数轴上两点间的距离公式求出二次函数的图象与x轴所截得的线段长度为 ， 再把x=1、2 、3···2020 、2021代入表达式，找出规律计算即可.
二、填空题
16. 11
二次函数的实际应用-抛球问题
解析：根据题意可知 ，
则 ，
解得 ， ，
∵ ，
∴ ，
故铅球推出的距离是11米．
故答案为：11．
根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
17.
二次函数的实际应用-抛球问题
解析：由题意得，图1中的函数图像解析式为：h＝v1t 4.9t2 ， 令h=0， 或 （舍去）， ，
图2中的函数解析式为：h＝v2t 4.9t2 ， 或 （舍去）， ，
∵h1＝2h2 ，
∴ =2 ，即： = 或 =- （舍去），
∴t1：t2= ： = ，
故答案是： .

利用图1的函数解析式，可求出h=0时的t的值，可求出h1 ， 利用图2的函数解析式，由h=0求出对应的t的值，可求出h2的值；再根据h1＝2h2 ， 可得v的值，然后求出t1：t2的值.
18. 1264
二次函数的实际应用-销售问题
解析：设 种快餐的总利润为 ， 种快餐的总利润为 ，两种快餐的总利润为 ，设 快餐的份数为 份，则B种快餐的份数为 份.
据题意：
?
∴
∵
∴当 的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元
故答案为：1264
设 种快餐的总利润为 ， 种快餐的总利润为 ，两种快餐的总利润为 ，设 快餐的份数为 份，则B种快餐的份数为 份.根据总利润=每个的利润×销售量，分别求出W1、W2 ， 由W=W1+W2即得W关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可.
19. 0＜m＜1
二次函数图象与坐标轴的交点问题
解析：∵抛物线 ，
∴当y=0时， ，
解得 ，
∵抛物线 与 轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，
∴ ，
∴ ．
故答案为：0＜m＜1．

根据函数解析式求出二次函数与x轴两个交点的坐标，根据坐标大于1且小于2确定m的取值范围即可。
20.
二次函数与不等式（组）的综合应用
解析：∵ ，
∴ ，
解得x=3或x=-1，
∴点B的坐标为（3，0），
当x=0时，y=3，
∴点A的坐标为（0，3），
∴不等式 的解集为 ,
故答案为： ．
根据函数的解析式 ，得A（0，3），B的坐标为（3，0），利用数形结合思想完成解答．
21. 3；
二次函数的实际应用-抛球问题
解析：在h=-5t2+15t中，令h=0，
则-5t2+15t=0，
∴5t（3-t）=0，
∴t1=0，t2=3，
∴该球从弹起至回到地面的时间需3-0=3(秒)；
∵h=15t-5t2
=-5（t-）2+ ，
∴当t= ， h有最大值 ， 即它距离地面的最大高度为米．
故答案为：3，.

在h=-5t2+15t中，令h=0得关于t的一元二次方程，求得方程的解则可得球从弹起至回到地面的时间；将h=-5t2+15t写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
22.
二次函数与一次函数的综合应用
解析：由题意得：对称轴为直线 ，P点横坐标为1，
当x=0时，y=3，
∴A点坐标为： ，根据对称性可知，M点坐标为 ，
∵M为AB中点，
∴B点坐标为：
设OB解析式为y=kx，
把B 代入得，
3=4k
解得，k= ，
∴直线OB解析式为 ，
把 代入 得， ，
∴P点坐标为 ，
代入抛物线得： ，
解得， ，
故答案为： .
由抛物线与y轴的交点可得点A的坐标，然后根据对称轴直线公式算出抛物线的对称轴直线，根据对称性易得点M坐标，根据中点坐标可得点B坐标，利用待定系数法可得直线BP解析式，根据点P横坐标为对称轴可得点P坐标，代入点P的坐标入抛物线的解析式可得a的值.
23. 4和
二次函数与一次函数的综合应用
解析：连接BP，根据题目意思，点P的坐标 ，则点Q的坐标为 ，点B为 ，
当点P在点Q的上方时，根据两点间的距离公式得到：
，
，
∵ ，
整理得： ，
解得： 或者 （舍去）；
当点P在点Q的下方时，根据两点间的距离公式得到：
，
，
∵ ，
整理得： ，
解得： 或者 （舍去）；
故n的值为：4和 ．

先利用一次函数解析式求出B，再根据二次函数图象上的点坐标特征和一次函数图象上的点的坐标特征，可利用两点间的距离公式得到PQ、BQ，然后再利用PQ=BQ得到 ， 再分别接一元二次方程即可得到a的值。
24. 5
二次函数的实际应用-抛球问题
解析：由 可得，当t=6时，h最大=5，
所以小球距离地面的最大高度是5米，
故答案为：5．

根据函数解析式可知：当x=6时，h最大。
25. 6
二次函数图象与坐标轴的交点问题
解析：∵ 图象与y轴交于点(0，-3)，
∴c=-3,
∵am2+bm-3=0,?an2+bn-3=0, 即am2+bm=3,?an2+bn=3,
∴am2+bm+an2+bn=6, 即 a(m2+n2)+b（m+n）=6；
故答案为：6.

?根据图象与y轴交于点(0，-3)求出c值，根据图象与x轴的交点分别列式，两式联合即可求出a(m2+n2)+b（m+n）的值.
三、计算题
26. ∵函数y=2x2-(3-k)x+k2-3k-10的图象经过原点，
∴k2-3k-10=0，解得k1=-2，k2=5．
二次函数图象与坐标轴的交点问题
解析：由抛物线过原点可得常数项为0据此列出方程，解之即可。
四、解答题
27. 设 米，正方形花坛种植花卉所需的总费用为w元，
由题意：
，
∵ ，抛物线开口向上，
∴当 时，w有最小值715，
答：当AE长为0.5米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用最少，最少为715元.
二次函数的实际应用-几何问题
解析：设 米，总费用为w元，根据题意列出二次函数表达式，利用二次函数的性质求解最小值即可.
28. 设每件童装降价x元，利润为y元，

，
∴当 时，y取得最大值，此时 ，
即每件童装降价15元时，每天销售这种童装的利润最高，最高利润是1250元.
二次函数的实际应用-销售问题
解析：设每件童装降价x元，利润为y元，利用利润y=每一件的利润×销售量，可得到y与x之间的函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求解.
五、综合题
29. （1）由题意列方程得：（x＋40-30） （300-10x）＝3360
解得：x1＝2，x2＝18
∵要尽可能减少库存，
∴x2＝18不合题意，故舍去
∴T恤的销售单价应提高2元；
（2）设利润为M元，由题意可得：
?M＝（x＋40-30）（300-10x）＝-10x2＋200x＋3000＝
∴当x＝10时，M最大值＝4000元
∴销售单价：40＋10＝50元
∴当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元.
二次函数的实际应用-销售问题
解析：（1）利用每一件的利润×销售量=3360，设未知数，列方程求出符合题意的x的值.
（2）设利润为M元，列出M与x之间的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出结果.
30. （1）当25≤x≤30时，则y=1000，
当30＜x≤45时，则y=1000-10(x-30)=-10x+1300，
∴ ；
（2）当25≤x≤30时，w=1000x-6000-600x=400x-6000，
∴当x=30时，w最大=400×30-6000=6000，
当30＜x≤45时，w=(-10x+1300)x-6000-600x=-10x2+700x-6000，
∴当x= 时，w最大=6250，
综上所述：旅行社带团接待旅游人数35人时，旅行社所获利润最大，最大利润是6250元.
二次函数与一次函数的综合应用
解析：（1）根据题意，分两种情况分别列出函数表达式，即可；
（2）分两种情况分别列出w关于x的函数解析式，再根据一次函数和二次函数的性质，求出最值，即可求解.
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