1.5 三角形全等的判定 同步练习（含解析）

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初中数学浙教版八年级上册1.5 三角形全等的判定 同步练习
一、单选题
1.如图，在 和 中， ，添加一个条件，不能证明 和 全等的是（?? ）
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
2.如图，B、E、C、F在同一直线上，BE＝CF，AB∥DE，请你添加一个合适的条件，使△ABC≌△DEF，其中不符合三角形全等的条件是（?? ）
A.?AC＝DF???????????????????????????B.?AB＝DE???????????????????????????C.?∠A＝∠D???????????????????????????D.?∠ACB＝∠F
3.如图，用尺规作图作∠BAC的平分线AD ， 第一步是以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB ， AC于点E ， F；第二步是分别以E ， F为圆心，以大于 EF长为半径画弧，两圆弧交于D点，连接AD ， AD即为所求作，请说明△AFD≌△AED的依据是（??? ）
A.?SSS?????????????????????????????????????B.?SAS?????????????????????????????????????C.?ASA?????????????????????????????????????D.?AAS
4.如图，在 中， ，按以下步骤作图：①以点 为圆心，以小于 的长为半径作弧，分别交 ， 于点 ， ；②分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ；③连接 ，交 于点 ．若 ， ，则 的长为（?? ）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?7
5.如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（? ）
A.?∠ABC＝∠ABD??????????????????B.?∠BAC＝∠BAD??????????????????????C.?AC＝AD??????????????????????D.?AC＝BC
6.下列判定两个等腰三角形全等的方法中，正确的是（? ）
A.?顶角对应相等????????????B.?底边对应相等????????????????C.?两腰对应相等????????????D.?一腰和底边对应相等
7.如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，添加的一组条件错误的是（? ）
A.?BC＝DC，∠A＝∠D????????????????????????????????????????????B.?BC＝EC，AC＝DC
C.?∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACD????????????????????????????????????D.?BC＝EC，∠B＝∠E
8.如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，补充下列一个条件后，不能判断△ABE≌△ACD的是（? ）
A.?∠B＝∠C????????????????????????B.?AD＝AE??????????????????????????C.?∠BDC＝∠CEB??????????????????????????D.?BE＝CD
9.如图，已知 ，以 两点为圆心，大于 的长为半径画圆弧，两弧相交于点 ，连接 与 相交于点 ，则 的周长为（?? ）
A.?8??????????????????????????????????????????B.?9??????????????????????????????????????????C.?11??????????????????????????????????????????D.?13
10.已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，下列条件中，不一定能得到△ABC≌△A′B′C′的是（　　）
A.?BC＝B'C'????????????????????????B.?∠A＝∠A′???????????????????????C.?∠C＝∠C′????????????????????????D.?∠B＝∠B′＝90°
11.小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：
已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．
作法：
⑴如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
⑵画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
⑶以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；
⑷过点D'画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
小聪作法正确的理由是（? ）
A.?由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
B.?由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
C.?由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
D.?由“等边对等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB
12.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC＝4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（? ）
A.?13?????????????????????????????????????????B.?15?????????????????????????????????????????C.?17?????????????????????????????????????????D.?19
13.如图，AE∥DF ， AE＝DF ， 要使△EAC≌△FDB ， 需要添加下列选项中的（?? ）
A.?AB＝CD?????????????????????????????B.?EC＝BF?????????????????????????????C.?∠A＝∠D?????????????????????????????D.?AB＝BC
14.如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（?? ）
A.?BD=CD???????????????????B.?AB=AC???????????????????C.?∠B=∠C?????????????????D.?∠BDA=∠CDA
15.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是(? )
A.?一个锐角和斜边对应相等????????????????????????????????????B.?两条直角边对应相等
C.?两个锐角对应相等??????????????????????????????????????????????D.?斜边和一直角边对应相等
二、填空题
16.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是________.
17.在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线．若添加一个条件：________，则△ABD≌△ACD．
18.如图，直线l为线段 的垂直平分线，垂足为C ， 直线l上的两点E ， F位于 异侧（E ， F两点不与点C重合）．只需添加一个条件即可证明 ，这个条件可以是________．
19.如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD=BE ， AC=EF ， 要使△ABC≌△EDF ， 只需添加一个条件，这个条件可以是________ ．
20.如图，点A，F，C，D在同一条直线上， ， ，请你添加一个条件________，使得 ．
21.如图， ，只需添加一个条件即可证明 ，这个条件可以是________（写出一个即可）
22.如图，点 ， ， 在同一条直线上， ，请你只添加一个条件，使得 ．你添加的条件是________．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
23.如图，在 和 中， ， ，只需添加一个条件即可证明 ，这个条件可以是________（写出一个即可）.
24.如图， 平分 ，点B在射线 上，若使 ，则还需添加的一个条件是________（只填一个即可）．
25.如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于________ cm．
三、计算题
26.如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．

27.如图，∠C=∠D=90°，DA=CB，∠CBA=28°，求∠DAC．
28.如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．
四、解答题（共1题；共5分）
29.如图，已知 平分 ， ．求证： ．
五、综合题
30.如图，点A，E，F在直线l上， ， .
（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使 ，你添加的条件是________；
（2）添加了条件后，证明 .
答案解析部分
一、单选题
1. B
考点：三角形全等的判定
解：选项A，添加 ，
在 和 中，
?，
∴ ≌ （ASA），
选项B，添加 ，
在 和 中， ， ， ，无法证明 ≌ ；
选项C，添加 ，
在 和 中，
?，
∴ ≌ （SAS）；
选项D，添加 ，
在 和 中，
?，
∴ ≌ （AAS）；
综上，只有选项B符合题意.
故答案为：B.
感悟：由图形可知：隐含条件为BC=CB，已知了∠ACB=∠DBC，可以添加另一组对应角相等或添加边AC=DB，再对各选项逐一判断.
2. A
考点：三角形全等的判定
解： ，
，
，
，即 ，
当 时，满足 ，无法判定 ，故A选项符合题意；
当 时，满足 ，可以判定 ，故B选项不合题意；
当 时，满足 ，可以判定 ，故C选项不合题意；
当 时，满足 ，可以判定 ，故D选项不合题意；
故答案为：A.
感悟：根据全等三角形的判定方法逐项判断即可.
3. A
考点：三角形全等的判定
解：由作法得AE＝AF ， DF＝DE ，
而AD为公共边，
所以根据“SSS”可判断△AFD≌△AED ．
故答案为：A ．

感悟：利用基本作图得到AE＝AF ， DF＝DE ， 再根据全等三角形的判定方法进行判断。
4. C
考点：角平分线的性质
解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E ，
由作图知AP平分∠BAC ，
∵∠C=∠AED=90°，
∴CD=DE=3，
∵BD=5，
∴BE=4，
∵AD=AD ， CD=DE ，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE ，
设AC=AE=x ，
由AC2+BC2=AB2得x2+82=（x+4）2 ，
解得：x=6，即AC=6，
故答案为：C．
感悟：作DE⊥AB ， 由作图知AP平分∠BAC ， 依据∠C=∠AED=90°知CD=DE=3，结合BD=5知BE=4，再证Rt△ACD≌Rt△AED得AC=AE ， 设AC=AE=x ， 由AC2+BC2=AB2得x2+82=（x+4）2 ， 解之可得答案．
5. C
考点：三角形全等的判定
解：A．∵∠ABC＝∠ABD，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），故本选项不符合题意；
B．∵∠BAC＝∠BAD，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），故本选项不符合题意；
C．∵∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，AC＝AD，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故本选项符合题意；
D．根据∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，AC＝BC不能推出Rt△ABC≌Rt△ABD，故本选项不符合题意；
故答案为：C．

感悟：利用“HL”证明三角形全等的方法逐项判定即可。
6. D
考点：三角形全等的判定
解：A、顶角对应相等的两个等腰三角形是AAA，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项不符合题意；
B、只有底边相等，别的边，角均不确定，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项不符合题意；
C、两腰对应相等，第三边不一定对应相等，不符合全等的条件，故不能判定两三角形全等，故本选项不符合题意；
D、一腰和底边对应相等，相当于两腰和底边对应相等，利用SSS可以证得两个等腰三角形全等，故本选项符合题意．
故答案为：D．
感悟：根据全等三角形的判定定理求解即可。
7. A
考点：三角形全等的判定
解：A．AB＝DE，BC＝DC，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEC，故本选项符合题意；
B．AC＝DC，AB＝DE，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
C．∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
即∠ACB＝∠DCE，
∵∠B＝∠E，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEC（AAS），故本选项不符合题意；
D．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
感悟：利用三角形全等的判定方法逐项判定即可。
8. D
考点：三角形全等的判定
解：A、根据ASA即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
B、根据SAS即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
C、根据AAS或ASA即可证明三角形全等，本选项不符合题意．
D、SSA不能判定三角形全等，本选项符合题意．
故答案为：D．
感悟：利用全等三角形的判定方法进行求解即可。
9. A
考点：线段垂直平分线的性质
解：由作法得 垂直平分
（线段垂直平分线的定义），
的周长 ，
故答案为：:A.
感悟：利用线段垂直平分线的性质可证得DA=DB，再证明△BDC的周长=AC+BC，然后代入计算.
10. C
考点：三角形全等的判定
解：A、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B'C'可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSS），不符合题意．
B、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠A＝∠A′可以判定△ABC≌△A′B′C′（SAS），不符合题意．
C、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′不可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSA），符合题意．
D、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠B＝∠B′＝90°可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL），不符合题意．
故答案为：C ．
感悟：三角形的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形），据此逐一判断即可.
11. A
考点：三角形全等的判定
解：由作图得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
则根据“SSS”可判断△C′O′D′≌△COD．
故答案为：A．
感悟：根据作图过程可知OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，然后根据全等三角形的判定方法即可解答．
12. B
考点：线段垂直平分线的性质
∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，AC=2EC=8，
∵C△ABC=AC+BC+AB=23，
∴AB+BC=23-8=15，
∴C△ABD=AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=15.
故答案为：B.
感悟：先求出AD=CD，AC=2EC=8，再求出AB+BC=15，最后求周长即可。
13. A
考点：三角形全等的判定
解：∵AE∥DF，
∴∠A=∠D，
添加AB=CD时，可得AC= DB，
在△AEC和△DFB中,
∴ ，
△AEC≌△DFB(SAS），
而添加EC=BF或∠A=∠D或AB=BC时，不能判定△EAC丰OFDB.
感悟：若已知一边和一角对应相等，则找这个角另一边相等，则添加AB=CD时，可得AC=DB，利用边角边定理判定△AEC≌△DFB．
14. A
考点：三角形全等的判定
解：A、当BD=CD，AD=AD，∠1=∠2时，SSA不能证明 △ABD≌△ACD ，故A符合题意；
B、在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD（SAS）故B不符合题意；
C、在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD（AAS）故C不符合题意；
D、在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD（ASA）故D不符合题意；
故答案为：A.
感悟：图形中的隐含条件是：AD=AD；利用SSA不能证明两三角形全等，可对A作出判断，利用SAS，AAS，ASA可证明两三角形全等，可对B，C，D作出判断.
15. C
考点：三角形全等的判定
解：A、一个锐角和斜边对应相等，符合AAS的全等判定条件，故此选项不符合题意；
B、两条直角边对应相等，符合SAS的全等判定条件，故此选项不符合题意；
C、两个锐角对应相等，全等三角形的判定必须有边的参与，故此选项符合题意；
D、斜边和一条直角边对应相等，符合HL的全等判定条件，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
感悟：利用全等三角形的判断方法，对各选项逐一判断.
二、填空题
16. 12
考点：线段垂直平分线的性质
解：∵直线DE垂直平分BC，
∴ ，
∴△ABD的周长 ，
故答案为：12.
感悟：利用线段垂直平分线的性质可证得DB=DC，由此可证得△ABD的周长就是AB+AC的值.
17.
考点：三角形全等的判定
当AD⊥BC时，∠ADB=∠ADC=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD，
故答案为：AD⊥BC．
感悟：先求出∠BAD=∠CAD，再利用SAS证明△ABD≌△ACD即可。
18. CE=CF
考点：三角形全等的判定
证明：添加： ，理由如下：
∵直线l为线段 的垂直平分线
∴AC=CB,∠ACE=∠BCF
又
∴ （SAS）
故答案为：CE=CF

感悟：符合全等三角形的判定定理即可。
19. ∠A=∠E
考点：三角形全等的判定
解：增加一个条件：∠A=∠E ，
∵AD=BE ，
∴AB=DE ，
在△ABC和△FDE中， ，
∴△ABC≌△EDF(SAS)．
故答案为：∠A=∠E（答案不唯一）．

感悟：利用三角形的判定方法求解即可。
20. 或 或 （答案不唯一）
考点：三角形全等的判定
解： ，
，
若添加 ，且 ，由“ ”可证 ；
若添加 ，且 ，由“ ”可证 ；
若添加 ，且 ，由“ ”可证 ；
故答案为： 或 或 （答案不唯一）．
感悟：由全等三角形的判定定理可求解．
21. AD=BC或∠D=∠C或∠DBA=∠CAB等（答案不唯一，填一个即可）
考点：三角形全等的判定
解：添加AD=BC ， 可用SAS判断 ；
添加∠D=∠C ， 可用AAS判断 ；
添加∠DBA=∠CAB ， 可用ASA判断 ；
故答案为：AD=BC或∠D=∠C或∠DBA=∠CAB等（答案不唯一，填一个即可）．
感悟：根据三角形全等的判定定理，添加边相等或角相等即可．
22. DA=BC
考点：三角形全等的判定
解：添加条件为：DA=BC
∵∠DBE=∠A=∠C=90°，
∴∠D+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=90°，
∴∠D=∠CBE，
在△DAB和△BCE中

∴△DAB≌△BCE（AAS）
故答案为：DA=BC.
感悟：利用余角的性质可证得∠D=∠CBE，有两组对应角相等，由此只需添加三组对应边中的任意一组对应边相等，都可得到△DAB≌△BCE.
23. （答案不唯一）
考点：三角形全等的判定
解：在 与 中，
= ，AC=AC，
若 ，
则由AAS可得 ．
故答案为： （答案不唯一）．
感悟：利用全等三角形的判定方法求解即可。
24. AC=AD或 或
考点：三角形全等的判定
解：因为AE平分∠CAD，
所以∠CAB=∠DAB，
又∵AB=AB，
已具备一边一角，
从边上考虑，只能添加AC=AD，
在△ABC和△ABD中，
，
，
从角上考虑，可添加 或 ，
添加
在△ABC和△ABD中，
，
，
添加 ，
在△ABC和△ABD中，
，
，
故答案为：AC=AD或 或 ．
感悟：利用全等三角形的判定方法求解即可。
25. 10
考点：线段垂直平分线的性质
解：∵AB的垂直平分线交AB于点D
∴AE＝BE
∴AE+CE＝BE+CE
∵△BCE的周长等于18cm，BC＝8cm
∴BE+CE+BC＝18，
∴AE+CE+BC＝18，
∴AC+BC＝18，
∴AC+8＝18，
∴AC＝10cm
故答案为：10．
感悟：根据垂直平分线的性质可得AE＝BE，再利用三角形的周长计算出AC的长即可。
三、计算题
26. 解：结论：DF=AE．理由：∵AB∥CD，∴∠C=∠B，∵CE=BF，∴CF=BE，∵CD=AB，∴△CDF≌△BAE，∴DF=AE．
考点：全等三角形的判定与性质
感悟：由AB∥CD，可证得∠C=∠B，再由CE=BF，可得出CF=BE，然后利用SAS证明△CDF≌△BAE，根据全等三角形的性质可证得结论。
27. 解：在Rt△ABC和Rt△BAD中， ，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠DAB=∠CBA=28°，
∵∠C=90°，
∴∠BAC=90°﹣∠CBA=90°﹣28°=62°，
∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=62°﹣28°=34°
考点：全等三角形的判定与性质
感悟：利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△BAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAB=∠CBA，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC，再根据∠DAC=∠BAC﹣∠DAB代入数据计算即可得解．
28. 解：如图，连接BE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
又∵AC=BC，DC=EC，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，
∵AC=BC=6，
∴AB=6 ，
∵∠BAC=∠CAE=45°，
∴∠BAE=90°，
在Rt△BAE中，AB=6 ，AE=3，
∴BE= = = =9，
∴AD=9．
考点：全等三角形的判定与性质
感悟：连接BE，根据已知条件先证出∠BCE=∠ACD，根据SAS证出△ACD≌△BCE，得出AD=BE，再根据勾股定理求出AB，然后根据∠BAC=∠CAE=45°，求出∠BAE=90°，在Rt△BAE中，根据AB、AE的值，求出BE，从而得出AD．
四、解答题
29. 证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（AAS）．
考点：角平分线的性质
感悟：根据角平分线的性质，结合题意，证明三角形全等即可。
五、综合题
30. （1）∠CAF＝∠DBE
（2）证明：∵AE＝BF，
? ∴AF＝BE，
在△ACF和△BDE中，
，
∴△ACF≌△BDE(SAS) .
考点：三角形全等的判定
感悟：（1）由AE=BF得出AF=BE，添加∠CAF＝∠DBE，根据SAS可证?；
（2）由AE=BF得出AF=BE，添加∠CAF＝∠DBE，根据SAS可证?.
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