中小学教育资源及组卷应用平台
3.1圆（2）
学案
课题
3.1圆（2）
单元
第二单元
学科
数学
年级
九年级上册
学习目标
1．掌握确定圆的条件；2．理解三角形的外接圆、圆的内接三角形，内心等概念；3．会确定一个圆的圆心．
重点
掌握不在同一直线上的三个点确定一个圆这个结论，并能过不在同一直线上的三个点作圆的方法.理解三角形外心的性质.
难点
过不在同一直线上的三个点作圆的方法.
教学过程
导入新课
【引入思考】
问题：你有什么方法使得“破镜重圆”呢？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)类比确定直线的条件:经过一点可以作无数条直线；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
经过两点只能作一条直线.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)想一想经过一点可以作几个圆?经过两点,三点,…,呢？
新知讲解
探索经过两个已知点A、B能确定一个圆吗?
。问题：经过两个已知点A、B所作的圆的圆心在怎样的一条直线上?
。共
同
探
究经过三个点一定能作出一圆吗？
（1）若已知的三个点在同一条直线上，能作出一个圆吗？（2）若已知的三个点不在同一条直线上，能作出一个圆吗？若一个圆过A、B、C三点，如图所示：(1)圆心O到A、B、C三点距离__________(填“相等”或”不相等”)．(2)过结AB、AC，过O点分别作直线MN⊥AB，
EF⊥AC，则MN是AB的__________
；EF是AC的__________
．已知：不在同一直线上的三点A，B，C，求作：⊙O使它经过点A，B，C．提炼概念定理
不在一条直线上的三个点确定一个圆.三角形的外接圆三角形的外接圆定义：
.如图：⊙O是△ABC的
，
△ABC是⊙O的
，点O是△ABC的
。外心是△ABC
的交点，它到三角形的三个顶点的
相等.典例精讲
例2、已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A,B,C的圆．
练一练：画出以下三角形外接圆．
课堂练习
巩固训练1.下列说法正确的是
(
)A．经过三个点一定可以作圆B．任意一个圆一定有内接三角形，并且只有一个内接三角形C．任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆D．三角形的外心到三角形各边的距离都相等2.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（
）A.第①块
B.第②块
C.第③块
D.第④块如图，A，B，C表示三个工厂，要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置.4.平面上有4个点，它们不在一条直线上，但有3个点在同一条直线上，问过其中3个点作圆，可以作出几个圆？请说明理由，并作出图形．答案引入思考它们的圆心都在线段AB的中垂线上。
相等，中垂线，中垂线作法：1、连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；
3、以O为圆心，OB为半径作圆．所以⊙O就是所求作的圆．提炼概念定义：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，
△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.多边形的顶点与圆的位置关系称为接.典例精讲
例2
作法：1．作线段AB的垂直平分线MN；2．作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；3．连接OB．4．以O为圆心，OB为半径作圆．⊙O就是所求作的圆．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)练一练：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.巩固训练1.答案：C2.答案：A3.解：连接AB，BC，分别作AB，BC的线段垂直平分线，垂直平分线的交点即为供水站的位置.如图：4.解：可以作3个圆，根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”．三个圆分别是过点A,B,D；A,C,D和B,C,D如图.
课堂小结
小
结(1)只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定．(2)经过一个已知点能作无数个圆．(3)经过两个已知点A,B能作无数个圆！这些圆的圆心在线段AB的中垂线上．(4)不在同一直线上的三个点确定一个圆．(5)外接圆,外心的概念．
A
C
B
A
B
B
④
③
②
①
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共20张PPT)
3.1圆（2)
浙教版
九年级上
新知导入
情境引入
问题：
你有什么方法使得“破镜重圆”呢？
类比确定直线的条件:
经过一点可以作无数条直线；
经过两点只能作一条直线.
●A
●B
●A
经过一个已知点能作无数个圆！
A
经过一个已知点A能确定一个圆吗？
想一想
经过两个已知点A，B能确定一个圆吗?
经过两个已知点A、B能作无数个圆
探索
经过两个已知点A、B所作的圆的圆心在怎样的一条直线上?
●A
●B
●O
●O
●O
●O
它们的圆心都在线段AB的中垂线上.
经过三个点一定能作出一圆吗？
（1）若已知的三个点在同一条直线上，能作出一个圆吗？
A
C
B
（2）若已知的三个点不在同一条直线上，能作出一个圆吗？
A
C
B
共
同
探
究
合作学习
若一个圆过A、B、C三点，如图所示：
（1）圆心O到A、B、C三点距离__________（填“相等”或”不相等”）．
（2）过结AB、AC，过O点分别作直线MN⊥AB，
EF⊥AC，则MN是AB的__________
；
EF是AC的__________
．
相等
中垂线
中垂线
那么已知有不在同一直线上的三个点如何画出一个圆呢？
O
N
M
F
E
A
B
C
已知：不在同一直线上的三点A，B，C，
求作：⊙O使它经过点A，B，C．
作法：
1、连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；
2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；
3、以O为圆心，OB为半径作圆．
所以⊙O就是所求作的圆．
不在同一直线上的三点确定一个圆．
O
N
M
F
E
A
B
C
提炼概念
三点定圆
定理
不在一条直线上的三个点确定一个圆.
∵直线ED和FG只有一个交点O,并且点O到A,B,C三个点的距离相等,
∴经过点A,B,C三点可以作一个圆,并且只能作一个圆.
根据作圆的方法，分别作两点连线的垂直平分线，交于一点，而三点共线的情况，任意两条垂直平分线都不可能相交，所以在同一条直线的三点不能作圆。
典例精讲
新知讲解
现在你知道了怎样要将一个如图所示的破碎的镜子复原了吗？
方法：
1．在圆弧上任取三点A、B、C．
2．作线段AB、BC的垂直平分线，其交点O即为圆心．
3．以点O为圆心，OC长为半径作圆．
⊙O即为所求．
A
B
C
O
例2
已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A,B,C的圆．
定义：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.
如图：⊙O是△ABC的外接圆，
△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.
外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.
C
A
B
O
三角形的外接圆
多边形的顶点与圆的位置关系称为接.
分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的外接圆,并说明与它们外心的位置情况
练一练
A
B
C
●O
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.
1.下列说法正确的是
(
)
A．经过三个点一定可以作圆
B．任意一个圆一定有内接三角形，并且只有一个内接三角形
C．任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆
D．三角形的外心到三角形各边的距离都相等
C
【解析】
过同一直线上的三点不能作圆，故A不正确；一个圆有无数多个内接三角形，故B不正确；三角形的外心是其三边垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三个顶点的距离相等，故D不正确．
课堂练习
④
③
②
①
A.第①块
B.第②块
C.第③块
D.第④块
A
2.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（
）
3.如图，A，B，C表示三个工厂，要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置.
解：连接AB，BC，分别作AB，BC的线段垂直平分线，垂直平分线的交点即为供水站的位置.
如图：
4.平面上有4个点，它们不在一条直线上，但有3个点在同一条直线上，问过其中3个点作圆，可以作出几个圆？请说明理由，并作出图形．
解：可以作3个圆，根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”．三个圆分别是过点
A,B,D；A,C,D和B,C,D如图.
课堂小结
小
结
(1)只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定．
(2)经过一个已知点能作无数个圆．
(3)经过两个已知点A,B能作无数个圆！这些圆的圆心在线段AB的中垂线上．
(4)不在同一直线上的三个点确定一个圆．
(5)外接圆,外心的概念．
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
3.1圆（2）
教案
课题
3.1圆（2）
单元
第二单元
学科
数学
年级
九年级（上）
学习目标
1．掌握确定圆的条件；2．理解三角形的外接圆、圆的内接三角形，内心等概念；3．会确定一个圆的圆心．
重点
掌握不在同一直线上的三个点确定一个圆这个结论，并能过不在同一直线上的三个点作圆的方法.理解三角形外心的性质.
难点
过不在同一直线上的三个点作圆的方法.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
创设情景，引出课题问题：你有什么方法使得“破镜重圆”呢？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)类比确定直线的条件:经过一点可以作无数条直线；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
经过两点只能作一条直线.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)想一想经过一点可以作几个圆?经过两点,三点,…,呢？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)探索经过两个已知点A、B能确定一个圆吗?经过两个已知点A、B能作无数个圆
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)问题：经过两个已知点A、B所作的圆的圆心在怎样的一条直线上?它们的圆心都在线段AB的中垂线上。共
同
探
究经过三个点一定能作出一圆吗？
（1）若已知的三个点在同一条直线上，能作出一个圆吗？若已知的三个点不在同一条直线上，能作出一个圆吗？
若一个圆过A、B、C三点，如图所示：(1)圆心O到A、B、C三点距离__________(填“相等”或”不相等”)．(2)过结AB、AC，过O点分别作直线MN⊥AB，
EF⊥AC，则MN是AB的__________
；EF是AC的__________
．相等，中垂线，中垂线思考：经过A、B、C
三个点能不能作圆？如果能，可以作多少个？圆心在什么位置？如果不能，请说明理由．以O为圆心,OA(或OB,或OC)为半径,作⊙O即可.请你证明你做得圆符合要求.证明:∵点O在AB的垂直平分线上，∴OA=OB同理,OB=OC.∴OA=OB=OC∴点A,B,C在以O为圆心的圆上.∴⊙O就是所求作的圆,
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)提炼概念定理
不在一条直线上的三个点确定一个圆.三角形的外接圆定义：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，
△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.多边形的顶点与圆的位置关系称为接.
思考自议
对“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的理解可以从过一个点的圆、过两个点的圆、过三个点的圆作图来理解；
通过实际情境，让学生感受数学来
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)源于生活，数学知识与生活实践密切相关，增加学生的学习、探索兴趣，便于学生以高昂情绪参与探索过程.
讲授新课
典例精讲例2、已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A,B,C的圆．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)作法：1．作线段AB的垂直平分线MN；2．作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；3．连接OB．4．以O为圆心，OB为半径作圆．⊙O就是所求作的圆．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)练一练分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的外接圆,并说明与它们外心的位置情况.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.
1.根据三角形外接圆的定义可以回答出三角形外心到三个顶点的距离相等。2.通过画三角形两边的中垂线的得到交点即为圆心，进而确定半径画出外接圆。
让学生真正“动”、“活”起来，使学生的学习热情高涨，并通过小组讨论交流得出两种不同的作图，使学生初步体会分类讨论的数学思想方法。
课堂检测
四、巩固训练1.下列说法正确的是
(
)A．经过三个点一定可以作圆B．任意一个圆一定有内接三角形，并且只有一个内接三角形C．任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆D．三角形的外心到三角形各边的距离都相等答案：C2.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（
）A.第①块
B.第②块
C.第③块
D.第④块答案：A如图，A，B，C表示三个工厂，要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置.解：连接AB，BC，分别作AB，BC的线段垂直平分线，垂直平分线的交点即为供水站的位置.如图：4.平面上有4个点，它们不在一条直线上，但有3个点在同一条直线上，问过其中3个点作圆，可以作出几个圆？请说明理由，并作出图形．解：可以作3个圆，根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”．三个圆分别是过点A,B,D；A,C,D和B,C,D如图.
课堂小结
小
结(1)只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定．(2)经过一个已知点能作无数个圆．(3)经过两个已知点A,B能作无数个圆！这些圆的圆心在线段AB的中垂线上．(4)不在同一直线上的三个点确定一个圆．(5)外接圆,外心的概念．
A
C
B
C
A
B
O
④
③
②
①
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
