三角形初步知识（1.1—1.3）参考答案
1．D．
2．B．
3．B．
4．D．
5．A．
6．C．
7．C．
8．B
9．30°或150°．
10．30°或150°．
11．30°．
12．180°．
13．55°．
14．∠AEC＝(∠ABC－∠ADC)．
15．19．
16．．
17．n(n＋1)．
解：设三角形的三边长分别是a，b，c，且a≤b≤c．
第1种情况
第2种情况
第n种情况
a
b
c
a
b
c
…
a
b
c
2n
2n
2n
2n－1
2n－1
2n
n＋1
n＋1
2n
2n－1
2n
2n
2n－2
2n－1
2n
n
n＋1
2n
2n－2
2n
2n
2n－3
2n－1
2n
…
…
…
…
…
…
2
2n
2n
3
2n－1
2n
1
2n
2n
2
2n－1
2n
2n个
(2n－2)个
2个
根据表格中的分析方法可知，总共可分n种情况，第1种情况的三角形有2n个，
第2种情况的三角形有(2n－2)个，以此类推。以后每种情况都比上一种情况少2
个，直到第n种情况的三角形有2个．
所以总共的三角形个数＝2n＋(2n－2)＋…＋6＋4＋2
＝2＋4＋6＋…＋(2n－2)＋2n
＝2(1＋2＋3＋…＋n)
＝n(n＋1)．
18．证明：在△APB中，PA＋PB＞AB，①
在△BPC中，PB＋PC＞BC，②
在△CPA中，PC＋PA＞AC，③
由
①＋②＋③，得，2(PA＋PB＋PC)＞AB＋BC＋AC；
所以PA＋PB＋PC
＞(AB＋BC＋CA)．
19．解：连结AP．由题意，得
S△ABP＝AB?PF，S△ACP＝AC?PE，S△ABC＝AC?BD．
∵S△ABP＋S△ACP＝S△ABC，
∴AB?PF＋AC?PE＝AC?BD，
又∵AB＝AC，BD＝8，
∴PF＋PE＝BD＝8．
20．解：∵BE，CF是△ABC的中线，
∴S△ABE＝S△ABC＝6，S△ACF＝S△ABC＝6；
GF，GE分别是△ABG和△ACG的中线，
∴S△BFG＝S△AFG，S△CEG＝S△AEG．
令S△BFG＝S△AFG＝a，S△CEG＝S△AEG＝b，
∵S△BFG＋S△AFG＋S△AEG＝S△ABE，
S△CEG＋S△AEG＋S△AFG＝S△ABE，
∴，解方程组，得．
∴阴影部分的面积＝a＋b＝4．
21．解：连结AE．
∵E是BC中点，
∴AE是△ABC的中线，
∴S△ACE＝S△ABC＝S．
∵F是AC中点，
∴EF是△ACE的中线，
∴S△CEF＝S△ACE＝S．
同理，S△ADF＝S，S△BDE＝S，
∴S△DEF＝S△ABC―S△CEF―S△ADF―S△BDE＝S―S―S―S＝―S．
22．（Ⅰ）125；90＋α；
（Ⅱ）∠BOC＝120°＋α．理由如下：
∠CBO＋∠BCO＝(∠ABC＋∠ACB)
＝(180°－∠A)
＝60°－α，
∠BOC＝180°－(∠CBO＋∠BCO)＝180°－(60°－α)＝120°＋α．
（Ⅲ）∠CBO＋∠BCO＝(∠DBC＋∠ECB)
＝(∠ACB＋∠A＋∠ABC＋∠A)
＝(∠ACB＋∠ABC＋2∠A)
＝(180°－∠A＋2∠A)
＝(180°＋α)，
∠BOC＝180°－(∠CBO＋∠BCO)＝180°－(180°＋α)
＝?180°－．
（第18题）
（第19题）
（第20题）
（第21题）
（图②）
（图③）三角形初步知识（1.1—1.3）
一、选择题
．若线段AM，AN分别是△ABC一边上的高线和该边所对内角的角平分线，则（
）
（A）AM＞AN
（B）AM≥AN
（C）AM＜AN
（D）AM≤AN
．已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于（
）
（A）30°
（B）40°
（C）50°
（D）60°
．以下四个命题：①如果一个数的相反数等于它本身，则这个数是0；②一个数的倒数等于它本身，则这个数是1；③一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是1或0；④如果一个数的绝对值等于它本身，则这个数是正数．
其中真命题有（
）
（A）1个
（B）2个
（C）3个
（D）4个
．已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n＋2，n＋8，3n，则满足条件的n的值有（
）
（A）4个
（B）5个
（C）6个
（D）7个
．有若干个三角形，在所有的内角中，有6个是直角，有3个是钝角，24个是锐角，则其中锐角三角形有（
）
（A）2个
（B）3个
（C）4个
（D）5个
．如图，在△ABC中，高BD，CE相交于H，已知∠HBC－∠HCB＝10°，∠ABD＝
∠HBC，则∠A的度数为（
）
（A）60°
（B）65°
（C）70°
（D）75°
（第6题）
（第7题）
（第8题）
．如图，E、F、G、H依次是四边形ABCD各边的中点，O是形内一点，若S四边形AEOH＝3，S四边形BFOE＝4，S四边形CGOF＝5，则S四边形DHOG是（
）
（A）6
（B）5
（C）4
（D）3
．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点E、G分别是BG、AC的中点，若BC＝3DC，△ABC的面积为12，则S△AEF－S△FDG的值是（
）
（A）
（B）1
（C）2
（D）3
二、填空题
．在同一平面内，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两边，若∠ABC＝30°，则∠DEF＝_________________．
．在同一平面内，∠ABC的两边分别垂直于∠DEF的两边，若∠ABC＝30°，则∠DEF＝_________________．
．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为____________．
．将一副三角板的直角顶点A如图叠放在一起，则∠DAC＋∠BAE＝_________．
（第12题）
（第13题）
（第14题）
．如图，E和D分别在△ABC的边BA和CA的延长线上，CF、EF分别平分∠ACB和∠AED，若∠B＝70°，∠D＝40°，则∠F＝__________．
．如图，∠ABC＞∠ADC，且∠BAD
的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，则∠AEC与∠ADC，∠ABC
之间存在的等量关系是___________________．
．如图，已知△ABC的面积为1，分别延长CA，AB，BC至点D，E，F，使AD＝2CA，BE＝2AB，CF＝2BC，连结D，E，F，则所得的△DEF的面积为_____________．
（第15题）
（第16题）
．如图，在△ABC中，进行如下操作：第1次，取BC，AC的中点D，E，连结DE，得△CDE；第2次，取CD，CE的中点D1，E1，得△CD1E1；按此规律……；第(n＋1)次，得△CDnEn．若△ABC的面积为S，则△CDnEn的面积为_____________．
．若一个三角形的各边长都是整数，且最大边长为2n（n为正整数），则这样的三角形有____________个．
三、解答题
．如图，已知P是△ABC内任意一个，试证明：PA＋PB＋PC
＞(AB＋BC＋CA)．
．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上任意一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，BD为△ABC的高线，BD＝8．求PF＋PE的值．
．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF交于点G．若S△ABC＝12，求图中阴影部分的面积．
．如图，点D，E，F分别是△ABC的三条边的中点．设△ABC的面积为S，求△DEF的面积．
．阅读理解：请你参与下面探究过程，完成所提出的问题．
（图①）
（图②）
（图③）
（Ⅰ）问题引入：
如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝70°，则
∠BOC＝_________度；若∠A＝α，则∠BOC＝_________（用含α的代数式表示）；
（Ⅱ）类比探究：
如图②，在△ABC中，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α．
试探究：∠BOC与∠A的数量关系（用含α的代数式表示），并说明理由．
（Ⅲ）知识拓展：
如图③，BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点
O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，求∠BOC的度数（用含α、
n的代数式表示）．
三角形初步知识（1.1—1.3）参考答案
1．D．
2．B．
3．B．
4．D．
5．A．
6．C．
7．C．
8．B
9．30°或150°．
10．30°或150°．
11．30°．
12．180°．
13．55°．
14．∠AEC＝(∠ABC－∠ADC)．
15．19．
16．．
17．n(n＋1)．
解：设三角形的三边长分别是a，b，c，且a≤b≤c．
第1种情况
第2种情况
第n种情况
a
b
c
a
b
c
…
a
b
c
2n
2n
2n
2n－1
2n－1
2n
n＋1
n＋1
2n
2n－1
2n
2n
2n－2
2n－1
2n
n
n＋1
2n
2n－2
2n
2n
2n－3
2n－1
2n
…
…
…
…
…
…
2
2n
2n
3
2n－1
2n
1
2n
2n
2
2n－1
2n
2n个
(2n－2)个
2个
根据表格中的分析方法可知，总共可分n种情况，第1种情况的三角形有2n个，
第2种情况的三角形有(2n－2)个，以此类推。以后每种情况都比上一种情况少2
个，直到第n种情况的三角形有2个．
所以总共的三角形个数＝2n＋(2n－2)＋…＋6＋4＋2
＝2＋4＋6＋…＋(2n－2)＋2n
＝2(1＋2＋3＋…＋n)
＝n(n＋1)．
18．证明：在△APB中，PA＋PB＞AB，①
在△BPC中，PB＋PC＞BC，②
在△CPA中，PC＋PA＞AC，③
由
①＋②＋③，得，2(PA＋PB＋PC)＞AB＋BC＋AC；
所以PA＋PB＋PC
＞(AB＋BC＋CA)．
19．解：连结AP．由题意，得
S△ABP＝AB?PF，S△ACP＝AC?PE，S△ABC＝AC?BD．
∵S△ABP＋S△ACP＝S△ABC，
∴AB?PF＋AC?PE＝AC?BD，
又∵AB＝AC，BD＝8，
∴PF＋PE＝BD＝8．
20．解：∵BE，CF是△ABC的中线，
∴S△ABE＝S△ABC＝6，S△ACF＝S△ABC＝6；
GF，GE分别是△ABG和△ACG的中线，
∴S△BFG＝S△AFG，S△CEG＝S△AEG．
令S△BFG＝S△AFG＝a，S△CEG＝S△AEG＝b，
∵S△BFG＋S△AFG＋S△AEG＝S△ABE，
S△CEG＋S△AEG＋S△AFG＝S△ABE，
∴，解方程组，得．
∴阴影部分的面积＝a＋b＝4．
21．解：连结AE．
∵E是BC中点，
∴AE是△ABC的中线，
∴S△ACE＝S△ABC＝S．
∵F是AC中点，
∴EF是△ACE的中线，
∴S△CEF＝S△ACE＝S．
同理，S△ADF＝S，S△BDE＝S，
∴S△DEF＝S△ABC―S△CEF―S△ADF―S△BDE＝S―S―S―S＝―S．
22．（Ⅰ）125；90＋α；
（Ⅱ）∠BOC＝120°＋α．理由如下：
∠CBO＋∠BCO＝(∠ABC＋∠ACB)
＝(180°－∠A)
＝60°－α，
∠BOC＝180°－(∠CBO＋∠BCO)＝180°－(60°－α)＝120°＋α．
（Ⅲ）∠CBO＋∠BCO＝(∠DBC＋∠ECB)
＝(∠ACB＋∠A＋∠ABC＋∠A)
＝(∠ACB＋∠ABC＋2∠A)
＝(180°－∠A＋2∠A)
＝(180°＋α)，
∠BOC＝180°－(∠CBO＋∠BCO)＝180°－(180°＋α)
＝?180°－．
（第18题）
（第19题）
（第20题）
（第21题）
（第18题）
（第19题）
（第20题）
（第21题）
（图②）
（图③）
