等腰三角形的性质和判定
参考答案
1．D．2．B．3．B．
4．A．
5．B．
6．C．
7．A．
解析：因为DM和EN是角平分，
如图设∠BDM＝∠EDM＝x，∠CEN＝∠DEN＝y．
由三角形外角性质，得∠DMN＝∠B＋x
①，
∠ENM＝∠C＋y
②，因为∠B＝∠C，所以
①－②，得∠DMN－∠ENM＝x－y，移项，
得∠DMN＋y＝∠ENM＋x，又因为∠DMN＋y＋∠ENM＋x＝360°，
所以∠DMN＋y＝180°，y＝180°－∠DMN＝180°－110°＝70°，
所以∠DEA＝180°－70°－70°＝40°．
8．22.5°或67.5°．
9．6或8．
10．90°．
11．60°．
12．15°或75°或30°或120°．
13．20°．
14．105°．
15．150°．
解析：如图，作等边三角形ACN，易证△ABN≌△
CBN，得∠ANB＝∠CNB＝30°，所以∠ANB
＝∠ACM；因为∠BAN＝∠CAN－∠CAB＝
60°－44°＝16°，所以∠BAN＝∠MAC，又因
为AN＝AC，可证得△ABN≌△AMC，所以AB
＝AM，因为∠BAM＝∠BAC－∠MAC＝44°
－16°＝28°，所以∠AMB＝76°，又因为∠AMC＝180°－16°－30°＝134°，所
以∠BMC＝360°－76°－134°＝150°．
16．120°．
解析：如图，将△ABC绕点B逆时针旋转60°，点C旋转至点H，因为△ABD是等
边三角形，所以点A旋转后和点D重合，得到△DBH，所以△ABC≌△DBH，
连结CH．易知△BCH为等边三角形，CH＝BC＝a．
∵DH＝AC＝b，
根据两点之间线段最短
∴当C，H，D三点共线时CD最大，即点H在CD上，
∴∠CHB＋∠DHB＝180°，
∴∠DHB＝180°－∠CHB＝180°－60°＝120°，
∵△ABC≌△DBH，
∴∠ACB＝∠DHB＝120°．
17．解：如图，作点A关于河岸l的对称点A'，点B向左平移a米得点B'，连结A'
B'，
交l于点C，点C向右平移a米得点D，线段CD就是所求作的绿化带的位置．
18．解：（1）如图，答案不唯一
（2）如图，当AD＝AE时，2x＋x＝30°＋30°，解得x＝20°；
如图，当AD＝DE时，30°＋30°＋2x＋x＝180°，解得x＝40°．
综上可得，x所有可能的值为20°或40°．
19．解：方法1
如图，在AC上取一点E，使AE＝AB＝3．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADB（SAS），
∴∠ADE＝∠ADB，∠DEA＝∠B＝2∠ADB，
∴∠BDE＝2∠ADB，
∴∠BDE＝∠DEA，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD＝6，
∴AC＝CE＋AE＝6＋3＝9．
方法2
如图，延长AB至点F，使得AF＝AC，连结FD．
设∠ADB＝x，则∠ABD＝2x．
∵AD平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵AD＝AD，
∴△ADF≌△ADC（SAS），
∴DF＝DC，∠F＝∠C，∠ADF＝∠ADC＝180°－x，
∴∠BDF＝∠ADF－∠ADB＝180°－2x，
又∵∠FBD＝180°－∠ABD＝180°－2x，
∴∠BDF＝∠FBD，
∴FB＝FD＝DC＝6，
∴AC＝AF＝AB＋BF＝3＋6＝9．
20．证明：延长BD至点F，使DF＝BC，连结EF．
∵AE＝BD，△ABC为等边三角形，
∴BE＝BF，∠B＝60，
∴△BEF为等边三角形，
∴EB＝EF，∠F＝∠B＝60，
∴△EBC≌△EFD，
∴CE＝DE．
21．证明：方法1
如图，延长DF至点G，使FG＝FE，连结AG．
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝∠C．
又∵CD＝DF，
∴∠AFG＝∠DFC＝∠C＝∠AFE．
又∵AF＝AF，
∴△AFG≌△AFE，
∴∠G＝∠AEF，∠GAF＝∠EAF＝45°，
∴∠BAD＋∠DAG＝∠BAG＝90°．
又∵AD⊥BC，EF∥BC，
∴AD⊥EF，
∴∠AEF＋∠EAD＝90°，
∴∠DAG＝∠AEF＝∠G，
∴AD＝DG＝DF＋FG＝CD＋EF．
方法2
如图，延长EF至点G，使FG＝DF，连结AG．
∵∠AFG＝180°－∠AFE＝180°－∠C
＝180°－∠DFC
＝∠AFD，
又∵AF＝AF，
∴△AFD≌△AFG，
∴AD＝AG．
又∵∠AEG＝90°－∠EAD＝90°－(45°－∠DAF)
＝45°＋∠DAF＝∠BAC＋∠GAF
＝∠GAE，
∴AD＝AG＝EG＝EF＋FG＝EF＋DF＝EF＋CD．等腰三角形的性质和判定
一、选择题
．△ABC的一个内角的度数是40°，且∠A＝∠B，那么∠C的外角的度数是（
）
（A）140°
（B）80°或100°
（C）100°或140°
（D）80°或140°
．若一个等腰三角形被一条直线分得的两个较小的三角形也是等腰三角形，则这个等腰三角形顶角的度数不可能是（
）
（A）36°
（B）72°
（C）90°
（D）108°
．如图，∠MAN＝16°，A1点在AM上，在AN上取一点A2，使A2A1＝AA1，再在AM上取一点A3，使A3A2＝A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（
）
（A）A5
（B）A6
（C）A7
（D）A8
（第3题）
（第4题）
．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，则∠C的大小是（
）
（A）20°
（B）25°
（C）30°
（D）45°
．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是（
）
（A）36°
（B）45°
（C）52°
（D）60°
．如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，AM＝AN，CN＝CP，则∠MNP的度数为（
）
（A）30°
（B）35°
（C）40°
（D）45°
（第5题）
（第6题）
（第7题）
．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别为边AB，AC上的点，DM平分∠BDE，EN平分∠DEC，若∠DMN＝110°，则∠DEA等于（
）
（A）40°
（B）50°
（C）60°
（D）70°
二、填空题
．如果一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个等腰三角形的底角的度数为________________．
．如果一个等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和9两部分，那么这个等腰三角形的腰长为________________．
．在△ABC中，AC＝BC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AB＝CD＋CB，则∠C的度数为__________．
．如图，在△ABC中，AB＝BC，M，N为BC边上两点，并且∠BAM＝∠CAN，MN＝AN，则∠MAC的度数是__________．
（第11题）
（第12题）
（第13题）
．如图，直线MN和线段AB交于点A，且∠BAN＝30°，在直线MN上找一点P，使△APB是等腰三角形，则∠APB的度数为________________．
．如图，在△ABC中，∠B＝40°，AD＝AE，∠C的平分线交直线DE于点F，则∠CFE＝__________．
．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD，垂足为点E．AB＝5，BE＝2，AC＝9，∠C＝35°，则∠ABC＝__________．
（第14题）
（第15题）
（第16题）
．如图，在△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝44°，M为△ABC内一点，使∠MCA＝30°，∠MAC＝16°，则∠BMC＝__________．
．如图，△ABD是等边三角形，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，当∠ACB＝_______度时，C，D两点间的距离最大．
三、解答题
．如图，河岸l同侧有两个居民小区A，B．现要在河岸l边建一个长度为a米的绿化带CD（点C在点D左侧，绿化带宽度不计），使点C到小区A的距离与点D到小区B的距离之和最小．请在图中画出绿化带CD的位置．
．定义：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．如图①，线段BD和线段CE把△ABC分成三个等腰三角形，则线段BD和线段CE叫做△ABC的三分线．
（1）请你在图②中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形
的顶角的度数；
（2）△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC上，点E
在AC上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x，试画出示意图，并求出x所
有可能的值．
①
②
．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠ADB，AB＝3，CD＝6，求AC的长度．
．如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，并且使AE＝BD，连结CE、DE，求证：CE＝DE．
．如图，∠BAC＝45°，AD⊥BC，EF∥BC，CD＝DF，求证：AD＝CD＋EF．
等腰三角形的性质和判定
参考答案
1．D．2．B．3．B．
4．A．
5．B．
6．C．
7．A．
解析：因为DM和EN是角平分，
如图设∠BDM＝∠EDM＝x，∠CEN＝∠DEN＝y．
由三角形外角性质，得∠DMN＝∠B＋x
①，
∠ENM＝∠C＋y
②，因为∠B＝∠C，所以
①－②，得∠DMN－∠ENM＝x－y，移项，
得∠DMN＋y＝∠ENM＋x，又因为∠DMN＋y＋∠ENM＋x＝360°，
所以∠DMN＋y＝180°，y＝180°－∠DMN＝180°－110°＝70°，
所以∠DEA＝180°－70°－70°＝40°．
8．22.5°或67.5°．
9．6或8．
10．90°．
11．60°．
12．15°或75°或30°或120°．
13．20°．
14．105°．
15．150°．
解析：如图，作等边三角形ACN，易证△ABN≌△
CBN，得∠ANB＝∠CNB＝30°，所以∠ANB
＝∠ACM；因为∠BAN＝∠CAN－∠CAB＝
60°－44°＝16°，所以∠BAN＝∠MAC，又因
为AN＝AC，可证得△ABN≌△AMC，所以AB
＝AM，因为∠BAM＝∠BAC－∠MAC＝44°
－16°＝28°，所以∠AMB＝76°，又因为∠AMC＝180°－16°－30°＝134°，所
以∠BMC＝360°－76°－134°＝150°．
16．120°．
解析：如图，将△ABC绕点B逆时针旋转60°，点C旋转至点H，因为△ABD是等
边三角形，所以点A旋转后和点D重合，得到△DBH，所以△ABC≌△DBH，
连结CH．易知△BCH为等边三角形，CH＝BC＝a．
∵DH＝AC＝b，
根据两点之间线段最短
∴当C，H，D三点共线时CD最大，即点H在CD上，
∴∠CHB＋∠DHB＝180°，
∴∠DHB＝180°－∠CHB＝180°－60°＝120°，
∵△ABC≌△DBH，
∴∠ACB＝∠DHB＝120°．
17．解：如图，作点A关于河岸l的对称点A'，点B向左平移a米得点B'，连结A'
B'，
交l于点C，点C向右平移a米得点D，线段CD就是所求作的绿化带的位置．
18．解：（1）如图，答案不唯一
（2）如图，当AD＝AE时，2x＋x＝30°＋30°，解得x＝20°；
如图，当AD＝DE时，30°＋30°＋2x＋x＝180°，解得x＝40°．
综上可得，x所有可能的值为20°或40°．
19．解：方法1
如图，在AC上取一点E，使AE＝AB＝3．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADB（SAS），
∴∠ADE＝∠ADB，∠DEA＝∠B＝2∠ADB，
∴∠BDE＝2∠ADB，
∴∠BDE＝∠DEA，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD＝6，
∴AC＝CE＋AE＝6＋3＝9．
方法2
如图，延长AB至点F，使得AF＝AC，连结FD．
设∠ADB＝x，则∠ABD＝2x．
∵AD平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵AD＝AD，
∴△ADF≌△ADC（SAS），
∴DF＝DC，∠F＝∠C，∠ADF＝∠ADC＝180°－x，
∴∠BDF＝∠ADF－∠ADB＝180°－2x，
又∵∠FBD＝180°－∠ABD＝180°－2x，
∴∠BDF＝∠FBD，
∴FB＝FD＝DC＝6，
∴AC＝AF＝AB＋BF＝3＋6＝9．
20．证明：延长BD至点F，使DF＝BC，连结EF．
∵AE＝BD，△ABC为等边三角形，
∴BE＝BF，∠B＝60，
∴△BEF为等边三角形，
∴EB＝EF，∠F＝∠B＝60，
∴△EBC≌△EFD，
∴CE＝DE．
21．证明：方法1
如图，延长DF至点G，使FG＝FE，连结AG．
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝∠C．
又∵CD＝DF，
∴∠AFG＝∠DFC＝∠C＝∠AFE．
又∵AF＝AF，
∴△AFG≌△AFE，
∴∠G＝∠AEF，∠GAF＝∠EAF＝45°，
∴∠BAD＋∠DAG＝∠BAG＝90°．
又∵AD⊥BC，EF∥BC，
∴AD⊥EF，
∴∠AEF＋∠EAD＝90°，
∴∠DAG＝∠AEF＝∠G，
∴AD＝DG＝DF＋FG＝CD＋EF．
方法2
如图，延长EF至点G，使FG＝DF，连结AG．
∵∠AFG＝180°－∠AFE＝180°－∠C
＝180°－∠DFC
＝∠AFD，
又∵AF＝AF，
∴△AFD≌△AFG，
∴AD＝AG．
又∵∠AEG＝90°－∠EAD＝90°－(45°－∠DAF)
＝45°＋∠DAF＝∠BAC＋∠GAF
＝∠GAE，
∴AD＝AG＝EG＝EF＋FG＝EF＋DF＝EF＋CD．
（第17题）
（第18题）
（第19题）
（第20题）
（第21题）
