2021-2022年浙教版七年级数学上册 第1章 有理数难题专项突破：1.2数轴（Word版含解析）

2021-2022年浙教版七年级数学第1章有理数难题专项突破：数轴（Word版含解答）
一、选择题
1.有理数 a ， b ， c 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（?? ）
① abc<0 ；② a-b+c<0 ；③ |a|a+|b|b+|c|c=3 ；④ |a-b|-|b+c|+|a-c|=2a .
A.?4个????????????????????????B.?3个????????????????????????????????C.?2个??????????????????????D.?1个
2.已知a，b是有理数， |a+b|=-(a+b) ， |a-b|=a-b ，若将a，b在数轴上表示，则图中有可能（?? ）
A.???????????B.?????????????C.?????????????D.?
3.有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，若|b|＞|c|，则下列结论中正确的是（?? ）
A.?abc＜0????????????B.?b＋c＜0?????????????????C.?a＋c＞0????????????D.?ac＞ab
4.数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1cm ， 若在数轴上画出一条长2020cm的线段AB ， 则线段AB盖住的整点个数是（　　）
A.?2020???????????????????????B.?2021??????????????????C.?2020或2021????????????????D.?2019或2020
5.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例如，十进制中 26=16+10 ，用十六进制表示为1A：用十六进制表示： D+F=1C ， 19-F=A ，则 A×E ，用 A×E 十六进制可表示为（?? ）
A.?8C?????????????????????????B.?140??????????????????????????C.?32???????????????????????????D.?EO
6.点A，B是数轴上两点，位置如图，点P，Q是数轴上两动点，点P由点A点出发，以1单位长度/秒的速度在数轴上运动，点Q由点B点出发，以2单位长度/秒的速度在数轴上运动．若两点同时开始和结束运动，设运动时间为t秒．下面是四位同学的判断：
①小康同学：当t=2时，点P和点Q重合．
②小柔同学：当t=6时，点P和点Q重合．
③小议同学：当t=2时，PQ=8．
④小科同学：当t=6时，PQ=18．
以上说法可能正确的是（? ）
A.?①②③?????????????????B.?②③④??????????????C.?①③④???????????D.?①②③④
7.实数 x,y,z 在数轴上的对应点的位置如图所示，若 |z+y|<|x+y| ，则A，B，C，D四个点中可能是原点的为（? ）
A.?A点????????????????????????B.?B点??????????????????????????C.?C点????????????D.?D点
8.数轴上有 O ， A ， B ， C ， D 五个点，各点的位置与所表示的数如图所示，且 3<|d|<5 .若数轴上有一点 M ， M 所表示的数为 m ，且 |m-d|=|m-3| ，则关于点 M 的位置，下列叙述正确的是（? ）
A.?M 在 O ， B 之间???B.?M 在 O ， C 之间?????C.?M 在 C ， D 之间?????D.?M 在 A ， D 之间
9.已知数轴上的四点 P ， Q ， R ， S 对应的数分别为 p ， q ， r ， s ．且 p ， q ， r ， s 在数轴上的位置如图所示，若 r-p=10 ， s-p=12 ， s-q=9 ，则 r-q 等于（??? ）．
A.?7????????????????????B.?9????????????????????C.?11???????????????????D.?13
10.已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab + ac＞0；②﹣a﹣b + c＞0；③ a|a|+b|b|+c|c|=1 ；④当x=0时，式子 |x-b|+|x-c|+|x-a| 有最小值．其中正确结论的个数是（ ??）
A.?1???????????????????????B.?2????????????????????C.?3????????????????????D.?4
二、填空题
11.如图，已知数轴上的点C表示的数为6，点A表示的数为-4，点B是AC的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为1秒(t> 0)，另一动点Q，从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且P，Q同时出发，当t为________秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度。
12.已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简|a+c|﹣|a+b|+2|c﹣b|＝________.
13.线段 AB=15 ，点 P 从点 A 开始向点 B 以每秒1个单位长度的速度运动，点 Q 从点 B 开始向点 A 以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，当 AP=2PQ 时， t 的值为________.
14.如图，数轴上点 A ， B 表示的数分别为 -40 ，50，现有一动点 P 以2个单位每秒的速度从点 A 向 B 运动，另一动点 Q 以3个单位每秒的速度从点 B 向 A 运动.当 AQ=3PQ 时，运动的时间________.
15.如图，在数轴上A点表示数﹣3，B点表示数9，若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以3个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，则经过________秒，甲球到原点的距离等于乙球到原点的距离的两倍.
16.操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示），
（1）操作一：
折叠纸面，使表示-1的点与表示1的点重合，则表示-3的点与表示________的点重合．
（2）操作二：
折叠纸面，使表示-2的点与表示4的点重合，那么表示6的点与表示________的点重合，此时若数轴上A，B两点之间的距离为8，（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，那么A，B两点表示的数分别是________，________．
（3）操作三：
已知在数轴上点A表示的数是 a ，点A移动6个单位，此时点A表示的数和 a 是互为相反数，那么 a 的值是________．
17.综合与实践——探究数轴中的问题
问题情境：活动课上，同学们将如图所示的数轴进行对折，探究其中的数学问题．
（1）操作思考：
勤学小组的对折方案是：使表示 -5 的点与表示5的点重合．
①对折后数轴上表示7的点与表示________的点重合；
②对折后数轴上表示有理数 m 的点与表示________的点重合（用含 m 的式子表示）；
（2）善思小组的对折方案是：使表示-5的点与表示7的点重合．
①对折后数轴上表示________的点与原点重合；对折后表示-25的点与表示________的点重合；
②对折后数轴上表示有理数 m 的点与表示________的点重合（用含 m 的式子表示）；
（3）拓展探究：
好问小组的对折方案是：使表示有理数 m 的点与表示有理数 n 的点重合（其中 m请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择?? ▲??? 题
A．①对折后数轴上表示有理数 m 的点到对折点的距离为________（用含 m ， n 的式子表示）；
②对折后数轴上原点与表示________的点重合（用含 m ， n 的式子表示）．
B．①该数轴对折点表示的有理数为________（用含 m ， n 的式子表示）；
②对折后数轴上表示有理数 p 的点与表示________的点重合（用含 m ， n ， p 的式子表示）．
18.如图，数轴上相邻两个整数之间的距离为1个单位，圆的周长为4个单位长，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示-2的点重合，再将数轴右半轴按顺时针方向环绕在该圆上（如：圆周上表示数字1的点与数轴上表示-1的点重合…），则数轴上表示2020的点与圆周上表示数字________的点重合．
三、解答题
19.数轴是一个非常重要的数学工具，实数和数轴上的点能建立一一对应的关系，它建立了数与形的联系，是初中“数形结合”的基础。我们知道一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，如： |-3|=3 ， |x| ：表示数 x 的点到原点的距离。同样的， |x-3| ：表示数 x 的点到表示数3的点的距离。请结合数轴解决下列问题：
①当 x=5 时， |x-3| 表示什么意思？________；
②若 |x-3|=5 ，则 x= ________；
③若 |x-2|+|x+3|=7 ，则 x 的值是________；
④求使 |x-4|+|x+1| 的值最小的所有符合条件的整数 x .
20.如图，数轴上A点表示的数是﹣2，B点表示的数是5，C点表示的数是10.
（1）若要使A、C两点所表示的数是一对相反数，则“原点”表示的数是：________.
（2）若此时恰有一只老鼠在B点，一只小猫在C点，老鼠发现小猫后立即以每秒一个单位的速度向点A方向逃跑，小猫随即以每秒两个单位的速度追击.
①在小猫未抓住老鼠前，用时间t（秒）的代数式表示老鼠和小猫在移动过程中分别与点A之间的距离；
21.已知m，n互为相反数，且 m≠n ，p，q互为倒数，数轴上表示数 a 的点距原点的距离恰为 6 个单位长度。求 m+na+2pq-12a-mn 的值.
22.定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就点C是(A，B)的美好点例如：如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是(A，B)的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是〔A，B)的美好点，但点D是(B，A)的美好点。

如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为-7，点N所表示的数为2.


（1）点E，F，G表示的数分别是-3，6.5，11，其中是(M，N)美好点的是________； 写出(N，M)美好点H所表示的数是________。
（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动.当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点?
23.我们将一个数轴沿点O和点C各折一次后会得到一个新的图形，与原来相比，线段AO和CB仍然水平，线段OC处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“坡数轴”，其中O为“坡数轴”原点，在“坡数轴”上，每个点对应的数就是把“坡数轴”拉直后对应的数.
记“坡数轴”上A到B的距离 AB 为A和B拉直后距离：即 AB ＝AO＋OC＋CB，其中AO、OC、CB代表线段长度.
如图，已知“坡数轴”上，O为原点，A表示的数是﹣8，C表示的数是2，B表示的数是6
（1）若 TA ＋ TB ＝16，则T表示的数是________.
（2）定义“坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍，一点P从A处沿“坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向右移动，当移到点C时，立即掉头返回（掉头时间不计），在P出发的同时，点Q从B处沿“坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向左移动，当P重新回到A点所有运动结束，设P点运动时间为t秒，在移动过程中：
①P在________秒时回到A；
②何时 PQ=2PO .________
24.已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x.
（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值.若不存在，请说明理由？
（3）当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后点P到点A、点B的距离相等？
25.如图1，数轴上有A、B两点，点A在原点左侧，点A对应的数与点B对应的数互为相反数.
（1）若AB＝24，则点A对应的数是________，点B对应的数是________；
（2）如图2，在（1）的条件下，动点P从点O出发以2个单位/秒的速度向右运动，设点P运动的时间为t秒，当PA＝2PB时，求t的值；
（3）如图3，在（1）和（2）的条件下，动点P从点O出发的同时，动点M从点A出发以3个单位/秒的速度向右运动，动点N从点B出发以4个单位/秒的速度向左运动.在这三点运动过程中，其中任意两点相遇时，这两点立即以原速度向反方向运动，另一点保持原来的速度和方向，设运动时间为t（t＞0）秒.求：当t的值为多少时，满足PM＝PN？
答案
一、选择题
1.解：∵由数轴可得：b＜c＜0＜a，|b|＞|c|＞|a|
∴abc＞0，①错误；
a-b+c＞0，②错误；
|a|a+|b|b+|c|c =1-1-1=-1，③错误；
|a-b|-|b+c|+|a-c| =a-b-(-b-c)+a-c=a-b+b+c+a-c=2a，④正确.
综上，正确的个数为1个.
故答案为：D.
2.解：∵|a+b|=-（a+b），|a-b|=a-b，
∴a+b≤0，a-b≥0，
∴a≥b，
A、由图知，a＞0，b＞0，所以a+b＞0，所以此选项不合题意；
B、由图知，a＜0，b＜0，a＞b，所以a+b＜0，所以此选项符合题意；
C、由图知，a＜0，b＞0，a＜b，所以此选项不合题意；
D、由图知，a＞0，b＜0，|a|＞|b|，所以a+b＞0，所以此选项不合题意.
故答案为：B.
3.解：∵ |b|>|c| ，
∴数轴的原点应该在表示b的点和表示c的点的中点的右边，
∴c有可能是正数也有可能是负数，a和b都是负数，
ab>0 ，但是 abc 的符号不能确定，故A选项错误；
若b和c都是负数，则 b+c<0 ，若b是负数，c是正数，且 |b|>|c| ，则 b+c<0 ，故B选项正确；
若a和c都是负数，则 a+c<0 ，若a是负数，c是正数，且 |a|>|c| ，则 a+c<0 ，故C选项错误；
若b是负数，c是正数，则 ac故答案为：B.
4.解：依题意得：
①当线段AB起点在整点时覆盖2021个数，
②当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖2020个数，
综上所述，盖住的点为：2020或2021．
故答案为：C ．
5.解：∵A=10，E=14
∴A×E=10×14=140
∴140÷16=8??12
∵C=12
∴A×E=8C
故答案为：A.
6.解：根据题意，
∵点A表示 - 4，点B表示2，
∴ AB=2-(-4)=6 ，
当点P、Q相向运动时，设t秒后P、Q重合，
∴ (1+2)t=6 ，
∴ t=2 ；故①符合题意；
当点P在前，点Q在后运动时，设t秒后P、Q重合，
(2-1)t=6 ，
∴ t=6 ；故②符合题意；
当点Q在前，点P在后时，设t秒后 PQ=8 ，
∴ (2-1)t+6=8 ，
∴ t=2 ；故③符合题意；
当P、Q反向运动时，设t秒后 PQ=18 ，
∴ (1+2)t+6=18 ，
∴ t=4 ；
当P、Q两点相遇后再相距18，则
(1+2)t=18+6 ，
∴ t=8 ；
∴④的说法不符合题意；
∴正确的说法有①②③；
故答案为：A．
7.解：根据数轴可知 x①若原点的位置为A点时，x＞0，则 |z+y|=z+y ， |x+y|=x+y ， x+y∴ |z+y|>|x+y| ，舍去；
②若原点的位置为B点或C点时， x<0,y>0,z>0,|z|>|x|,|z|>|y| ，
则 |x+y|<|y| 或 |x+y|<|x| ， |z+y|=|z|+|y| ，
∴ |z+y|>|x+y| ，舍去；
③若原点的位置为D点时， x<0,y<0,z>0,|y|>|z|
则 |x+y|<|y|+|x| |z+y|<|y| ，
∴ |z+y|<|x+y| ，符合条件，
∴最有可能是原点的是D点，
故答案为：D.
8.解：由题意可得：点A表示的数为-5，点B表示的数为3，点C表示的数为-1，点D表示的数为d，且AC=BC
∵ |m-d|=|m-3| ，
∴MD=BD，
又∵-5＜d＜-1＜3
∴M点介于O、C之间，
故答案为：B.
9.解：由数轴可知：p＜r，p＜s，q＜s，q＜r，
∵r?p＝10，s?p＝12，s?q＝9，
∴ r?q＝（r?p）?（s?p）＋（s?q）＝10?12＋9＝7．
故答案为：A．
10.由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|，|b|＞|a|，
∴① ab+ac>0 ；故原结论符合题意；② -a-b+c>0 ；故原结论符合题意；③ a|a|+b|b|+c|c|=1-1+1=1 ，故原结论符合题意；④当 x=a 时，
|x-b|+|x-c|+|x-a|=a-b+c-a+0=c-b 为最小值．故原结论不符合题意；
故正确结论有①②③共3个．
故答案为：C．
二、填空题
11.解：∵点P和点Q之间的距离为2个单位长度
∴|2x-4-（x-1）|=2
解得，x=1或x=5
12.解：由已知得：a＜b＜0，c＞0，且|a|＞|c|，
∴|a+c|﹣|a+b|+2|c﹣b|
＝﹣（a+c）+（a+b）+2（c﹣b）
＝c﹣b，
故答案为：c﹣b.
13.解：此题可分为两种情况进行讨论：
①如图1，
点P、Q相遇前，由题意得AP＝t，BQ＝2t，PQ＝AB－AP－BQ，
当 AP=2PQ 时，t＝2(15－t－2t)，
解得t＝ 307 ；
②如图2，
点P、Q相遇后，由题意得AP＝t，BQ＝2t，PQ＝AP＋BQ－AB，
当 AP=2PQ 时，t＝2(t＋2t－15)，
解得t＝6.
综上所述： t 的值为 307 或6.
故答案为： 307 或6.
14.解：设运动时间为t，
则P点表示的数为-40+2t，Q点表示的数为50-3t，
①P、Q相遇前 AQ=50-3t-(-40)=90-3t PQ=50-3t-(-40+2t)=90-5t
则 90-3t=3(90-5t)
解得： t=15 秒；
②P、Q相遇后 AQ=50-3t-(-40)=90-3t PQ=-40+2t-(50-3t)=-90+5t
则 90-3t=3(-90+5t)
解得： t=20 秒.
故答案为：15秒或20秒.
15.解：设经过t秒，甲球到原点的距离等于乙球到原点的距离的两倍.
∵甲球运动的路程为：1?t=t，OA=3，
∴甲球与原点的距离为：t+3；
乙球到原点的距离分两种情况：当0＜t≤3时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，
∵OB=9，乙球运动的路程为：3?t=3t，乙到原点的距离：9﹣3t（0≤t≤3）；
当t＞3时，乙球从原点O处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为：3t﹣9 （t＞3）.
分两种情况：
①当0＜t≤3时，得t+3=2（9﹣3t），解得t= 157 ；
当t＞3时，得t+3=2（3t﹣9），解得t= 215 .
故当t= 157 或 215 秒时，甲球到原点的距离等于乙球到原点的距离的两倍.
故答案为： 157 或 215 .
16. （1）3
（2）-4；-3；5
（3）3或-3
解：（1）∵1与-1重合，
∴折痕点为原点，
∴-3表示的点与3表示的点重合．
故答案为：3；（2）∵-2的点与表示4的点重合，
∴折痕点为（-2+4）÷2=1，
∴表示6的点与表示-4的点重合，
1-8÷2=-3，1+8÷2=5，
则A，B两点表示的数分别是-3，5，
故答案为：-4；-3，5；（3）若向左移动，
则a-6+a=0，解得：a=3，
若向右移动，
则a+6+a=0，解得：a=-3，
∴a的值为3或-3，
故答案为：3或-3．
17. （1）-7；-m
（2）2；27；（2-m）
（3）A： m+n2；（m+n）；B： m+n2；（m+n-p）
（1）① ∵ 对折后，表示 -5 的点与表示5的点重合，
∴ 对折点所表示的数为 -5+52=0 ，
∴ 对折后数轴上表示7的点与表示 -7 的点重合，
故答案为：-7；②由（1）①可知，对折点所表示的数为0，
则对折后数轴上表示有理数 m 的点与表示 -m 的点重合，
故答案为： -m ；（2）① ∵ 对折后，表示 -5 的点与表示7的点重合，
∴ 对折点所表示的数为 -5+72=1 ，
设对折后数轴上表示 a 的点与原点重合，
则 a+02=1 ，
解得 a=2 ，
设对折后表示-25的点与表示 b 的点重合，
则 -25+b2=1 ，
解得 b=27 ，
故答案为：2，27；②设对折后数轴上表示有理数 m 的点与表示 x 的点重合，
则 m+x2=1 ，
解得 x=2-m ，
故答案为： (2-m) ；（3）解：A．① ∵ 表示有理数 m 的点与表示有理数 n 的点重合，
∴ 对折点所表示的数为 m+n2 ，
∴ 对折后数轴上表示有理数 m 的点到对折点的距离为 m+n2-m=n-m2 ，
故答案为： n-m2 ；
②设对折后数轴上原点与表示 y 的点重合，
则 0+y2=m+n2 ，
解得 y=m+n ，
故答案为： (m+n) ；
B．① ∵ 表示有理数 m 的点与表示有理数 n 的点重合，
∴ 对折点所表示的数为 m+n2 ，
故答案为： m+n2 ；
②设对折后数轴上表示有理数 p 的点与表示 z 的点重合，
则 p+z2=m+n2 ，
解得 z=m+n-p ，
故答案为： (m+n-p) ．
18.根据圆的周长是4，每4个单位为一个循环组依次循环，
∵从-2到2020共2022个单位，
∴ 2022÷4=505?2 ，
∴数轴上表示2020的点与圆周上表示数字2的点重合；
故答案为：2．
三、解答题
19. 表示数5的点到表示数3的点的距离；8或-2；-4或3；解：④由题意，分以下三种情况： （ⅰ）当 x<-1 时， |x-4|+|x+1|=4-x-x-1=-2x+3>5 ， （ⅱ）当 -1≤x≤4 时， |x-4|+|x+1|=4-x+x+1=5 ， （ⅲ）当 x>4 时， |x-4|+|x+1|=x-4+x+1=2x-3>5 ， 综上，在 -1≤x≤4 内， |x-4|+|x+1| 取得最小值，最小值为5， 则所有符合条件的整数 x 为 -1,0,1,2,3,4 .
解：①当 x=5 时， |x-3| 表示的意思是：表示数5的点到表示数3的点的距离，
故答案为：表示数5的点到表示数3的点的距离；② |x-3|=5 ，
x-3=5 或 x-3=-5 ，
解得 x=8 或 x=-2 ，
故答案为：8或 -2 ；③由题意，分以下三种情况：（ⅰ）当 x<-3 时， |x-2|+|x+3|=2-x-x-3=-2x-1 ，
则 -2x-1=7 ，解得 x=-4 ；（ⅱ）当 -3≤x≤2 时， |x-2|+|x+3|=2-x+x+3=5 ，
则 |x-2|+|x+3|=7 无解；（ⅲ）当 x>2 时， |x-2|+|x+3|=x-2+x+3=2x+1 ，
则 2x+1=7 ，解得 x=3 ；
综上， x 的值是 -4 或3，
故答案为： -4 或3；
20. （1）4
（2）解：①老鼠在移动过程中与点A之间的距离为：7﹣t，
小猫在移动过程中与点A之间的距离为：12﹣2t
②小猫逮住老鼠时的“位置”恰好在 ????? ， 求时间t.
原点
解：（1）根据相反数的意义，可知“原点”到两点的距离分别为：（10+2）÷2＝6，
∴“原点”表示的数为：﹣2+6＝4，
故答案为：4；（2）②根据题意，得：7﹣t＝12﹣2t，
解得：t＝5，
此时小猫逮到老鼠的位置是：5﹣5＝0，即在原点，
故答案为：原点.
21. 解： ∵ m ， n 互为相反数，且 m≠n ∴ m+n=0 ，n≠0，
∵ ? p ， q 互为倒数 ∴ pq=1
∵ 表示数 a 的点距原点的距离恰为 6 个单位长度 ∴ a=6 或 -6
当 a=6 时，原式= 0+2×1-12×6-(-1)=0
当 a=-6 时，原式= 0+2×1-12×(-6)-(-1)=6
22. （1）G；-4或-16
（2）解：根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，
第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，

当MP=2PN时，酬N=3，点P对应的数为2-3=-1，因此t=1.5秒；
第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，

当2PM=PN时，NP=6，点P对应的数为2-6=-4，因此t=3秒
第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，

当PN=2MN时，NP=18，点P对应的数为2-18=-16，因此t=9秒
第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4，

当M=2N时，NP=27，点P对应的数为2-27=-25，因此t=13.5秒
第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5，

当MN=2MP时，NP=135，点P对应的数为2-13.5=-1.5，因此t=6.75秒；
第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M，N左侧，如图6，

当MN=时，NP=45，点P对应的数为2-4.5=-2.5，因此t=2.25秒；
综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5
23. （1）-9和7
（2）212；2 或 225 或 315 或 345 秒
解：（1）∵ AB ＝AO＋OC＋CB=|-8|+2+6=14，
?而 TA ＋ TB ＝16 >AB
∴T不在AB内，
设T表示的数为x，
当T在点A的左侧时， TA+TB=TA+TA+AB=(-8-x)+(-8-x)+14=16
解得，x=-9；
当T在点B的右侧时， TA+TB=AB+TB+TB=14+(x-6)+(x-6)=16
解得，x=7
故答案为：-9或7；
（2）①∵AO=8，
∴点P从A到O所需时间为： t1=AO2=82=4 （秒）
∵OC=2
∴点P从O到C所需时间为： t1=OC2×12=21=2 （秒）
返回时，
点P从C到O所需时间为： t3=CO2×2=24=12 （秒）
点P从O到A所需时间为： t4=t1=4 （秒）
∴点P运动的总时间 t=t1+t2+t3+t4=212 （秒）
故点P在 212 秒时回到了点A；
②(i)当点P在AO上，点Q在BC上时，
PQ=PO+OC+CQ=(8-2t)+2+(4-t)=14-3t ?
PO=8-2t ?
∵ PQ=2PO
∴ 14-3t=(8-t)
解得， t=2
(ii)当P在OC上，设P过AO，Q是过BC的4秒之后，时间为 t' ，
a）当 OP+QC=OC ，即 t'+2t'=2 ，即 t'=23 时，P、Q相遇，
PQ=OC-OP-QC=2-t'-2t' ， PO=t'
由 PQ=2PO 得： 2-t'-2t'=t'
解得， t'=23
∴ t=4+25=225 ；
b）当Q 到达点O时，点P刚到OC的中点，并继续向上走2-1=1（秒）
PQ=OP+OQ=t'+(t'-1)， ， PO=t'
由 PQ=2PO 得： 2t'-1=2t' ，此时无解；
c）当Q在OA上，P在OC向下移动时，
PQ=OQ+OP=(t'-1)+[2-2×2(t'-2)] ， PO=2-2×2(t'-2)
由 PQ=2PO 得： (t'-1)+[2-2×2(t'-2)]=2[2-2×2(t'-2)] ，
解得， t'=115 ，此时， t=4+t'=315 （秒）
iii)当点P重新回到OA上，设P回到O点后运动时间为 t″ ，在 t″ 之间，点P、Q已经运动了 4+2+12=132 （秒）
此时，Q在OA上走了 132-4-1=32 （秒），即 OQ=32×1=32
1) PQ=OQ-OP=(32+t″)-2t″， PO=2t″
由 PQ=2PO 得： (32+t″)-2t″=2t″
解得， t″=310 ，此时， t=132+310=345 （秒）
2）当P在Q右侧，超过Q后， PQ=OP-OQ=2t″-(32+t″)，OP=2t″
由 PQ=2PO 得： 2t″-(32+t″)=4t″
解得， t″=-12 （舍去）
综上所述，当 t=2 或 225 或 315 或 345 秒时， PQ=2PO .
24. （1）如图所示，AB中点表示的数是 1 ，即点P对应的数是1；
（2）解：设存在点 P ，使 P 到 A 、 B 距离和为 5 .
①当 P1<-1 时，有： -1-P1+3-P1=5 ， P1=-112 .
②当 P2>3 时，有： P2-3+P2-(-1)=5 ， P2=312
∴ 存在 P1(x=-112) 和 P2(x=312) 能使条件成立.
（3）解：设t分后 P 到 A 、 B 距离相等
①
当 A 在左， B 在右时，
P' ： 0-t . A' ： -1-5t . B' ： 3-20t
有 B'P'=P'A' ∴3-20t-(0-t)=0-t-(-1-5t)
t=223 .
②
当 B 在左， A 在右 ∵VP∴P 不可能出现.舍弃；
③当 A' 与 B' 重合时，也符合情况，
即： -1-5t = 3-20t ，
解得： t=415
∴ 综上所述，经过 223 或 415 分钟 P 到 A 、 B 距离相等.
25.（1）-12；12
（2）解：当点P在OB之间时，则 OP=2t ， PA=12+2t ， PB=12-2t
∵PA=2PB
∴12+2t=2(12-2t)
解得 t=2
当点P在B点右侧时，则 OP=2t ， PA=12+2t ， PB=2t-12
同理可得： 12+2t=2(2t-12)
解得 t=18
所以当 t=2 或 t=18 时 PA=2PB
（3）解： ∵ P点向右运动，N点向左运动，且N的速度大于M，
∴ 点P和点N相遇前 PM≠PN
∵ P点的速度为2，N点的速度为4，OB=12
设点P点N在 t1 秒后相遇
∴2t1+4t1=12
∴t1=2
∴ 点P和点N相遇 2s 后相遇，相遇处对应的数为4，此时M点所对应的数为-6，则PM的长为10，
设 t2 秒后， PM=PN ，
则可列方程为 10-3t2-2t2=4t2+2t2 ，
解得 t2=1011
∴t=t1+t2=2+1011=3211
∵ 点P和点N相遇后，点P与点N以原速度向相反的方向运动，此时 PM=10
∴ 设点P点M在 t3 秒后相遇
∴3t3+2t3=10
解得 t3=2
∴ 再过 2s ，点P和点M相遇与点O，则此时点N在12处，
设 t4 后， PM=PN ，
则可列方程为 2t4+3t4=12+4t4-2t4
解得 t4=4
∴t=t1+t3+t4=2+2+4=8
所以当 t=3211 或 t=8 时 PM=PN
解：（1）若AB=24，则OA+OB=24，
∵ A、B点对应的数互为相反数 ∴OA=OB ∴OA=OB=12
∵ 点A在原点的左侧，则点B在原点的右侧
∴ A点对应的数为 -12 ，B点对应的数为 12
故答案为：-12,12；