2021-2022学年浙教新版八年级上册数学《第1章 三角形的初步认识》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年浙教新版八年级上册数学《第1章
三角形的初步认识》单元测试卷
一．选择题
1．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，△ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，则结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（　　）
A．①、②都正确
B．①、②都不正确
C．①正确②不正确
D．①不正确，②正确
3．如图，在正方形ABCD中，BD＝2，∠DCE是正方形ABCD的外角，P是∠DCE的角平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于（　　）
A．1
B．1.5
C．2
D．2.5
4．下列各组线段组成一个三角形的是（　　）
A．4cm，6cm，11cm
B．3cm，4cm，5cm
C．4cm，5cm，1cm
D．2cm，3cm，6cm
5．在△ABC中，∠A﹣∠C＝∠B，那么△ABC是（　　）
A．等边三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
6．已知三角形的三个外角的度数比为2：3：4，则它的最大内角的度数为（　　）
A．90°
B．110°
C．100°
D．120°
7．下列图形中，和所给图全等的图形是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，△OCA≌△OBD，AO＝3，CO＝2，则AB的长为（　　）
A．1
B．3
C．4
D．5
9．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（　　）
A．房屋顶支撑架
B．自行车三脚架
C．拉闸门
D．木门上钉一根木条
10．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB＝8，则线段GE的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
11．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝　
　．
12．如图，如果图中的两个三角形全等，根据图中所标数据，可以推理得到∠α＝　
　°．
13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是　
　．
14．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”．如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为　
　．
15．如图为4×4的正方形网格，图中的线段均为格点线段（线段的端点为格点），则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数为　
　．
16．如图，共有　
　个三角形．
17．如图，在△ABC中，D是AB上的一点，且AD＝2BD，E是BC的中点，CD、AE相交于点F．若△EFC的面积为1，则△ABC的面积为　
　．
18．若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足+（b﹣2）2＝0，第三边c为偶数，则c＝　
　．
19．木工师傅在做完门框后为防止变形，常如图所示那样钉上两条斜拉的木板条，这样做的数学依据是　
　．
20．如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的大小是　
　度．
三．解答题
21．已知△ABC的三边长分别为3、5、a，化简|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|．
22．如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．
（1）画出△ABC中边BC上的高AD；
（2）画出△ABC中边AC上的中线BE；
（3）直接写出△ABE的面积为　
　．
23．如图，正方形ABCD中，AB＝2cm，M是CD的中点，点P从M点出发，以1cm/秒的速度沿折线MC﹣CB匀速运动，到B点停止运动，设△ADP的面积为ycm2，点P运动时间为t秒．
（1）点P运动到点C，t＝　
　；点P运动到点B，t＝　
　；
（2）请你用含t的式子表示y．
24．三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是△ABC的重心．求证：AD＝3GD．
25．一个三角形有两条边相等，周长为20cm，三角形的一边长6cm，求其他两边长．
26．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠1的度数．
27．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
故选：C．
2．解：AD是三角形ABC的角平分线，
则是∠BAC的角平分线，
所以AO是△ABE的角平分线，故①正确；
BE是三角形ABC的中线，
则E是AC是中点，而O不一定是AD的中点，故②错误．
故选：C．
3．解：过C点作CG⊥BD于G，
∵CF是∠DCE的平分线，
∴∠FCE＝45°，
∵∠DBC＝45°，
∴CF∥BD，
∴CG等于△PBD的高，
∵BD＝2，
∴CG＝1，
△PBD的面积等于＝1．故选A．
4．解：A、4+6＜11，不能组成三角形；
B、3+4＞5，能组成三角形；
C、1+4＝5，不能够组成三角形；
D、2+3＜6，不能组成三角形．
故选：B．
5．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C+∠B＝180°﹣∠A，
而∠A﹣∠C＝∠B，
∴∠C+∠B＝∠A，
∴180°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
故选：D．
6．解：设三个外角的度数分别为2k，3k，4k，
根据三角形外角和定理，可知2k°+3k°+4k°＝360°，得k＝40°，
所以最小的外角为2k＝80°，
故最大的内角为180°﹣80°＝100°．
故选：C．
7．解；如图所示：和左图全等的图形是选项D．
故选：D．
8．解：∵△OCA≌△OBD，
∴CO＝BO＝2，
∴AB＝AO+BO＝2+3＝5，
故选：D．
9．解：伸缩的拉闸门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D都是利用了三角形的稳定性，
故选：C．
10．解：延长AG交BC于D，如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴CD＝BD＝BC＝4，AG＝2GD，
∵GE⊥AC，
∴∠AEG＝90°，
而∠C＝90°，
∴GE∥CD，
∴△AEG∽△ACD，
∴＝＝＝，
∴EG＝CD＝×4＝．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠EAD+∠2，
∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝30°﹣20°＝10°，
Rt△ABD中，∠B＝90°﹣∠BAD
＝90°﹣30°﹣10°＝50°．
故答案为50°．
12．解：∵图中的两个三角形全等，
∴∠α＝68°．
故答案为68．
13．解：∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ABC＝12．
∵CE是△ABD的中线，
∴S△ABE＝S△ABD＝6．
故答案为：6
14．解：当108°的角是另一个内角的3倍时，最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，
当180°﹣108°＝72°的角是另一个内角的3倍时，最小角为72°÷（1+3）＝18°，
因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为36°或18°．
故答案为：18°或36°．
15．解：在图中标上字母，如图所示．
∵四边形ABCD为4×4的正方形，
∴∠3＝45°．
∵四边形ANPE为1×1的正方形，
∴AE＝AN．
∵四边形CDEF和四边形BCMN均为4×3的长方形，
∴CE＝CN．
在△ACE和△ACN中，，
∴△ACE≌△ACN（SSS），
∴∠AEC＝∠ANC，
∴∠2+∠4+90°＝180°，
∴∠2与∠4互余．
同理可得：∠1与∠5互余．
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝（∠1+∠5）+（∠2+∠4）+∠3＝90°+90°+45°＝225°．
故答案为：225°．
16．解：图中有：△OAB，△OAC，△OAD，△OBC，△OCD，△OBD，共6个．
故答案为：6．
17．解：连接BF，如图，
∵AE为中线，
∴S△ABE＝S△ACE，S△BEF＝S△CEF＝1，
∴S△ABF＝S△ACF，
设△BDF的面积为S，则△ADF的面积为2S，△ACF的面积为3S，
∵S△ADC＝2S△BCD，
∴2S+3S＝2（S+1+1），解得S＝，
∴△ABC的面积＝2S+3S+S+1+1＝6S+2＝6×+2＝10．
故答案为10．
18．解：∵a、b满足+（b﹣2）2＝0，
∴a＝10，b＝2，
∵a、b、c为三角形的三边，
∴8＜c＜12，
∵第三边c为偶数，
∴c＝10．
故答案为：10．
19．解：木工师傅在做完门框后为防止变形，常如图所示那样钉上两条斜拉的木板条，这样做的数学依据是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
20．解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠ACD＝60°+40°＝100°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD＝50°，
故答案为：50．
三．解答题
21．解：∵△ABC的三边长分别为3、5、a，
∴5﹣3＜a＜3+5，
解得：2＜a＜8，
故|a+1|﹣|a﹣8|﹣2|a﹣2|
＝a+1﹣（8﹣a）﹣2（a﹣2）
＝a+1﹣8+a﹣2a+4
＝﹣3．
22．解：（1）如图所示，线段AD即为所求；
（2）如图所示，线段BE即为所求；
（3）S△ABC＝BC?AD＝4×4＝8．
∴△ABE的面积＝S△ABC＝4，
故答案为：4．
23．解：（1）∵正方形ABCD中，AB＝2cm，
∴CD＝AB＝BC＝AD＝2cm，
∵M是CD的中点，
∴MC＝1cm，
∵点P从M点出发，以1cm/秒的速度沿折线MC﹣CB匀速运动，
∴点P运动到点C，t＝1，点P运动到点B，t＝3，
故答案为1；3；
（2）设△ADP的面积为ycm2，点P运动时间为t秒，
当P在MC上时，y＝?DP＝＝t+1（0≤t＜1）；
当P在BC上时，y＝AD?DC＝＝2（1≤t≤3）．
综上，y＝．
24．证明：连接DE，
∵点G是△ABC的重心，
∴点E和点D分别是AB和BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC且DE＝AC，
∴△DEG∽△ACG，
∴，
∴，
∴，
∴AD＝3DG，
即AD＝3GD．
25．解：（1）当6是腰时，底边＝20﹣6×2＝8cm，即其它两边是6cm，8cm，此时6+6＝12，能构成三角形；
（2）当6是底边时，腰＝（20﹣6）÷2＝7cm，此时能构成三角形，所以其它两边是7cm、7cm．
因此其它两边长分别为7cm，7cm，
综上所述两边长分别为6cm，8cm或7cm，7cm．
26．（1）证明：∵FG∥AE，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥CD．
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D＝180°，
∵∠D＝100°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D＝80°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠4＝∠ABD＝40°，
∵FG⊥BC，
∴∠1+∠4＝90°，
∴∠1＝90°﹣40°＝50°．
27．（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）
＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝（180°+∠A）
＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+∠MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．