2.7 探索勾股定理 同步练习（含解析）

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初中数学浙教版八年级上册2.7 探索勾股定理 同步练习
一、单选题
1.以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（ ??）
A.?3， 4，5?????????????????????????B.?? 13，5，12?????????????????????????C.?5，6，7?????????????????????????D.?41，40，9
2.如图， 、 、 、 是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线.若 ， ，则线段 的长度为（?? ）
A.?6 cm??????????????????????????????????B.?7 cm??????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?8cm
3.已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB=（?? ）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
4.钓鱼岛和中国台湾属于同一地质构造，按照国际法钓鱼岛属于中国.钓鱼岛周围海域石油资源丰富，地域战略十分重要.图中A为台湾基隆,B为钓鱼岛,单位长度为38千米,那么A,B相距（????）
A.?190千米????????????????????????????B.?266千米????????????????????????????C.?101千米????????????????????????????D.?950千米
5.如图，一次函数 的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线 绕点B顺时针旋转 交x轴于点C，则线段 长为（?? ）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点M在AC边上，且AM=2，MC=6，动点P在AB边上，连接PC，PM，则PC+PM的最小值是??? （　　）
A.?2 ?????????????????????????????????????B.?8?????????????????????????????????????C.?2 ?????????????????????????????????????D.?10
7.如图，在3×4的正方形网格图中，小正方形的边长为1， 的顶点均在格点上，则下列关于 的说法错误的是（??? ）
A.?是直角三角形???????????????????B.????????????????????C.?面积为4???????????????????D.? 边上的高为
8.如图，数轴上点C所表示的数是（??? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.?3.6??????????????????????????????????????D.?3.7
9.如图是小军设计的一面彩旗，其中 ， ，点 在 上， ，则 的长为（?? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
10.如图，在 的正方形网格图中，小正方形的边长为1， 的顶点均在格点上，则下列关于 的说法错误的是（?? ）
A.?是直角三角形??????????????????B.?tam ??????????????????C.?面积为 ??????????????????D.? 边上的高为
11.如图所示，在正方形 中，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到长为 的正方形，则下列等式成立的是（??? ）
A.???????????B.?????????????????C.?????????????????D.?
12.如图，AB为某河流的宽，为了估测河流的宽，在笔直的河岸上依此取点C，E，B，F，使DE⊥CF，且DA∥CF，测得CE=2米，EB=4米，BF=7米，且∠C=∠FDC，则AB的长为（?? ）米
A.????????????????????????????????????????B.?6.9???????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?7
13.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都是1，点 ， ， ， 都在格点处， 与 相交于点 ，则 的值是（??? ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
14.已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，AD⊥BC于D ， 且AD＝12，则BC的长为（ ??）
A.?14??????????????????????????????????????B.?4??????????????????????????????????????C.?14或4??????????????????????????????????????D.?14或9
15.已知a、b为两正数，且 ，则代数式 最小值为（??? ）
A.?12?????????????????????????????????????????B.?13?????????????????????????????????????????C.?14?????????????????????????????????????????D.?15
二、填空题
16.如图，点 、点 均在边长为 的正方形网格的格点上，则线段 的长度________3.（填“>”， “=”或“<”）
17.如图， 中， ， ， 平分 交 于点 ，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和点 ，作直线 ，交 于点 ，则 的长为________.
18.如图，在扇形 中， ，点 是 的中点，点 ， 分别为半径 ， 上的动点.若 ，则 周长的最小值为________.
19.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是________寸．
20.如图所示的正方形网格内，点A ， B ， C ， D ， E是网格线交点，那么 ________°．
21.如图所示的网格是正方形网格，A ， B ， C ， D是网格线交点，则 与 的大小关系为： ________ （填“＞”，“＝”或“＜”）．
22.如图所示，有一圆柱形油罐，现要以油罐底部的一点A环绕油罐建梯子，并且要正好建到A点正上方的油罐顶部的B点，已知油罐高AB＝5米，底面的周长是12米，则梯子最短长度为________．
23.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB：AC＝3：4，点D是BC上一点，AB＝BD ， 连接AD ， 作BE⊥AD于点E ， 连接CE ， 若AD＝12，则△ACE的面积为________．

24.如图所示，在正方形网格中，点A ， B ， C ， D为网格线的交点，线段 与 交于点O ． 则 的面积与 面积的大小关系为： ________ （填“＞”，“＝”或“＜”）．
25.我们知道，给出两边及其中一边的对角的三角形不一定是唯一的.例如 中， ， ， ，我们可以作 ，截取 ，以B为圆心，6为半径作弧，与射线 交于点 ， ，则 和 均为满足条件的三角形.已知，平行四边形 中， ， ， 边上的高为12，则平行四边形 面积为________．
三、计算题
26.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c ． 若 a∶c＝15∶17，b＝24，求 a.
27.如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D ， AC＝20，BC＝15，DB＝9.求AB的长.
四、解答题
28.如图所示，在四边形 ABCD 中，∠B= 90°， AB=3， BC=4,? CD=12， AD=13，求四边形ABCD的面积．
29.如图，一艘船由A港沿北偏东 方向航行12 km至B港，然后再沿北偏西 方向航行12km至C港.求A、C 两港之间的距离（结果保留根号）．
五、综合题
30.如图， 中， ， ， ，若点 从点 出发，以每秒 的速度沿折线 运动，设运动时间为 秒（ ）．
（1）若点 在 上，且满足 ，求此时 的值；
（2）在运动过程中，当 为何值时， 为等腰三角形．
答案解析部分
一、单选题
1. C
考点：勾股定理的逆定理
解：A.3?+4?=5?，故A选项是直角三角形；
B.12?+5?=13?，故B选项是直角三角形；
C.5?+6?=61≠7?，故C选项不是直角三角形；
D.9?+40?=41?，故D选项是直角三角形。
故答案为：C
本题考查勾股定理逆定理的运用，如果三角形三边满足任意两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，以此判断四个选项三边关系即可。
2. D
考点：勾股定理，三角形全等的判定（AAS）
解：分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，
∵， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中；
，
∴ ，
∴BF=CG，
∵ ，
∴ 均为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D.
分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，由同角的余角相等可得∠FBC=∠GCD，根据角角边可证△BFC≌△CGD，由全等三角形的对应边相等可得BF=CG，结合已知可得三角形ABC和三角形CDE都是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一可得FC=AC，用勾股定理可求得BF的值，于是CE=2CG=2BF可求解.
3. D
考点：勾股定理，等腰直角三角形
解：∵ ，
∴ ，
∵AD平分 ，
∴∠BAD=45°，
∵ ，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴AP=PE，
∴ ，
∵AB=AE，
∴ ，
∴ ；
故答案为：D.
利用垂直的定义可证得∠CAB=90°，利用角平分线的定义求出∠BAD的度数，由此可证得△APE是等腰直角三角形，可推出AP=PE；利用勾股定理表示出AE，可得到AB的长；然后求出AP与AB的比值.
4. A
考点：勾股定理的应用
利用图中的格点可以得到直角三角形，然后利用勾股定理求得线段AB的长，然后乘以单位长度即可得到AB两点间的距离．
如图：BC⊥AC，且BC=3个单位长度，AC=4个单位长度，
由勾股定理得：
∴A、B两地之间的距离为5×38=190千米，
故选A．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解决此类题目的关键是从实际问题中整理出直角三角形模型，并利用勾股定理求解
5. A
考点：含30°角的直角三角形，勾股定理，一次函数图象与坐标轴交点问题，等腰直角三角形
解：∵一次函数 的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x=0，则y= ，令y=0，则x= ，
则A（ ，0），B（0， ），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，
∴AB= =2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵∠CAD=∠OAB=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，
∴AC= = x，
∵旋转，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴BD= = x，
又BD=AB+AD=2+x，
∴2+x= x，
解得：x= +1，
∴AC= x= （ +1）= ，
故答案为：A.
由一次函数 求出A（ ，0），B（0， ），可得△OAB为等腰直角三角形，由勾股定理求出AB=2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，可得△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，可得AC= x，利用直角三角形的性质得出BC=2CD=2x，BD=x，根据BD=AB+AD
=2+x，建立方程求出x值即可.
6. A
考点：线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理
解：如解图，过点C作 于点O，延长 到点 ，使 ，连接 ，交 于点 ，此时 的值最小，
连接 ，
，
.
，
，
，
，
，
，
的最小值为 .
故答案为：A.
首先利用等腰三角形和垂直平分线的性质求出 和 ，然后利用勾股定理求解即可.
7. C
考点：三角形的面积，勾股定理，勾股定理的逆定理
解：由题意得：AB= ，AC= ，BC= ，
∴AB2+AC2=BC2 ，
∴ 是直角三角形，故A不符合题意，
，故B不符合题意，
的面积= ，故C符合题意，
边上的高= ，故D不符合题意，
故答案为：C．
先利用勾股定理求出AB2+AC2=BC2 ， 再对每个选项一一判断求解即可。
8. A
考点：实数在数轴上的表示，勾股定理
解：∵OA＝3，AB＝3﹣1＝2，
∴OB ，
∴OC＝OB ，
∴点C表示的数为 ．
故答案为：A．
利用勾股定理求出OB的值，再求出OC ，最后求点C表示的数即可。
9. B
考点：含30°角的直角三角形，勾股定理
解：如图，∵AD=AB=4cm，∠D=15°，
∴∠ABD=∠D=15°，
∴∠BAC=∠ABD+∠D=30°，
∵∠ACB=90°，AB=4cm，
，
在Rt△ABC中， ，
故答案为：B．
先求出∠ABD=∠D=15°，再求出BC=2cm，最后利用勾股定理计算求解即可。
10. C
考点：三角形的面积，勾股定理的逆定理
解：因为小正方形的边长为1，
所以，由勾股定理得， ， ， ，
∴
∴ 是直角三角形，A不符合题意；
∴ ，B不符合题意；
∴ ，C符合题意；
设 边上的高为h ， 则有，
∴
解得， ，D不符合题意．
故答案为：C．

由勾股定理得， ， ， ， ，则 ， ， BC边上的高为h ， 则有， ， 所以选C。
11. B
考点：勾股定理的证明
根据题意，在正方形ABCD中，将它剪去4个全等的直角三角形，得到长为c的正方形，
∴在 中， ， ， ，
∴ ，A选项不符合题意；
根据勾股定理得： ，符合题意；
C： ，不符合题意；
D： ，不符合题意；
故答案为：B ．
根据题意，在正方形ABCD中，将它剪去4个全等的直角三角形，得到长为c的正方形，在三角形AEH中，AE=a，AH=FC=b，EH=c，即可得出结论。
12. C
考点：等腰三角形的性质，勾股定理
解：FC=BF+EB+CE=7+4+2=13，
∴FD=FC=13，
∵DE⊥CF，
∴DE===4 ，
∵DA ∥ CF，AB∥DE，DE⊥CF，
∴四边形ABED为矩形，
∴AB=DE=4 ，
故答案为：C.

先根据线段间的关系求出CF，再由等腰三角形的性质求出FD，然后利用勾股定理求出DE，最后根据矩形的对边相等求AB即可.
13. D
考点：平行线的性质，勾股定理
解：如图，
∵CE∥AB，
∴∠BOD=∠DCE，
∴sin∠BOD=sin∠DCE，
∵CE=4，DE=3，
∴DC= =5，
∴sin∠BOD=sin∠DCE= ．
故答案为：D．
根据两直线平行，同位角相等，可知∠BOD=∠DCE，sin∠BOD=sin∠DCE．利用勾股定理求得DC的长，结论可得．
14. C
考点：勾股定理的应用
解：如图，

当△ABC为钝角三角形时，高AD在三角形外部，


BC=CD-BD=9-5=4
当△ABC为锐角三角形时，高AD在三角形内部，


BC=BD+CD=9+5=14
所以BC的长为14或4.
故答案为：C
本题考查勾股定理的运用及分类讨论的解题思想，题目没有给到具体图形，需要自己根据条件画图，所以要注意分类讨论，分别画出高在内部和外部的两种情况，然后计算即可。
15. B
考点：勾股定理
解：如图所示，构造Rt△BEA和Rt△AFC使得 BE=a ， EA=2，AF=3，FC=b ，
根据勾股定理可得：AB= 和AC= ，
所以：
，
∴当A ， B ， C三点共线时 有最小值，即BC ，
在Rt△BDC中 ．
故答案为：B
如图所示，构造Rt△BEA和Rt△AFC使得 BE=a，EA=2，AF=3，FC=b，根据勾股定理可得：AB= 和AC= ，当A，B，C三点共线时 有最小值，即BC，根据勾股定理求出BC的长即可.
二、填空题
16. ＜
考点：实数大小的比较，勾股定理
解： ，
∵ ， ， ，
∴ ，
故答案为：<.
把线段AB放在直角三角形中，利用勾股定理可得AB的长，利用平方法比较大小得出.
17.
考点：线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理
解:∵ 中， ， ， 平分
∴ ，且 ，（等腰三角形“三线合一”）
∴ ，
由分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和点 ，作直线 ，可知，MN垂直平分AC，
如图，连接CE，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ；
∴ 的长为 ；
故答案为： .

根据等腰三角形的性质求出CD，再根据勾股定理求出AD，由作图过程可知MN为AC的垂直平分线，连接CE，由垂直平分线的性质求出CE，最后在Rt△EDC中，利用勾股定理求DE即可.
18.
考点：勾股定理，轴对称的应用-最短距离问题
解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ，
则 ，
的周长为 ，
由两点之间线段最短得：当点 共线时， 周长最小，最小值为 ，
， ，
，
由同圆半径相等得： ，
，
在 中， ，
即 周长的最小值为 ，
故答案为： .
如图（见解析），先根据轴对称的性质可得 ，再根据两点之间线段最短可得点 共线时， 周长最小，然后利用勾股定理即可得.
19. 101
考点：勾股定理
解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝ CD＝1寸，
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2＋DE2＝AD2 ， 即（r﹣1）2＋102＝r2 ，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故答案为：101
先求出AE＝（r﹣1）寸，再利用勾股定理求出r＝50.5，最后计算求解即可。
20. 90
考点：勾股定理的逆定理
解：设正方形网格边长为a ，
由勾股定理求得 ，
∴
?∴ 为直角三角形，
即
故答案为：90．

先利用勾股定理求出CD、DE和CE的长，再利用勾股定理逆定理求出 为直角三角形，再计算即可。
21. =
考点：勾股定理，勾股定理的逆定理
解：如图，连接CE、CD ，
AE ，
同理求得EC=CD=DA ，AC ，
∴AE=EC=CD=DA ，
∴四边形AECD是菱形，
∵ ，
∴ ，
∴∠AEC=90 ，
∴菱形AECD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC ，
故答案为：=．

连接CE、CD ， 根据每个小网格都是正方形，设每个网格为1，由勾股定理可求出AD、AC、CD，再由勾股定理的逆定理得到三角形ACD为等腰直角三角形，同理三角形ABC也是等腰直角三角形，即得出∠BAC=∠DAC。
22. 13
考点：勾股定理
解：如图所示：
（米），
故答案为：13．
先利用平面展开，再利用勾股定理求解即可。
23. 24
考点：三角形的面积，勾股定理
解：由题意，设AB＝3x ， AC＝4x ， 则BC＝5x ， BD＝3x ，
∵cos∠ABC＝ ，
∴AD2＝（3x）2+（3x）2﹣2×（3x）2?cos∠ABD ，
∴144＝ ，
解得：x＝2 ，
∵等腰三角形，AE＝6，AC＝8 ，
∴ ，
在△ACD中， ，
∴ ，
解得：sin∠DAC＝ ，
∴ ，
故答案为：24．
根据勾股定理得出BC，进而利用三角形门口公式解答即可。
24. =
考点：三角形的面积，勾股定理的逆定理
解：由题意， ， ， ，
∵ ，
∴△ABD为直角三角形，∠BAD=90°，
同理，对于△ABC ， 也满足 ，
∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∴AD∥BC ，
∵平行线间的距离处处相等，
∴ ，
∴ ，
即： ，
故答案为：=．
首先根据勾股定理的逆定理判断出△ABD与△ABC为直角三角形，则推出AD∥BC ， 从而利用平行线间的距离处处相等得到 ，从而推出结论即可．
25. 48或168
考点：勾股定理，直角三角形的性质
解：如图，
当高DE在△ABD内时
在Rt△DBE中，由勾股定理得：
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
∴AB=AE+BE=9+5=14
∴平行四边形ABCD的面积为：AB×DE=14×12=168；
当高DE在△ABD外时
在Rt△DBE中，由勾股定理得：
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
∴AB=AE?BE=9?5=4
∴平行四边形ABCD的面积为：AB×DE=4×12=48；
故答案为：48或168
根据直角三角形的性质以及勾股定理，求出四边形的面积。
三、计算题
26. 解：设a=15x，则c=17x，
由勾股定理得，（15x）2+242=（17x）2 ，
解得，x=3，
则a=15x=45．
考点：勾股定理
设a=15x，根据勾股定理列方程，解方程得到答案．
27. 解：∵CD⊥AB于D，且BC=15，BD=9，AC=20
∴∠CDA=∠CDB=90°
在Rt△CDB中，CD2+BD2=CB2 ，
∴CD2+92=152
∴CD=12；
在Rt△CDA中，CD2+AD2=AC2
∴122+AD2=202
∴AD=16，
∴AB=AD+BD=16+9=25．
考点：勾股定理
根据垂直的定义得出∠CDA=∠CDB=90°， 在Rt△CDB中，CD2+BD2=CB2， 据此求出CD的长，在Rt△CDA中，CD2+AD2=AC2 ，据此求出AD的长，利用AB=AD+BD即可求出结论.
四、解答题
28. 解：如图所示，连接AC.
∵∠B=90°，∴ΔABC是直角三角形.
依据勾股定理得AC2=AB2+BC2=32+42=25=52 ，
∴AC=5.
在ΔACD中，AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=169，
∴AD2=AC2+CD2.
∴ΔACD是直角三角形，∠ACD=90°.
∴S四边形ABCD=SΔABC+SΔACD
= AB?BC+ AC?CD
= ×4×3+ ×5×12
=6+30=36.
∴四边形ABCD的面积为36.
考点：勾股定理，勾股定理的逆定理
考查勾股定理及逆定理的运用，连接AC，先在三△ABC中根据 ∠B= 90°，?AB=3，?BC=4,? 计算出AC=5,再在△ACD中，根据勾股定理逆定理确定△ACD为直角三角形，然后分别计算出两个三角形的面积并相加。
29. 解：∵∠MAB=60°，∴∠BAN=30° ，
∵AN‖QB，∴∠QBA=∠BAN=30°，
∵∠PBC=30°，∴∠CBQ=60°，
∴∠ABC=∠QBA+∠CBQ=90°，
根据勾股定理，
，
∴A、C 两港之间的距离是 km．
考点：勾股定理的应用
考查勾股定理的实际应用，先根据航行的方向及角度，确定△ABC为直角三角形，然后利用勾股定理计算斜边AC的长度即可。
五、综合题
30. （1）∵∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，
∴AC= =5cm，
设PC=PA=x，则PB=4-x，
在Rt△ABP中，AB2+PB2=AP2 ，
∴32+（4-x）2=x2 ，
解得x= ，
∴PC= ，
∴ ；
（2）分四种情况：
①如图，当P在AC上且AP=PB时，
∠A=∠ABP，而∠A+∠C=90°，∠ABP+∠CBP=90°，
∴∠C=∠CBP，
∴BP=CP，
∴P是AC的中点，即AP= AC= ，
∴t= = ；
②如图，当P在AC上且AP=BA=3时，
t= = ；
③如图，当P在AC上且AB=PB时，过B作BD⊥AC于D，则
BD= = ，
∴Rt△ABD中，AD= = ，
∴AP=2AD= ，
∴t= = ；
④如图，当P在BC上且AB=PB=3时，CP=4-3=1，
∴t= = =3，
综上：当t= s或 s或 s或3s时，△ABP为等腰三角形．
考点：等腰三角形的判定，勾股定理
（1）利用勾股定理求出AC=5cm，再求出 PC=?? ， 最后计算求解即可；
（2）分类讨论，结合图形计算求解即可。
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