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2021-2022学年浙江八年级数学上册第1章《三角形的初步认识》能力提升卷
注意事项∶
1.
答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2.
所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)如图，AE、AD分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（
）
A．18°
B．22°
C．30°
D．38°
【答案】B
【分析】
根据角平分线性质和三角形内角和定理求解即可；
【详解】
∵AE是的高，
∴，
又∵AD是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质和三角形内角和定义，准确分析计算是解题的关键．
2．(本题3分)如图，ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=24°，则∠EDC等于（
）
A．42°
B．66°
C．69°
D．77°
【答案】C
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠B的度数，根据翻折变换的性质求出∠BCD的度数，根据三角形内角和定理求出∠BDC可得答案．
【详解】
解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=24°，
∴∠B=90°-∠A=66°．
由折叠的性质可得：∠BCD=∠ACB=45°，
∴∠BDC=∠EDC=180°-∠BCD-∠B=69°．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，理解翻折变换的性质、熟记三角形内角和等于180°是解题的关键．
3．(本题3分)下列四个命题：（1）对顶角相等；（2）同位角相等；（3）两点之间，线段最短；（4）若，则是的中点，其中真命题的个数是（??）
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】B
【分析】
根据对顶角的性质对(1)进行判断；根据平行线的性质对(2)进行判断；根据线段公理对(3)进行判断；根据线段的中点定义对(4)进行判断．
【详解】
对顶角相等，所以(1)正确；
两直线平行，同位角相等，所以(2)错误；
两点之间的线段最短，所以(3)正确；
当点O在线段AB上，若OA=OB，则点O是AB的中点，所以(4)错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
4．(本题3分)如图，，，，点在线段上，以速度从点出发向点运动，到点停止运动．点在射线上运动，且．若与全等，则点运动的时间为（
）
A．
B．
C．或或
D．或
【答案】D
【分析】
分△ABC≌△PQA和△ABC≌△QPA两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】
解：当时，，
点的速度为，
；
当时，当，
点的速度为，
故选：．
【点睛】
此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
5．(本题3分)已知，，，若要使的周长是奇数，则为（
）
A．3
B．4
C．5
D．3或5
【答案】D
【分析】
设三角形ABC的第三边长为x，则2＜x＜6，要使的周长是奇数，只需第三边为奇数，而在2＜x＜6中的奇数有3或5，答案自然确定．
【详解】
设三角形ABC的第三边长为x，
则2＜x＜6，
∵的周长是奇数，
∴第三边为奇数，
∴x=3或x=5，
∴选D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，三角形的存在的基本条件，周长的奇偶性，熟练掌握三角形的存在性的基本条件是解题的关键．
6．(本题3分)如图，在与中，已知，添加一个条件，不能使得的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
要证明，由已知条件，，再加一个条件，可以根据，来判断．
【详解】
解：根据三角形全等的判定定理，
A，，，，符合，能使得成立，不符合题意；
B，，，，符合，能使得成立，不符合题意；
C，，，，符合，能使得成立，不符合题意；
D，，，，不能使得成立，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了证明三角形全等的判断定理，解题的关键是：熟练应用三角形全等的判定定理：．
7．(本题3分)如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（
）
A．8
B．4
C．3
D．2
【答案】C
【分析】
根据已知条件，观察图形得，，然后证后求解．
【详解】
解：，，于，于，
，
，
又，，
．
，，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用，，是解题的关键．
8．(本题3分)如图，△ABC的面积是18cm2，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，则△DAB的面积是（
）
A．9cm2
B．8cm2
C．7cm2
D．6cm2
【答案】A
【分析】
延长CD交AB于点E，根据ASA证明△ACD≌△AED，得到CD=ED，进而得到S△BCD=S△BED，S△ACD=S△AED，推出S△ABD=S△AED＋S△BED=S△ABC，即可得到答案．
【详解】
解：如图，延长CD交AB于点E，
由题可得，AP平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD，
又∵CD⊥AP，
∴∠ADC=∠ADE=90°，
又∵AD=AD，
∴△ACD≌△AED（ASA），
∴CD=ED，
∴S△BCD=S△BED，S△ACD=S△AED，
∴S△ABD=S△AED+S△BED=S△ABC=×18=9（cm2）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了基本作图方法，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形中线与面积的关系，熟知基本作图，角平分线、中线定义，熟练掌握全等三角形判定、性质定理是解题的关键．
9．(本题3分)如图，、是的角平分线，、相交于点F，已知，则下列说法中正确的个数是（
）
①；②；③；④．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】
当AF=FC、△AEF≌△CDF时，需要满足条件∠BAC=∠BCA，据此可判断①②；在AC上取AG=AE，连接FG，即可证得△AEG≌△AGF，得∠AFE=∠AFG；再证得∠CFG=∠CFD，则根据全等三角形的判定方法AAS即可证△GFC≌△DFC，可得DC=GC，即可得结论，据此可判断③④．
【详解】
解：①假设AF=FC．则∠1=∠4．
∵AD、CE是△ABC的角平分线，
∴∠BAC=2∠1，∠BCA=2∠4，
∴∠BAC=∠BCA．
∴当∠BAC≠∠BCA时，该结论不成立；
故①不一定正确；
②假设△AEF≌△CDF，则∠2=∠3．
同①，当∠BAC=∠BCA时，该结论成立，
∴当∠BAC≠∠BCA时，该结论不成立；
故②不一定正确；
③如图，在AC上取AG=AE，连接FG，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
在△AEF与△AGF中
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFE=∠AFG；
∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，
∴∠4+∠1=∠ACB+∠BAC=（∠ACB+∠BAC）=（180°-∠B）=60°，
则∠AFC=180°-（∠4+∠1）=120°；
∴∠AFC=∠DFE=120°，∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，
则∠CFG=60°，
∴∠CFD=∠CFG，
在△GFC与△DFC中，
，
∴△GFC≌△DFC（ASA），
∴DC=GC，
∵AC=AG+GC，
∴AC=AE+CD．
故③正确；
④由③知，∠AFC=180°-∠ECA-∠DAC=120°，即∠AFC=120°；
故④正确；
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
10．(本题3分)如图，点C是线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=DQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有（
）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】
①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；
③由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP=BQ；故③正确；
②根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；
④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；
⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．
【详解】
①∵等边△ABC和等边△DCE，
∴BC=AC,DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60?，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE；
故①正确；
③∵△ACD≌△BCE(已证)，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°(已证)，
∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP与△BCQ中，
∠CAD=∠CBE，AC=BC，∠ACB=∠BCQ=60°，
∴△ACP≌△BCQ(ASA)，
∴AP=BQ；
故③正确；
②∵△ACP≌△BCQ，
∴PC=QC，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ=60?，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ∥AE；
故②正确；
④∵AD=BE，AP=BQ，
∴AD?AP=BE?BQ，
即DP=QE，
∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE，
∴DE≠QE，
则DP≠DE，故④错误；
⑤∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.
故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①②③⑤，错误的结论只有④，
故选D．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的判定和性质，此图形是典型的“手拉手”模型，熟练掌握此模型的特点是解题的关键．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题(共21分)
11．(本题3分)已知，直线交于点，交于点是直线上一动点，过作直线的垂线交于点．若，则__________．
【答案】90°或30°
【分析】
先由两直线平行，内错角相等得出∠EFC＝∠PEF．若设∠PEF＝x，则∠EFC＝x，∠APQ＝2x，∠EQP＝x，再由EF⊥PQ，根据三角形内角和定理得到∠PEF＋∠APQ＝90°，即x＋2x＝90°，解方程求出x＝30°，然后根据三角形外角的性质即可求出∠AEQ的度数．
【详解】
解：①如图：
∵AB∥CD，
∴∠EFC＝∠PEF．
设∠PEF＝x，则∠EFC＝x，∠APQ＝2∠EFC＝2x，∠EQP＝∠EFC＝x．
∵EF⊥PQ，
∴∠PEF＋∠APQ＝90°，即x＋2x＝90°，
解得x＝30°，
∴∠EQP＝x＝30°，∠APQ＝2x＝60°，
∴∠AEQ＝∠EQP＋∠APQ＝30°＋60°＝90°．
②如图：
易知∠EFC＝∠FEB＝∠HEA，∠APQ＝∠HPE，
又∵∠PHE＝90°，
故∠EFC＝30°，∠EQP＝30°，∠APQ＝60°；
故∠AEQ＝∠APQ?∠EQP＝30°．
综上所述：90°或30°．
故答案是：90°或30°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理及外角的性质，难度适中．设出适当的未知数，列出方程，是解题的关键．
12．(本题3分)把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为______．
【答案】如果两个角相等，那么这两个角的余角相等
【分析】
把命题的题设写在如果的后面，把命题的结论部分写在那么的后面即可．
【详解】
解：命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
13．(本题3分)如图，在中，，，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线AF．若AF与PQ的夹角为，则_______°．
【答案】56°
【分析】
根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝68°，由角平分线的定义得∠BAM＝34°，由线段垂直平分线可得△AQM是直角三角形，故可得∠AMQ＋∠BAM＝90°，即可求出α．
【详解】
解：∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°，
∵∠B＝22°，
∴∠BAC＝90°?∠B＝90°?22°＝68°，
由作图知：AM是∠BAC的平分线，
∴∠BAM＝∠BAC＝34°，
∵PQ是AB的垂直平分线，
∴△AMQ是直角三角形，
∴∠AMQ＋∠BAM＝90°，
∴∠AMQ＝90°?∠BAM＝90°?34°＝56°，
∴α＝∠AMQ＝56°．
故答案为：56°．
【点睛】
此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的定义，对顶角相等等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键．
14．(本题3分)如图，，于，于，且，在线段上，在射线上，若与全等，则__________．
【答案】6或8
【分析】
此题分两种情况讨论，情况一：，，时；情况二：，，，分情况求出AP即可．
【详解】
解：∵于，于
∴
当，，时，与全等，此时；
当，，时，与全等，此时；
故答案为：6或8．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
15．(本题3分)如图，，且，，，____．
【答案】95
【分析】
由全等三角形的性质可得，进而可求出，然后利用三角形外交的性质求解即可．
【详解】
解：，
，
，，
，
，
故答案为：95．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解答本题的关键．
16．(本题3分)如图，△ABC≌△DEF，由图中提供的信息，可得∠D＝__________°．
【答案】
【分析】
先根据三角形的内角和定理求出∠A的度数，再利用全等三角形的性质求出答案即可
【详解】
∵∠A+∠B+∠C=，
∴∠A=-∠B-∠C=，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠D=∠A=，
故答案为：
【点睛】
此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等，以及三角形的内角和定理．
17．(本题3分)如图，已知，、分别平分和且度，则______度．
【答案】60
【分析】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠ECD=∠BEC+∠EBC，根据角平分线的定义可得∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，然后整理得到∠BEC=∠BAC，过点E作EF⊥BD于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BA交BA的延长线于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EF=EG=EH，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AE平分∠CAH，然后列式计算即可得解．
【详解】
解：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠ECD=∠BEC+∠EBC，
∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，
∴∠BEC+∠EBC=（∠BAC+∠ABC），
∴∠BEC=∠BAC，
∵∠BEC=30°，
∴∠BAC=60°，
过点E作EF⊥BD于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BA交BA的延长线于H，
∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD，
∴EF=EH，EF=EG，
∴EF=EG=EH，
∴AE平分∠CAH，
∴∠EAC=（180°∠BAC）=（180°60°）=60°．
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，熟记各性质并作辅助线是解题的关键．
三、解答题(共49分)
18．(本题7分)如图，在中，是的高线，是的角平分线，已知．
（1）求的大小．
（2）若是的角平分线，求的大小．
【答案】（1）10°；（2）110°
【分析】
（1）先根据角平分线，得到∠EAC，根据高的定义得到∠ADC，从而得到∠C=40°，则有∠DAC=50°，可得∠DAE；
（2）根据角平分线的定义分别得到∠BAG和∠ABG，根据三角形内角和定理得到结果．
【详解】
解：（1）∵AE是△ABC的平分线，∠BAC=80°，
∴∠EAC=∠BAC=40°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∠C=40°，
∴∠DAC=∠ADB-∠C=50°，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=10°；
（2）∵∠C=40°，∠BAC=80°，
∴∠ABC=180°-∠C-∠BAC=60°，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=40°，
∠ABG=∠ABC=30°，
∴∠AGB=180°-∠BAE-∠ABG=110°．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，三角形的高，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相应定理，得到相关角的度数．
19．(本题7分)已知，在直角三角形中，，是上一点，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，将沿所在直线翻折，点落在边上，记为点．
①若，求的度数；
②试求与的关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①22°；②∠A′CB=90°-2∠B
【分析】
（1）根据直角三角形中两锐角互余得∠A+∠B=90°，而∠ACD=∠B，则∠A+∠ACD=90°，所以∠ADC=90°，然后根据垂直的定义得CD⊥AB；
（2）①先得到∠ACD=34°，∠BCD=56°，再根据折叠的性质得∠A′CD=∠ACD=34°，然后利用∠A′CB=∠BCD-∠A′CD求解；
②同①的方法，进行分类讨论即可．
【详解】
解：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AB；
（2）①∵∠B=34°，
∴∠ACD=34°，
∴∠BCD=90°-34°=56°，
∵△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边上，记为A′点，
∴∠A′CD=∠ACD=34°，
∴∠A′CB=∠BCD-∠A′CD=56°-34°=22°；
②∵∠B=∠ACD，则∠BCD=90°-∠ACD，
∵△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边上，记为A′点，
∴∠A′CD=∠ACD=∠B，
∠A′CB=∠BCD-∠A′CD=90°-∠B-∠B=90°-2∠B．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
20．(本题8分)如图，已知△ABC≌△EBD，
（1）若BE=6，BD=4，求线段AD的长；
（2）若∠E=30°，∠B=48°，求∠ACE的度数．
【答案】（1）2；（2）78°．
【分析】
（1）根据△ABC≌△EBD，得AB=BE=6,根据AD=AB-BD计算即可；
（2）根据△ABC≌△EBD，得∠A=30°，利用∠ACE=∠A+∠B计算即可．
【详解】
（1）∵△ABC≌△EBD，
∴AB=BE=6,
∵AD=AB-BD，BD=4，
∴AD=6-4=2；
（2）∵△ABC≌△EBD，
∴∠A=∠E=30°，
∵∠ACE=∠A+∠B，∠B=48°，
∴∠ACE=30°+48°
=78°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，三角形外角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和三角形外角和定理是解题的关键．
21．(本题8分)如图，，、分别平分、，与交于点O．
（1）求的度数；
（2）说明的理由．
【答案】（1）120°；（2）见解析
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA=60°，从而得到∠AOB；
（2）在AB上截取AE=AC，证明△AOC≌△AOE，得到∠C=∠AEO，再证明∠C+∠D=180°，从而推出∠BEO=∠D，证明△OBE≌△OBD，可得BD=BE，即可证明AC+BD=
AB．
【详解】
解：（1）∵AD，BC分别平分∠CAB和∠ABD，∠CAB+∠ABD=120°，
∴∠OAB+∠OBA=60°，
∴∠AOB=180°-60°=120°；
（2）在AB上截取AE=AC，
∵∠CAO=∠EAO，AO=AO，
∴△AOC≌△AOE（SAS），
∴∠C=∠AEO，
∵∠C+∠D=（180°-∠CAB-∠ABC）+（180°-∠ABD-∠BAD）=180°，
∴∠AEO+∠D=180°，
∵∠AEO+∠BEO=180°，
∴∠BEO=∠D，
又∠EBO=∠DBO，BO=BO，
∴△OBE≌△OBD（AAS），
∴BD=BE，又AC=AE，
∴AC+BD=AE+BE=AB．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，三角形内角和，全等三角形的判定和性质，解题的关键是截取AE=AC，利用全等三角形的性质证明结论．
22．(本题9分)已知：在中，，，是过点的一条直线，且于，于．
（1）当直线处于如图①的位置时，有，请说明理由；
（2）当直线处于如图②的位置时，则、、的关系如何？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）BD=DE-CE，理由见解析
【分析】
（1）根据直角三角形的性质得到∠1=∠2，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质证明；
（2）利用与（1）相同的证明方法证明即可．
【详解】
解：证明：（1）∵∠BAC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∵BD⊥AE，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE；
（2）BD=DE-CE，
理由如下：∵∠BAC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∵BD⊥AE，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE，
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=DE-AD，
∴BD=DE-CE．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
23．(本题10分)在中，，点D是直线BC上一点（不与重合），以AD为一边在AD的右侧作，使，连接CE．
（1）如图1，当点在线段上，如果，则_______
度；
（2）设，．
①如图2，当点在线段上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线上移动，则之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
【答案】（1）90；（2）①α+β=180°，证明见解析；②α+β=180°或α=β，证明见解析．
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE的度数；
（2）①由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；②分两种情况画出图形，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案为：90；
（2）①α+β=180°，
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．
∵∠ACE+∠ACB=β，
∴∠B+∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°；
②如图1：当点D在射线BC上时，α+β=180°，
连接CE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，
即：∠BCE+∠BAC=180°，
∴α+β=180°，
如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．
连接BE，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE，
∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE．
∴α=β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，证明△ABD≌△ACE是解本题的关键．
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2021-2022学年浙江八年级数学上册第1章《三角形的初步认识》能力提升卷
注意事项∶
1.
答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2.
所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)如图，AE、AD分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（
）
A．18°
B．22°
C．30°
D．38°
2．(本题3分)如图，ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=24°，则∠EDC等于（
）
A．42°
B．66°
C．69°
D．77°
3．(本题3分)下列四个命题：（1）对顶角相等；（2）同位角相等；（3）两点之间，线段最短；（4）若，则是的中点，其中真命题的个数是（??）
A．个
B．个
C．个
D．个
4．(本题3分)如图，，，，点在线段上，以速度从点出发向点运动，到点停止运动．点在射线上运动，且．若与全等，则点运动的时间为（
）
A．
B．
C．或或
D．或
5．(本题3分)已知，，，若要使的周长是奇数，则为（
）
A．3
B．4
C．5
D．3或5
6．(本题3分)如图，在与中，已知，添加一个条件，不能使得的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．(本题3分)如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（
）
A．8
B．4
C．3
D．2
8．(本题3分)如图，△ABC的面积是18cm2，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，则△DAB的面积是（
）
A．9cm2
B．8cm2
C．7cm2
D．6cm2
9．(本题3分)如图，、是的角平分线，、相交于点F，已知，则下列说法中正确的个数是（
）
①；②；③；④．
A．1
B．2
C．3
D．4
10．(本题3分)如图，点C是线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=DQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有（
）个
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题(共21分)
11．(本题3分)已知，直线交于点，交于点是直线上一动点，过作直线的垂线交于点．若，则__________．
12．(本题3分)把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为______．
13．(本题3分)如图，在中，，，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线AF．若AF与PQ的夹角为，则_______°．
14．(本题3分)如图，，于，于，且，在线段上，在射线上，若与全等，则__________．
15．(本题3分)如图，，且，，，____．
16．(本题3分)如图，△ABC≌△DEF，由图中提供的信息，可得∠D＝__________°．
17．(本题3分)如图，已知，、分别平分和且度，则______度．
三、解答题(共49分)
18．(本题7分)如图，在中，是的高线，是的角平分线，已知．
（1）求的大小．
（2）若是的角平分线，求的大小．
19．(本题7分)已知，在直角三角形中，，是上一点，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，将沿所在直线翻折，点落在边上，记为点．
①若，求的度数；
②试求与的关系，并说明理由．
20．(本题8分)如图，已知△ABC≌△EBD，
（1）若BE=6，BD=4，求线段AD的长；
（2）若∠E=30°，∠B=48°，求∠ACE的度数．
21．(本题8分)如图，，、分别平分、，与交于点O．
（1）求的度数；
（2）说明的理由．
22．(本题9分)已知：在中，，，是过点的一条直线，且于，于．
（1）当直线处于如图①的位置时，有，请说明理由；
（2）当直线处于如图②的位置时，则、、的关系如何？请说明理由．
23．(本题10分)在中，，点D是直线BC上一点（不与重合），以AD为一边在AD的右侧作，使，连接CE．
（1）如图1，当点在线段上，如果，则_______
度；
（2）设，．
①如图2，当点在线段上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线上移动，则之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
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