1.2数轴、相反数和绝对值知识点讲解+同步练习 2021—2022学年沪科版数学七年级上册

1.2
数轴、相反数和绝对值
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必备知识点
知识点一
数轴
1.数轴的定义
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
注意：
①数轴是一条向两方无限延伸的直线；②数轴三要素：原点、正方向、单位长度；③原点的位置、正方向和单位长度大小的确定都是根据需要人为规定的，习惯上规定向右为正方向。
2.数轴的画法
例1下列图形是数轴的是(　　)
牢记四点看数轴：①是否有原点；②是否有正方向；③单位长度是否统一；④标的数字顺序是否正确。
知识点二
数轴上的点与有理数的对应关系
1.对应关系
①一般地，任意一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示；
②0用原点表示，原点右边
的数表示正数，原点左边的数
表示负数；
③但数轴上的点表示的数不一定都是有理数，它们之间不是一一对应的关系，比如π这样的数也能在数轴上表示。
2.数轴的两个基本应用
例2在数轴上画出表示下列各数的点：
3，
－2，
－3.5，
1，
0
例3指出数轴上A，B，C，D，E各点分别表示什么数？
提示：①画点时标实心圆点，数和字母要写在对应点的正上方；②由数描点：先由符号确定位置，再由距离找到点；③由点读数：先由位置确定符号，再由距离读出数。
知识点三
相反数
1.相反数的概念
只有符号不同的两个数互为相反数。特别的，0的相反数是0。
提示：①相反数是成对出现的，不能单独存在；②任何一个有理数都只有一个相反数；③“只有”指的是除符号不同外，其他完全相同；④0的相反数是0，相反数是其本身的只有0。
2.
几何意义
互为相反数的两个数，在数轴上所表示的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等。
例4下列说法中正确的是(　　)
A．正数和负数互为相反数
B．任何一个数的相反数都与它本身不相同
C．任何一个数都有它的相反数
D．数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数
3.
相反数的性质
若、互为相反数，则；反之若，则、互为相反数。
、互为相反数
例5已知与互为相反数，求的值。
4.相反数的表示
例6分别写出下列各数的相反数：
总结：求一个数的相反数，只需在前面加负号即可。如的相反数是，的相反数是。
知识点四
绝对值
1.绝对值的定义
在数轴上，表示数的点到原点的距离，叫做数的绝对值，记作||。
2.绝对值的性质
（1）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即：
①若>0,则||=?
②若<0,则||=
③若=0,则||=0
例7求下列各数的绝对值：
，
+4，
-0.1，
3.5，
总结：
求绝对值时先判断，再求值
求一个数的绝对值，要先判断这个数是正数、负数还是0，再根据绝对值的性质确定这个数的绝对值。
拓展：①绝对值是它本身的数是非负数，即若||=,则≥0，即为非负数；绝对值是其相反数的数是非正数，即若||=-，则≤0，即为非正数；②在同一个数轴上，一个数离原点越近，其绝对值越小；离原点越远，其绝对值越大。
（2）绝对值的非负性
任何有理数的绝对值都是非负数，即||≥0。
例8下列各式中无论m为何值，一定是正数的是(　
)
A.
|m|
　　B.
|m+1|
C.
|m|
＋1　　D．|m|
-1
总结：①几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。即，则；②互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等的两个数相等或互为相反数；③在数轴上，点,,表示有理数，,一般地,称为点与点之间距离。
典型例题
题型一
数轴的应用
1.数轴上两点间的距离
典例1在数轴上,到原点的距离等于3的点表示的数是(
)
A.3
B.-3
C.3或-3
D.无法确定
2.借助数轴分析点的移动
典例2(1)点A从数轴上的原点开始运动，先向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，此时点A表示的数是　　　　
　
。
(2)若点B在数轴上先向左移动3个单位长度，再向右移动8个单位长度后所得到的点表示的数是3，则点B表示的数是　　　　　
。
3.数轴上的整数点问题
典例3如图，小明写作业时不慎将两滴墨水滴在作业本上(涂色部分)。根据图中的数值，你能确定被墨迹盖住的整数有哪几个吗？
4.借助数轴解决实际问题
典例4某旅游大巴从旅行社出发，先向西行驶3km到达A景点，再继续向西行驶1km到达B景点，然后向东行驶8km到达C景点，最后回到旅行社。
(1)以旅行社为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，画出数轴，并在该数轴上表示出A,B,C三个景点的位置。
(2)C景点距离A景点有多远?
(3)该旅游大巴共行驶了多少路程?
5.与数轴有关的探究题
典例5如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处分别标上字母A，B，C，D，先将圆周上的字母A对应的点与数轴上的数字0所对应的点重合。若将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上的－2021所对应的点将与圆周上字母　　　　　所对应的点重合；若此时将圆再沿着数轴向右滚动，则数轴上的2022所对应的点将与圆周上字母　　　　　所对应的点重合。
题型二
相反数的应用
1.多重符号的化简
典例6化简下列各数：
（1）－
（2）－
（3）＋
方法归纳：多重符号的化简方法：
一个数或式子有多重符号时，可根据相反数的性质由内向外化简，也可以根据“-”的个数确定结果的符号，即当一个正数前有奇数个“-”号时，化简结果为负；当一个正数前有偶数个“-”号时，化简结果为正。可简写为：“奇负偶正”
2.利用相反数的概念求值
典例7已知与互为相反数，与互为相反数，且=
-6，则=　　　　
。
3.借助数轴解相反数问题
典例8如图①,已知A,B,C,D四个点在一条还没有规定原点的数轴上。
(1)若点A和点C表示的两个数互为相反数,则原点为
　　　　
。
(2)若点B和点D表示的两个数互为相反数,则原点为
。
(3)若点A和点D表示的两个数互为相反数，请在数轴上表示出原点的位置，用O来表示。
题型三
绝对值的应用
1.根据绝对值的性质确定字母的取值范围
典例9若，则的取值范围是　　　　
。
2.与绝对值有关的计算
典例10计算:
（1）|-2|+|+1|；
（2）|-12|-|-8|；
（3）|+3.8|+|-6.2|。
3.运用绝对值的非负性求值
典例11已知，求下面各式的值:（1）；
（2）。
4.利用绝对值解决实际问题
典例12正式排球比赛对所使用的排球质量是有严格规定的，检查5个排球的质量，超过规定质量的克数记为正数，不足规定质量的克数记为负数，检查结果如下表：
+15
-10
+30
-20
-40
（1）指出哪个排球质量最好，即质量最接近规定质量；
（2）如果对两个排球进行上述检查，检查的结果分别为p和q，请利用学过的绝对值的知识指出这两个排球中哪个质量好一些。
5.与绝对值相关的阅读理解题
典例13阅读下面的材料，然后解答问题：
我们知道，正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。用字母表示：当a>0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a；当a=0时，|a|=0。对于a-b，若a>b，则|a-b|>0，此时|a-b|=a-b；若a(1)对于|x-1|，当x>1时，x-1
0，则|x-1|=
；
(2)对于|x-1|，当x<1时，x-1
0，则|x-1|=
；
(3)对于|x-1|，当x=1时，x-1
0，则|x-1|=
；
(4)表示数a,b,c的点如图所示,试化简|b-a|=
；则|c-a|=
。
易错题
求相反数及化简多重符号时出错
典例14求下列各数（或式子）的相反数：
（1）-（-8）；
（2）m-n；
（3）m+n
易错题
对绝对值性质理解不透彻
典例15已知两个数，同时满足-6，，则
。