2.1 图形的轴对称 同步练习（含解析）

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初中数学浙教版八年级上册2.1 图形的轴对称 同步练习
一、单选题
1.下列平面图形中，不是轴对称图形的是（?? ）
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
2.剪纸是我国最古老的民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（?? ）
A.?????????B.????????????????C.????????????????D.?
3.在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（?? ）
A.??????????????????B.??????????????????C.??????????????D.?
4.下列手机手势解锁图案中，是轴对称图形的是（?? )
A.?????????????????????B.?????????????????????C.??????????????????D.?
5.下面的轴对称图形中,只能画出一条对称轴的是(?????? )
A.?长方形???????????????????????????B.?等腰直角三角形???????????????????????????C.?等边三角形??????????????????????????D.?圆
6.长方形的对称轴有（? ?）
A.?2条?????????????????????????????????????B.?4条?????????????????????????????????????C.?6条?????????????????????????????????????D.?无数条
7.正五角星的对称轴是（????）
A.?1条??????????????????????????????????????B.?2条??????????????????????????????????????C.?5条??????????????????????????????????????D.?10条
8.下列图形中，不是轴对称图形的是 （??）
A.?一条线段????????????????????????????????????????????????????????????B.?两条相交直线
C.?有公共端点的两条相等的线段?????????????????????????????D.?有公共端点的两条不相等的线段
9.在0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中，符合轴对称关系的有（?????）
A.?3个???????????????????????????????????????B.?4个???????????????????????????????????????C.?5个???????????????????????????????????????D.?6个
10.如图，阴影部分是由3个小正方形组成的一个图形，若在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，涂法有（??? ）
A.?2种???????????????????????????????????????B.?3种???????????????????????????????????????C.?4种???????????????????????????????????????D.?5种
二、填空题
11.正五角星形共有________条对称轴.
12.数轴上表示1、 的对应点分别为点A、点B,若点B关于点A的对称点为点C,则点C所表示的数为________.
13.如图，在锐角 中， ，边 上有一定点 分别是 和 边上的动点，当 的周长最小时， 的度数是________.
14.如图的4×4的正方形网格中，有A，B，C，D四点，直线a上求一点P，使PA+PB最短，则点P应选________点（C或D）.
15.如图，在 的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的 为格点三角形，在图中最多能画出________个不同的格点三角形与 成轴对称．
16.如图，在 中， 垂直平分 ，点P为直线 上一动点，则 周长的最小值是________．
17.已知两条互不平行的线段 和 关于直线L对称， 和 所在的直线交于点P，下面四个结论：① ；②点P在直线L上；③若A、 是对应点，则直线L垂直平分线段 ；④若B、 是对应点，则 ，其中正确的是________（填序号）．
18.如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为20，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为________．
19.如图，四边形ABCD中，∠BAD=136°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使三角形AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为________度．
20.如图，在 中，AB=4，AC=6，BC=7，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则 周长的最小值是________.
三、解答题
21.两个大小不同的圆在同平面内可以组成下图的五组图形，请画出每组图形的对称轴，并说一说它们的对称轴有什么共同的特点．
22.已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P ， 在OB边上求作一点Q ， 使得△PMQ的周长最小．
23.如图，∠A=90°，点E为BC上一点，点A与点E关于BD对称，点B与点C关于DE对称，求∠C的度数．
24.如图，已知四边形ABCD和直线l，求作四边形ABCD以直线l为对称轴的对称图形A1B1C1D1 ．
四、综合题
25.某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线 同旁有两个定点A、B，在直线 上存在点P，使得PA十PB的值最小.解法：如图1，作点A关于直线 的对称点A'，连接A'B， 则A'B与直线 的交点即为P，且PA＋PB的最小值为A'B.
请利用上述模型解决下列问题；
（1）如图2，ΔABC中，∠C=90°，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，作出点P，使得PA＋PE的值最小；
（2）如图3，∠AOB=30°，M、N分别为OA、OB上一动点，若OP=5，求ΔPMN的周长的最小值.
答案解析部分
一、单选题
1. A
考点:轴对称图形
解析：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选A．
感悟：根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
2. B
考点:轴对称图形
解析：A、不是轴对称图形，A不符合题意；
B、是轴对称图形，B符合题意；
C、不是轴对称图形，C不符合题意；
D、不是轴对称图形，D不符合题意．
故答案为：B．
感悟：把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形就是轴对称图形。
3. C
考点:轴对称图形
解析：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选C．
感悟：根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
4. A
考点:轴对称图形
解析：根据轴对称图形的定义可知，选项A是轴对称图形。
? 故答案为：A
感悟：根据轴对称图形的定义“平面内，一个图形沿着一条直线折叠 ,直线两旁的部分能够完全重合的图形”逐项判断即可。
5. B
考点:轴对称图形
解析：A、长方形有两条对称轴，不合题意；
B、等腰直角三角形，有1条对称轴，符合题意．
C、等边三角形有3条对称轴，不合题意；
D、圆有无数条对称轴，不合题意.
故答案为：B.
感悟：分别根据每个图形判断其对称轴的数量，得到一条对称轴的即为正确答案。
6. A
考点:轴对称图形
解析：长方形有两条对称轴，故答案为：A
感悟：长方形的对称轴是两条对边的中点所在的直线。
7. C
考点:生活中的轴对称现象，轴对称图形
解析：感悟：根据轴对称图形的定义，再结合正五角星的特点，即可得到结果。
正五角星经过角的顶点和中心点的直线都是它的对称轴，所以有5条对称轴。
故选C.
轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形，这条直线是它的对称轴。
8. D
考点:轴对称图形
解析：感悟：对称图形是该图形的关于一点可以完全对称。A中一条线段的对称点在其中点上；B中，两条直线相交，所以可以构成对称图形；C中两条线段相等且有公共端点，所以构成对称图形；D中因为两条线段不相等，所以构不成对称性。故选D.
本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义，即可完成。
9. B
考点:轴对称图形
解析：感悟：根据轴对称图形的定义，即可分析出可以看成轴对称图形的图形。
由轴对称图形的定义可得0，1，3，8是轴对称图形，共4个。
故选B.
解答本题的根据是掌握好轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。
10. C
考点:轴对称的性质
解析：如图所示：
在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，只要将1，2，3，4处涂黑，都是正确的图形．
故答案为：C ．
感悟：根据轴对称的含义，判断得到答案即可。
二、填空题
11. 5
考点:轴对称的性质
解析：根据对称的性质，过五角星的每个角的顶点都有一条对称轴，
所以五角星有5条对称轴.
故答案为：5.
感悟：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，根据定义即可得出答案.
12.
考点:轴对称的性质
解析：∵表示1，的对应点分别为点A和点B
∴AB=-1
∴点B关于点A的对称点为点C
∴CA=AB
∴点C的坐标为1-（-1）=2-
感悟：根据据题意，求出线段AB的长度，继而根据轴对称的性质，求出AC的长度，计算得到点C的坐标即可。
13. 80°
考点:轴对称的应用-最短距离问题
解析：
∵ PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴ ∠C+∠EPF=180°，
∵∠C=50°，
∵∠D+∠G+∠EPF=180°，
∴ ∠D+∠G=50°，
由对称可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM， L
∴∠GPN+∠DPM=50°，
∴∠MPN=130°-50°=80°，
故答案为：80°.
感悟：过点P作AC的对称点D，过点P作BC的对称点G，连接DG，DG与AC、BC分别相交于点M，N，此时△PMN的周长就是最小的，根据轴对称的性质及四边形的内角和定理可求得∠D+∠G=50°，然后根据对称的性质及等边对等角可得∠GPN+∠DPM=50°，进而求得∠MPN的度数.
14. C
考点:轴对称的应用-最短距离问题
解析：如图，
点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a的交点，即为点P，此时PA+PB最短，
∵A′B与直线a交于点C，
∴点P应选C点.
故答案为：C.
感悟：点A′是点A关于直线a的对称点，连接A′B，则A′B与直线a的交点，即为点P，此时PA+PB最短，据此即得结论.
15. 5
考点:作图﹣轴对称
解析：如图所示：
和 对称，
和 对称，
和 对称，
和 对称，
和 对称，
故答案是：5．
感悟：根据轴对称的定义及网格特点作图即可.
16. 7
考点:轴对称的应用-最短距离问题
解析：∵ 垂直平分 ，
∴B，C关于直线 对称．设 交 于点D，
∴当P和D重合时， 的值最小，最小值等于 AC 的长，
∴ 周长的最小值是 ．
感悟：根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可得到结论．
17. ①②③④
考点:轴对称的性质
解析：由于不平行两直线关于直线Ｌ对称，因此对称轴一定处于交点处，如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称．
这样就得到了以下性质：
①如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
②类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等；
④对称轴是到线段两端距离相等的点的集合．
于是①②③④都符合题意
故答案为：①②③④．
感悟：轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等；据此逐一判断即可.
18. 12
考点:轴对称的应用-最短距离问题
解析：连接 、 ，如图：
∵ 是等腰三角形，点D为 边的中点
∴
∴
∴
∵ 是线段 的垂直平分线
∴点A关于直线 的对称点为点 ，
∴
∴ 的长为 的最小值
∴ 的周长的最小值为 ．
故答案是：
感悟：首先添加辅助线连接 、 ，结合已知条件根据等要三角形的性质、三角形的面积公式求得 的长，再根据垂直平分线的性质、最短路径问题推出结论 的长为 的最小值，由此可得出结论．
19. 88
考点:轴对称的性质，轴对称的应用-最短距离问题
解析：延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA=BA′，MB⊥AB，
∴MA=MA′，同理：NA=NA″，
∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，
∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD=136°，
∴∠A′+∠A″=180°-∠BAD=44°
∴∠AMN+∠ANM=2×44°=88°．
故答案为：88．
感悟：延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）即可解决．
20. 10
考点:轴对称的应用-最短距离问题
解析：如图，连接PC，
，
的周长为 ，
要使 的周长最小，则需 的值最小，
垂直平分BC，
，
，
由两点之间线段最短可知，当点 共线，即点P在AC边上时， 取得最小值，最小值为AC，
即 的最小值为 ，
则 周长的最小值是 .
故答案为：10.
感悟：如图，连接PC，先把 的周长表示出来为4+PA+PB，接着根据垂直平分线性质得到PB=PC，故只需PA+PC最小△ABP周长才最小，由两点之间线段最短得出P点在AC上时最小，此时PA+PC=AC=6，从而即可得出答案.
三、解答题
21. 如图所示：
共同特点：它们的对称轴均为经过两圆圆心的一条直线．
考点:轴对称图形
解析：感悟：根据圆的轴对称性，其对称轴是直径所在的直线，可知，两个圆组成的图形的对称轴，必定经过两圆的圆心.
22. 如图，
作出点M关于OA和OB的对称点M′和M″，
连接M′M″交OA于P，交OB于点Q，
则M′M″即为△PMQ最小周长．
所以点P，点Q即为所求．
考点:轴对称的应用-最短距离问题
解析：感悟：根据轴对称确定最短路线问题，作出点M关于OA和OB的对称点M′和M″，连接M′M″交OA于P ， 交OB于点Q ， 则M′M″即为△PMQ最小周长．
23. ∵A点和E点关于BD对称，
∴∠ABD=∠EBD，即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD，
又B点、C点关于DE对称，
∴∠DBE=∠C，
∴∠ABC=2∠C，
∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠C=2∠C+∠C=3∠C=90°，
∴∠C=30°．
考点:轴对称的性质
解析：感悟：根据轴对称的性质可得：∠ABD=∠EBD，∠DBE=∠C，即可得到∠ABC+∠C=2∠C+∠C=3∠C=90°，再求解即可。
24. 如图所示，四边形A1B1C1D1即为所求．
考点:作图﹣轴对称
解析：感悟：从四点向L引垂线并延长，分别找到四点的对称点，然后顺次连接即可.
四、综合题
25. （1）作点A关于直线BC的对称点 ，连接 ，交BC于P，
如图所示，点P即为所求；
（2）作点P关于直线OA的对称点 ，作点这P关于直线OB的对称点 ，连接 ，分别交OA、OB于M、N，如图：
根据“将军饮马问题”得到ΔPMN的周长的最小值为 ，
由轴对称的性质得：∠FOA=∠AOP，∠POB=∠GOB，OP=OF，OP=OG，
∵∠AOP+∠POB=∠AOB=30 ，OP= 5，
∴∠FOG=∠FOA+∠AOP+∠POB+∠GOB=2 ，OF=OG=5，
∴△FOG为边长为5的等边三角形，
，
答：ΔPMN的周长的最小值为 .
考点:轴对称的应用-最短距离问题
解析：感悟：（1） 作点A关于直线BC的对称点?? ， 连接?? ， 交BC于P，?则点P即为所求；
（2） 作点P关于直线OA的对称点?? ， 作点这P关于直线OB的对称点?? ， 连接?? ， 分别交OA、OB于M、N， 根据“将军饮马问题”得到ΔPMN的周长的最小值为?? ， ?利用等边三角形的判定与性质求出FG即可.
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