1.4 二次函数的应用
第2课时 利用二次函数解决距离、利润的最值问题
【基础练习】
知识点1 距离的最值问题
1.一小球被抛出后,距离地面的高度h(m)和飞行时间t(s)满足函数表达式:h=-5(t-1)2+6,则小球距离地面的最大高度是
( )
A.1
m
B.5
m
C.6
m
D.7
m
2.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=-t2+24t+1,则下列说法中,正确的是
( )
A.
点火后9
s和13
s的升空高度相同
B.
点火后24
s火箭落于地面
C.
点火后10
s的升空高度为139
m
D.
火箭升空的最大高度为145
m
3.[教材例2变式]
甲船和乙船分别从A港和C港同时出发,各沿所指方向航行(如图9所示),甲、乙两船的速度分别是16海里/时和12海里/时.已知A,C两港之间的距离为10海里,则经过多长时间,甲船和乙船之间的距离最短?最短距离为多少?(注:AC⊥BC)
图9
知识点2 利润的最值问题
4.商店出售某种文具盒,若每个获利x元,一天可售出(6-x)个,则当x= 时,一天出售该种文具盒获得的总利润y最大.?
5.[2020·温州期末]
总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售,因地段不同,甲店一天可售出20件,每件盈利40元;乙店一天可售出32件,每件盈利30元.经调查发现,每件衬衫每降价1元,甲、乙两家店一天都可多售出2件.设甲店每件衬衫降价a元时,一天可盈利y1元,乙店每件衬衫降价b元时,一天可盈利y2元.
(1)当a=5时,求y1的值;
(2)求y2关于b的函数表达式(不必写自变量的取值范围);
(3)若总公司规定两家分店下降的价格必须相同,请求出每件衬衫下降多少元时,两家分店一天的盈利和最大,最大是多少元?
【能力提升】
6.[2020·随州]
2020年新冠肺炎疫情期间,部分药店趁机将口罩涨价,经调查发现,某药店某月(按30天计)前5天的某型号口罩销售价格p(元/只)和销量q(只)与第x天的关系如下表:
第x天
1
2
3
4
5
销售价格p(元/只)
2
3
4
5
6
销量q(只)
70
75
80
85
90
物价部门发现这种乱象后,统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只,该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只.据统计,该药店从第6天起销量q(只)与第x天的关系为q=-2x2+80x-200(6≤x≤30,且x为整数),已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只.
(1)直接写出该药店该月前5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式;
(2)求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W(元)与x之间的函数关系式,并判断第几天的利润最大;
(3)物价部门为了进一步加强市场整顿,对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的除正常利润之外的非法所得部分处以m倍的罚款,若罚款金额不低于2000元,则m的取值范围为 .?
7.[2020·安顺]
2020年体育中考,增设了考生进入考点需进行体温检测的要求.防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况,调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(人)与时间x(分)的变化情况,数据如下表:(表中9~15表示9时间x(分)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9~15
人数y(人)
0
170
320
450
560
650
720
770
800
810
810
(1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律,利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式;
(2)若考生一进考点就开始测量体温,体温检测点有2个,每个检测点每分钟检测20人,考生排队测量体温,则排队人数最多时有多少人?全部考生都完成体温检测需要多长时间?
(3)在(2)的条件下,如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测,从一开始就应该至少增加几个检测点?
答案
1.C
2.D
3.[解析]
设经过x小时,甲、乙两船的距离为y海里,甲船到D点,乙船到E点,则AD=16x海里,CD=(10-16x)海里,CE=12x海里,由勾股定理,得出y与x之间的函数表达式.
解:设经过x小时,甲船到达D点,乙船到达E点,甲、乙两船的距离为y海里.
由题意知AD=16x海里,CD=(10-16x)海里,CE=12x海里.
∴y=DE=
=
=
=
=
=20.
∵20>0,
∴当x=时,y最小值=20×=6,
∴经过小时,甲船和乙船之间的距离最短,最短距离为6海里.
4.3 [解析]
由题意可得y=(6-x)x,即y=-x2+6x,当x=-=-=3时,y有最大值,即当x=3时,一天出售该种文具盒获得的总利润y最大.
5.解:(1)由题意可得,
y1=(40-a)(20+2a),
当a=5时,y1=(40-5)×(20+2×5)=1050,
即当a=5时,y1的值是1050.
(2)由题意可得,
y2=(30-b)(32+2b)=-2b2+28b+960,
即y2关于b的函数表达式为y2=-2b2+28b+960.
(3)设两家分店每件衬衫下降的价格都为x元,两家分店一天的盈利和为w元,
则w=(40-x)(20+2x)+(-2x2+28x+960)=-4x2+88x+1760=-4(x-11)2+2244,
∴当x=11时,w取得最大值,此时w=2244.
答:当每件衬衫下降11元时,两家分店一天的盈利和最大,最大是2244元.
6.解:(1)p=x+1(1≤x≤5且x为整数);
q=5x+65(1≤x≤5且x为整数).
(2)当1≤x≤5且x为整数时,W=(x+1-0.5)(5x+65)=5x2+x+;
当6≤x≤30且x为整数时,W=(1-0.5)·(-2x2+80x-200)=-x2+40x-100.
即W与x之间的函数关系式为
W=
当1≤x≤5且x为整数时,销量价格、销量均随x的增大而增大,故当x=5时,W最大=495;
当6≤x≤30且x为整数时,W=-x2+40x-100=-(x-20)2+300,故当x=20时,W最大=300.
由495>300,可知第5天的利润最大.
(3)由表格数据可知:
前5天的非法所得为:
(2-1)×70+(3-1)×75+(4-1)×80+(5-1)×85+(6-1)×90
=1×70+2×75+3×80+4×85+5×90=70+150+240+340+450
=1250(元).
∵罚款金额不低于2000元,
∴1250m≥2000,解得m≥.
故答案为m≥.
7.解:(1)根据表中数据的变化趋势可知:
①当0≤x≤9时,y是x的二次函数.
∵当x=0时,y=0,
∴二次函数的关系式可设为y=ax2+bx.
当x=1时,y=170;当x=3时,y=450.
将它们分别代入关系式得
解得
∴二次函数的关系式为y=-10x2+180x.
将表格内的其他各组对应值代入此关系式,均成立.
②当9∴y与x之间的函数关系式为
y=
(2)设第x分钟时的排队人数是W,根据题意,得
W=y-40x=
①当0≤x≤9时,W=-10x2+140x=-10(x-7)2+490.
∴当x=7时,W最大=490.
②当9∴210≤W<450,
∴排队人数最多时有490人.
要全部考生都完成体温检测,根据题意,得810-40x=0,解得x=20.25.
∴排队人数最多时有490人,全部考生都完成体温检测需要20.25分钟.
(3)设从一开始就应该增加m个检测点,根据题意,得12×20(m+2)≥810,解得m≥1.
∵m是整数,
∴m≥1的最小整数是2,
∴从一开始就应该至少增加2个检测点.1.4 二次函数的应用
第1课时 利用二次函数解决面积的最值问题
【基础练习】
知识点1 特殊四边形的面积最值问题
1.[教材作业题第3题变式]
用一根长为30
cm的绳子围成一个矩形,其面积的最大值为
( )
A.225
cm2
B.112.5
cm2
C.56.25
cm2
D.100
cm2
2.如图1,已知?ABCD的周长为8
cm,∠B=30°,若边长AB=x
cm.
(1)?ABCD的面积y(cm2)与x(cm)之间的函数表达式为 ,自变量x的取值范围为 ;?
(2)当x= 时,y的值最大,最大值为 .?
图1
3.如图2所示,在长度为1的线段AB上取一点P,分别以AP,BP为边作正方形,则这两个正方形面积之和的最小值为 .?
图2
4.现有铝合金窗框料8
m,准备用它做一个如图3所示的矩形窗框.通常,当窗户总面积最大时,窗户的透光度最好.要使这个窗户的透光度最好,窗框的宽AB应为多少米?此时窗户的总面积为多少平方米(忽略框的厚度)?
图3
5.[教材例1变式]
课本中有一个例题:
如图4①中窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆,下部分是矩形.如果制作一个窗户边框的材料的总长度为6
m,那么如何设计这个窗户边框的尺寸,使透光面积最大(结果精确到0.01
m)?
这个例题的答案是:当窗户半圆的半径约为0.35
m,窗框矩形部分的另一边长约为1.23
m时,窗户的透光面积最大,最大值约为1.05
m2.
如果我们改变这个窗户的形状,上部分改为由两个正方形组成的矩形,如图②,材料的总长度仍为6
m,利用图③,解答下列问题:
(1)若AB为1
m,求此时窗户的透光面积;
(2)与课本中的例题比较,改变窗户形状后,窗户透光面积的最大值有没有变大?请通过计算说明.
图4
知识点2 三角形的面积最值问题
6.如图5,在矩形ABCD中,AB=18
cm,AD=4
cm,点P,Q分别从点A,B同时出发,点P在边AB上以每秒2
cm的速度向点B运动,点Q在边BC上以每秒1
cm的速度向点C运动,当P,Q中的一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为x
s,△PBQ的面积为y
cm2.
(1)求y关于x的函数表达式,并写出x的取值范围;
(2)求△PBQ的最大面积.
图5
【能力提升】
7.如图6所示,在矩形ABCD的边AB,BC,CD和DA上分别选取点E,F,G,H,使得AE=AH=CF=CG.如果AB=60,BC=40,那么四边形EFGH的最大面积是
( )
图6
A.1350
B.1300
C.1250
D.1200
8.[2019·温州模拟]
为了节省材料,某农场主利用围墙(围墙足够长)为一边,用总长为80
m的篱笆围成了如图7所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等,则围成的矩形区域ABCD的面积的最大值是 m2.?
图7
9.如图8,在边长为24
cm的正方形纸片ABCD上剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿图中的虚线折起,折成一个长方体形状的包装盒(A,B,C,D四个顶点正好重合于上底面一点).已知点E,F在AB边上,是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=BF=x
cm.
(1)若折成的包装盒恰好是个正方体,试求这个包装盒的体积V;
(2)某广告商要求包装盒的表面积S(不含下底面)最大,则x应取何值?
图8
答案
1.C
2.(1)y=-x2+2x 03.
4.解:设AB=x
m,则AD==4-xm.
设矩形窗框ABCD的面积为y
m2,则
y=x4-x=-x2+4x=-x-2+.
∵a=-<0,
∴当x=时,y的值最大,为.
故要使这个窗户的透光度最好,窗框的宽AB应为
m,此时窗户的总面积为
m2.
5.解:(1)∵AB=1
m,∴DF=CE=
m,
∴AD=×=(m),
∴S=AD·AB=×1=(m2).
故此时窗户的透光面积为
m2.
(2)设AB=x
m,则FE=DC=x
m,DF=CE=x
m,
∴AD==m.
∵AD>DF,
∴3-x>x,解得x<,
∴x的取值范围为0由题意得窗户的透光面积S=AD·AB=·x=-x2+3x=-x-2+.
当x=时,满足0∴S最大值=>1.05,
故窗户透光面积的最大值变大了.
6.解:(1)∵S△PBQ=PB·BQ,
PB=AB-AP=(18-2x)cm,BQ=x
cm,
∴y=(18-2x)x,
即y=-x2+9x(0≤x≤4).
(2)由(1)得y=-+.
∵当0≤x≤时,y随x的增大而增大,
而0≤x≤4,∴当x=4时,函数y有最大值20,
即△PBQ的最大面积是20
cm2.
7.C
8.300 [解析]
如图,
∵三块矩形区域的面积相等,∴矩形AEFD的面积是矩形BCFE的面积的2倍,∴AE=2BE.设BC=x
m,BE=FC=a
m,则AE=HG=DF=2a
m.
∵DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC=80,
∴8a+2x=80,
∴a=-x+10,3a=-x+30,
∴矩形区域ABCD的面积
S=-x+30x=-x2+30x.
∵a=-x+10>0,
∴x<40,
则S=-x2+30x(0∵S=-x2+30x=-(x-20)2+300(0∴当x=20时,S有最大值,最大值为300
m2.故答案为300.
9.解:(1)根据题意,知这个正方体的底面边长a=x
cm,EF=a=2x
cm.
∵正方形纸片ABCD的边长为24
cm,
∴x+2x+x=24,解得x=6,∴a=6
cm,
则V=a3=(6)3=432(cm3).
(2)∵AE=BF=x
cm,
∴EF=(24-2x)cm.
由24-2x>0,得x<12,
∴x的取值范围是0设包装盒的底面边长为b
cm,高为h
cm,则b=x
cm,h==(12-x)cm,
∴S=4bh+b2=4x·(12-x)+(x)2=-6x2+96x=-6(x-8)2+384.
∵0∴当x=8时,S有最大值384
cm2.第3课时 二次函数与一元二次方程
【基础练习】
知识点1 二次函数与一元二次方程之间的对应关系
1.二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图10所示,且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个根为x1=3,则另一个根x2为
( )
图10
A.1
B.-1
C.-2
D.0
2.若抛物线y=x2+bx+c的顶点在第一象限,则方程x2+bx+c=0的根的情况是
( )
A.
有两个相等的实数根
B.
有两个不相等的实数根
C.
无实数根
D.
无法判断
3.根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数值y的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个根x的取值范围是
( )
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y=ax2+bx+c
-0.03
-0.01
0.02
0.06
A.6B.6.17C.6.18D.6.194.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图11所示,利用图象回答:
图11
(1)方程ax2+bx+c=0的根是什么?
(2)方程ax2+bx+c=-3的根是什么?
(3)方程ax2+bx+c=5的根是什么?
(4)方程ax2+bx+c=-4的根是什么?
(5)方程ax2+bx+c=-6的根的情况怎样?
5.利用二次函数的图象求一元二次方程x2-2x-1=0的实数根.(精确到0.1)
知识点2 二次函数在抛物线形问题中的应用
6.某公园有一个圆形喷水池,喷出的水流呈抛物线,一条水流的高度h(单位:m)与水流运动时间t(单位:s)之间的函数表达式为h=30t-5t2,那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是
( )
A.6
s
B.4
s
C.3
s
D.2
s
7.廊桥是我国古老的文化遗产.如图12②是某座抛物线形廊桥的示意图,已知抛物线的函数表达式为y=-x2+10.为保护廊桥的安全,要在该抛物线上距水面AB高为8米的点E,F处各安装一盏警示灯,则这两盏灯的水平距离EF是 米.?
图12
8.浙江稠州职业篮球俱乐部的张大宇在一次中美篮球对抗赛中,篮球传出后的运动路线为如图13所示的抛物线,以张大宇所站立的位置为原点O建立平面直角坐标系,篮球出手时在点O正上方1
m处的点P.已知篮球运动时的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=-x2+x+c.
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)求篮球在运动的过程中离地面的最大高度;
(3)赖俊豪手举过头顶,跳起后的最大高度为BC=2.5
m,若赖俊豪要在篮球下落过程中接到球,求赖俊豪离张大宇的最短距离.
图13
【能力提升】
9.若二次函数y=ax2-2ax+c(a≠0)的图象经过点(-1,0),则方程ax2-2ax+c=0的解为
( )
A.x1=-3,x2=-1
B.x1=1,x2=3
C.x1=-1,x2=3
D.x1=-3,x2=1
10.二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象如图14所示,若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为
( )
图14
A.-3
B.3
C.-6
D.9
11.对于一个函数,当自变量x取a时,函数值y也等于a,则我们称a为这个函数的“不动点”.若二次函数y=x2+2x+c有两个相异的“不动点”x1,x2,且x1<1( )
A.
c<-3
B.c<-2
C.
c<
D.
c<1
12.[2019·绍兴上虞区一模]
根据下列要求,解答相关问题:
(1)请补全以下求不等式-2x2-4x≥0的解的过程:
①构造函数,画出图象:
根据不等式特征构造二次函数y=-2x2-4x;二次函数的图象的对称轴为直线 ,开口向下,顶点坐标为 ,与x轴的交点坐标是 , ,用三点法画出二次函数y=-2x2-4x的图象,如图15①所示.?
②数形结合,求得界点:
当y=0时,求得方程-2x2-4x=0的解为 .?
③借助图象,写出解:
由图象可得不等式-2x2-4x≥0的解为 .?
(2)利用(1)中求不等式解的方法步骤,求不等式x2-2x+1<4的解.
①构造函数,画出函数y=x2-2x+1的图象(在图②中画出);
②数形结合,求得界点:
当y=4时,求得方程x2-2x+1=4的解为 ;?
③借助图象,写出解:
由图②知,不等式x2-2x+1<4的解是 .?
图15
答案
1.B 2.C 3.C
4.解:(1)方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=3.
(2)方程ax2+bx+c=-3的根是x1=0,x2=2.
(3)方程ax2+bx+c=5的根是x1=-2,x2=4.
(4)方程ax2+bx+c=-4的根是x1=x2=1.
(5)方程ax2+bx+c=-6无实数根.
5.解:方程x2-2x-1=0的根是函数y=x2-2x-1的图象与x轴的交点的横坐标.作出二次函数y=x2-2x-1的图象(如图).
由图象可知方程有两个根,一个根在-1和0之间,另一个根在2和3之间.
先求-1和0之间的根.
当x=-0.4时,y=-0.04;
当x=-0.5时,y=0.25.
(注:列计算数值表亦可;计算的数对多于两个亦可)因此,-0.4是方程的一个近似根.
同理,2.4是方程的另一个近似根.
综上,方程x2-2x-1=0的实数根为x1≈-0.4,x2≈2.4.
6.A [解析]
水流从喷出至回落到地面时高度h为0,把h=0代入h=30t-5t2,得5t2-30t=0,解得t1=0,t2=6.故水流从喷出至回落到地面所需要的时间为6
s.故选A.
7.8 [解析]
把y=8代入y=-x2+10,得8=-x2+10,解得x=±4,∴EF=8米.
8.解:(1)∵OP=1,∴P(0,1),
∴当x=0时,y=1,代入y=-x2+x+c,
解得c=1,
∴y与x之间的函数表达式为y=-x2+x+1.
(2)y=-x2+x+1=-(x-4)2+3,
当x=4时,y有最大值3,
故篮球在运动的过程中离地面的最大高度为3
m.
(3)令y=2.5,
则有-(x-4)2+3=2.5,
解得x1=2,x2=6.
根据题意可知x1=2不合题意,应舍去,
故赖俊豪离张大宇的最短距离为6
m.
9.C [解析]
∵二次函数y=ax2-2ax+c(a≠0)的图象经过点(-1,0),
∴方程ax2-2ax+c=0一定有一个根为x=-1.
又∵二次函数图象的对称轴为直线x=1,
∴二次函数y=ax2-2ax+c的图象与x轴的另一个交点坐标为(3,0),
∴方程ax2-2ax+c=0的解为x1=-1,x2=3.故选C.
10.B
11.B [解析]
由题意知,二次函数y=x2+2x+c的两个相异的“不动点”x1,x2是方程x2+2x+c=x的两个实数根,且x1<1整理,得x2+x+c=0,
∴
解得c<-2.
12.解:(1)①对称轴为直线x=-=-1,顶点坐标为(-1,2),令y=0,则-2x2-4x=0,
解得x1=0,x2=-2,
∴与x轴的交点坐标为(0,0),(-2,0).
故答案为x=-1,(-1,2),(0,0),(-2,0).
②x1=0,x2=-2
③不等式-2x2-4x≥0的解是图象在x轴及其上方的部分,
∴-2≤x≤0.
故答案为-2≤x≤0.
(2)①如图所示:
②当y=4时,方程x2-2x+1=4的解为x1=-1,x2=3.
③结合函数图象,不等式x2-2x+1<4的解是图象在直线y=4的下方部分,
∴-1故答案为-1
