2.3 等腰三角形的性质定理 同步练习（含解析）

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初中数学浙教版八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理 同步练习
一、单选题
1.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝46°，CD⊥AB于点D，则∠DCB＝（? ）
A.?46°???????????????????????????????????????B.?67°???????????????????????????????????????C.?44°???????????????????????????????????????D.?23°
2.如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E。若∠E=35°，则∠EAC的度数是(?? ?)

A.?40°???????????????????????????????????????B.?65°???????????????????????????????????????C.?70°???????????????????????????????????????D.?75°
3.如图，在△ABC中，BA＝BC ， ∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为（　　）

A.?60°???????????????????????????????????????B.?65°???????????????????????????????????????C.?70°???????????????????????????????????????D.?75°
4.如图, ∥ , , ，则 的度数是（?? ）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
5.如图，在 中，已知∠B＝50°，∠C＝30°.分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（?? ）
A.?70°???????????????????????????????????????B.?60°???????????????????????????????????????C.?55°???????????????????????????????????????D.?45°
6.如图△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2 ，D为BC的中点，DE⊥AB，则△EBD的面积为（? ）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
7.如图， 中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（?? ）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6
8.直线 与坐标轴交于 、 两点，点 在坐标轴上， 为等腰三角形，则满足条件的点 最多有（?? ）个
A.?8；????????????????????????????????????????B.?4；????????????????????????????????????????C.?5；????????????????????????????????????????D.?7.
9.等腰三角形的一个角是 50°，则它的底角的度数为(????? )
A.?50°????????????????????????????????B.?50°或 80°????????????????????????????????C.?50°或 65°????????????????????????????????D.?65°
10.如图，在△ABC中，AB=AC，BD 平分∠ABC 交AC 平点D，AE∥BD 交CB 的延长线于点E。若∠E=35°，则∠BAC 的度数为(??? )
A.?40°???????????????????????????????????????B.?45°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?70°
11.如图，C，E是直线l两侧的点，以C为圆心，CE长为半径画弧交l于A，B两点，又分别以A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，CD，下列结论不一定正确的是（? ）
A.?CD⊥l
??B.?点A，B关于直线CD对称
C.?点C，D关于直线l对称
D.?CD平分∠ACB
12.若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（??? ）
A.?12或9??????????????????????????????????????B.?9??????????????????????????????????????C.?12??????????????????????????????????????D.?9或7
13.如图，在△ABC中，按以下步骤作图:①分别以A，B为圆心，大于 AB长为半径作弧，两弧相交于M，N两点;②作直线MN交BC于点D，连接AD.若AD=AC，∠B=25°，则∠C=（? ）
A.?70°???????????????????????????????????????B.?60°???????????????????????????????????????C.?50°???????????????????????????????????????D.?40°
14.如图，在 中，按以下步骤作图：①分别以 ， 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于两点 ， ；②作直线 交 于点 ，连接 .若 ， ，则 的度数为（ ??）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
15.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若AD＝AC，∠A＝80°，则∠ACB的度数为（?? ）
A.?65°???????????????????????????????????????B.?70°???????????????????????????????????????C.?75°???????????????????????????????????????D.?80°
二、填空题
16.如图.在 中， ， .若 ，则 ________.
17.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC.分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF.以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH.若BC＝3，则△AFH的周长为 ________.
18.如图，在 中， ， ，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则 的度数是________.
19.已知等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则这个等腰三角形的周长为________cm
20.如图， ， ，∠BEC=40°，则 ________°．
21.如图，∠PAQ＝36°，点B为射线AQ上一点，AB＝5cm ， 按以下步骤作图，第一步：分别以点A ， B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M ， N；第二步：作直线MN交射线AP于点D ， 连接BD；第三步：以点B为圆心，BA的长为半径画弧，交射线AP于点C ， 连接BC ， 线段CD的长为________cm ．
22.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的二个底角的度数等于________ 度．
23.如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为________ ．
24.如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB+AC＝10，则△ADE的周长等于________．
25.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为点D．若∠BAC＝30°，则∠DBC的度数为 ________ °．
三、计算题
26.如图，在 中， ，点 在边 上，且 ，连接 ，若 ，求 的度数．
27.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．
求证：AD=AE．
四、解答题
28.如图，在等腰△ABC中，AB=AC ， 直线l过点A． 点B与点D关于直线l对称，连接AD ， CD ． 求证：∠ACD=∠ADC ．
29.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AB上，BE＝BD，∠BAC＝80°，求∠ADE的大小．
五、综合题
30.已知：如图①，直线l和l外一点P.求作：直线l的垂线，使它经过点P.
作法：如图②，
（ 1 ）在直线l上任取一点A；（2）连接AP，以点P为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B（点A，B不重合）；（3）连接BP，作∠APB的平分线，交AB于点H，所以直线PH就是所求作的垂线.
根据上面的作法，完成以下问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明.
证明：∵PH平分∠APB，
∴∠APH=▲.?
∵PA=▲ ， ?
∴PH⊥直线l于H.（? ）（填推理的依据）
答案解析部分
一、单选题
1. D
考点:三角形内角和定理，等腰三角形的性质
解：∵等腰三角形ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB
∵∠A=46°，
∴∠ABC = ×（180°-46°）= ×134°=67°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠DCB=90°-∠ABC=90°-67°=23°.
故答案为：D.
根据等腰三角形的性质和三角形内角和可得结果.
2. D
考点:平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，角平分线的定义
解：∵ AE∥BD，
∴∠DBC=∠E=35°，
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBC=70°，
∵ AB=AC，
∴∠ACE=∠ABC=70°，
∴∠EAC=180°-（∠E+∠ACE ）=75°.
故答案为：D.
根据平行线的性质得出∠DBC=∠E=35°，根据角平分线的定义得出∠ABC=2∠DBC=70°，根据等腰三角形的性质得出∠ACE=∠ABC=70°，利用三角形内角和定理得出∠EAC=180°-（∠E+∠ACE ），即可得出答案.
3. B
考点:三角形的外角性质，等腰三角形的性质
解：∵BA＝BC ， ∠B＝80°，
∴∠A＝∠ACB＝ （180°﹣80°）＝50°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝130°，
观察作图过程可知：
CE平分∠ACD ，
∴∠DCE＝ ∠ACD＝65°，
∴∠DCE的度数为65°
故答案为：B ．
根据等腰三角形的性质可得∠ACB的度数，观察作图过程可得，进而得出∠DCE的度数。
4. C
考点:平行线的性质，等腰三角形的性质
解：∵AD＝CD，∠1＝50°，
∴∠CAD＝∠ACD＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠ACD＝65°．
故答案为：C．
直接利用等腰三角形的性质结合平行线的性质得出答案．
5. A
考点:三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质
∵在 中， ， ，
∴ ，
由作图可知，EF为AC的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A.
先根据三角形的内角和定理可得 ，再根据作图过程可知EF为AC的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质可得 ，最后根据等腰三角形的性质可得 ，据此根据角的和差即可得.
6. B
考点:三角形的面积，等腰三角形的性质
解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵D是BC的中点，BC＝2 ，
∴Rt△BED中，BD＝ BC＝ ，
∴DE＝ ，BE＝ ，
∴△EBD的面积为
故答案为：B．

根据AB＝AC，∠BAC＝120°，可得∠B＝∠C＝30°，根据D是BC的中点，可求出BC、BE、DE的长度，即可得出。
7. A
考点:三角形的面积，角平分线的性质，等腰三角形的性质
解：过点D作DH⊥AC于点H，如图所示：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠CAB，
∵DE⊥AB，DE＝2，
∴DE=DH=2，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：A.
过点D作DH⊥AC于点H，根据等腰三角形的性质得出AD平分∠CAB，结合角平分线的性质定理求出DE=DH=2，然后根据等积法推出 ?即可求解.
8. D
考点:等腰三角形的性质
解：对于直线y=x-1
当x=0时，y=-1；当y=0时，x=1
∴直线y=x-1与两个坐标轴的交点分别为A（0，-1），B（1，0）
若以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，则与x轴有两个交点，与y轴有一个交点
若以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，则与x轴有一个交点，与y轴有两个交点
以AB为腰的等腰三角形ABC有6个
若以AB为底，作AB的垂直平分线，与坐标轴交于原点O
∴满足条件的点最多有7个。
故答案为：D.

根据题意，由AB为腰和底进行分类讨论，计算得到答案即可。
9. C
考点:三角形内角和定理，等腰三角形的性质
解：①当底角=50°，顶角=180°-50°×2=80°，符合题意；
②当顶角=50°，底角= ， 符合题意；
综上，底角为50°或65°，
故答案为：C.

分两种情况讨论，即①当底角为50°，②当顶角为50°，然后分别利用三角形的内角和定理求出其余角验证即可.
10. A
考点:平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质
解：∵AE∥BD，
∴∠CBD=∠E=35°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBD=35°×2=70°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=70°，
∴∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-70×2=40°，
故答案为：A.

由平行线的性质求出∠CBD，再根据角平分线的定义求出∠ABC，然后利用等腰三角形的性质求出∠C，最后利用三角形内角和定理即可求出结果.
11. C
考点:线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，作图-线段垂直平分线
解：由作法得CD垂直平分AB，所以A、B选项正确；因为CD垂直平分AB，所以CA=CB，所以CD平分∠ACB，所以D选项正确；因为AD不一定等于AC，所以C选项错误.
故答案为：C.
根据尺规作图可得CD垂直平分AB，据此判断A、B；由CD垂直平分AB，可得CA=CB，根据等腰三角形的三线合一可得CD平分∠ACB，据此判断D；由于CD垂直平分AB，而BA不一定平分CD，据此判断C.
12. C
考点:三角形三边关系，等腰三角形的性质
∵一个等腰三角形的两边长分别是2和5，
∴当腰长为2，则 ，此时不成立，当腰长为5时，则它的周长为： ，
故答案为：C．
利用等腰三角形的性质以及三角形三边关系得出其周长即可．
13. C
考点:三角形的外角性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，作图-线段垂直平分线
由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=25°，
∴∠CDA=∠DAB+∠B=50°，
∵AD=AC，
∴∠C=∠CDA=50°.
故答案为：C.
利用作图可知MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的性质可证得DA=DB，利用等边对等角可求出∠DAB的度数；再利用三角形的外角的性质可求出∠CDA的度数，然后根据等边对等角可求出∠C的度数.
14. C
考点:三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，作图-线段垂直平分线
解：? ， ，
，
，
，
由图可知， 是线段 的垂直平分线，
，
，
.
故答案为：C.
利用等边对等角可求出∠CDA的度数，利用三角形的内角和定理求出∠DCA的度数；再利用垂直平分线的性质可得到DB=DC，利用等腰三角形的性质及三角形的外角的性质可求出∠DCB的度数；然后根据∠ACB=∠DCB+∠DCA，代入计算求出∠ACB的度数.
+
15. C
考点:三角形的外角性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质
解：根据作图过程可知： DM是BC的垂直平分线，
?∴DC=DB，
∴∠B=∠DCB，
∴∠ADC=∠B+∠DCB=2∠DCB，
?∵AD=AC，∠A=80°，
?∴∠ADC=∠ACD= ?
?∴∠DCB= ∠ADC=25°，
∴∠ACB=∠DCB+∠ACD=25°+50°=75°.
∴∠ACB的度数为75°.
故答案为：C.
由作图可知DM是BC的垂直平分线，由线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得DC=DB，根据等边对等角和三角形的外角的性质得∠ADC=∠B+∠DCB=2∠DCB，∠ADC=∠ACD=（180°-∠A），则∠DCB=∠ADC，然后根据角的构成∠ACB=∠DCB+∠ACD可求解.
二、填空题
16. 54°
考点:三角形内角和定理，等腰三角形的性质
∵ AF=EF，
∴ ∠A=∠AEF，
∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°，
∴ ∠A=36°，
∵ ∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，
∴ ∠B=180°-∠A-∠C=54°.
故答案为：54°.
与等边对等角可得∠A=∠AEF，根据三角形的外角的性质可求得∠A的度数，再用三角形内角和定理可求解.
17. 6
考点:线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质
解：由作图可得DF垂直平分线段AB，
∴ ，
∵以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴△AFH的周长 ，
故答案为：6.
由作图可得DF垂直平分线段AB，利用线段垂直平分线的性质可证得AF=AH，同时可证得AF=AH=BF；再利用等腰三角形的性质可证得CF=CH；再证明△AFH的周长=2BC，即可求解.
18. 15°或75°
考点:三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质
解：①当点P在BC的延长线上时，如图，
∵ ， ，
∴
∴
∵以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，
∴AC=PC
∴
∵
∴
∴
②当点P在CB的延长线上时，如图，
由①得 ，
∵AC=PC
∴
∴
故答案为：15°或75°

分两种情况讨论，即①当点P在BC的延长线上时，②当点P在CB的延长线上时，根据三角形的内角和定理求出∠CAB，然后根据三角形外角的性质，结合等腰三角形的性质求出∠CAP，最后根据角的和差关系即可解答.
19. 14或16
考点:三角形三边关系，等腰三角形的性质
解：由等腰三角形的定义，分以下两种情况：
（1）当边长为 的边为腰时，
则这个等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系定理，
此时这个等腰三角形的周长为 ；
（2）当边长为 的边为腰时，
则这个等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系定理，
此时这个等腰三角形的周长为 ；
综上，这个等腰三角形的周长为 或 ，
故答案为：14或16.
先根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系定理得出这个等腰三角形的第三边长，再根据三角形的周长公式即可得.
20. 35
考点:角的运算，等腰三角形的性质
解：∵EB=EC ， ∠BEC=40°，
∴∠B=∠ECB= = =70°，
∵∠AEB=70°，∠BEC=40°，
∴∠AEC=∠AEB+∠BEC=70°+40°=110°，
∵EA=EC ，
∴∠ECA=∠A= = =35°，
∴∠ACB=∠ECB-∠ECA=70°-35°=35°，
故答案为：35．
利用等腰三角形的性质和已知角求得∠ECB的度数，然后求得∠ECA的度数后即可求得答案．
21. 5
考点:三角形内角和定理，三角形的外角性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质
解：由题意得： 垂直平分 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：5．
根据线段垂直平分线的性质得出 ， 可得=36°，利用三角形外角的性质得出∠CDB=72°，由AB=BC得出 ， 根据三角形内角和求出∠CBD=72°，从而得出∠CDB=∠CBD，利用等角对等边得出CD=BC=5cm.
22. 75或15
考点:等腰三角形的性质
解：作CD⊥AB于点D，如图1所示，
∵CD＝ AC，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝∠ACB＝75°；
作BD⊥CA，交CA的延长线于点D，如图2所示，
∵BD＝ AB，
∴∠DAB＝30°，
∴∠BAC＝150°，
∴∠ABC＝∠C＝15°；
故答案为：75度或15．

作CD⊥AB于点D，作BD⊥CA，交CA的延长线于点D，按两种情况分析讨论，即可得出答案。
23. 4
考点:平行线的性质，等腰三角形的性质
解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝ ×120°＝60°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝ ∠BAD＝ ×60°＝30°，
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝∠F＝30°，
∴AD＝DF，
∵∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝ AB＝ ×8＝4，
∴DF＝4，
故答案为：4．
根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，求得∠DAE＝∠EAB＝ ∠BAD＝ ×60°＝30°，根据平行线的性质可得∠DAE＝∠F＝30°，从而得到∠DAE＝∠F，根据等角对等边求出AD＝DF，求出∠B＝90°﹣60°＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答。
24. 10
考点:平行线的性质，等腰三角形的性质
解：∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠CBF，
∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴BD＝DF，
同理FE＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AD+DF+AE+EF＝（AD+BD）+（AE+CE）＝AB+AC＝10，
故答案为：10．

由△ABC中 ， ∠B，∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，易得到BD＝DF，FE＝EC，再利用三角形的周长公式得到△ADE的周长＝AB+AC=10.
25. 15
考点:三角形内角和定理，等腰三角形的性质
解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）÷2＝75°；
又∵BD⊥AC垂足为D，
∴∠DBC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣75°＝15°．
故答案为：15．

根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠C的度数，然后在直角三角形DBC中，利用三角形内角和求解即可。
三、计算题
26. 解：设 ，
，
，
，
，
，
，
，
在 中 ，
即 ，
，

考点:三角形内角和定理，等腰三角形的性质
根据 可得 ， 可得 ， ，可得 ，在 中利用三角形内角和定理列出关于 的等式解出即可．
27. 证明：过点A作AF⊥BC于点F， ∵AB=AC，∴BF=CF，∵BD=CE，∴DF=EF，∴AD=AE．
考点:线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质
过点A作AF⊥BC于点F，根据等腰三角形的三线合一得出BF=CF，然后根据等式的性质得出DF=EF，根据中垂线定理得出AD=AE.
四、解答题
28. 证明： ∵点B与点D关于直线l对称，
∴AB=AD，
又∵AB=AC，
∴AD=AC．
∴∠ACD=∠ADC
考点:等腰三角形的性质，轴对称的性质
设直线l交BD于点E，根据轴对称的性质得到∠AEB=∠AED=90°，BE=DE，从而根据SAS可判定△ABE≌△ADE，由全等三角形的性质得到AB=AD，从而得到AD=AC，根据等腰对等角即可求解。
29. 解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，
∴∠B＝∠C＝ （180°﹣∠BAC）＝50°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝ （180°﹣∠B）＝65°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝25°．
考点:三角形内角和定理，等腰三角形的性质
根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝50°，∠BDE＝65°，∠ADB＝90°，计算即可。
五、综合题
30. （1）解：补图如下；
（2）证明： ∵PH平分∠APB，
∴∠APH=∠BPH.
∵PA=PB，
∴PH⊥直线l于H（等腰三角形三线合一）.
考点:等腰三角形的性质，作图-垂线，角平分线的定义
（1）根据作图提示，用直尺和圆规描述出来即可；
（2）根据角的平分线定义，同圆的半径相等，等腰三角形三线合一的性质填空即可
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