3.3 圆心角（2）
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文档简介
(共18张PPT)
圆的对称性
圆的轴对称性
（圆是轴对称图形）
垂径定理及其推论
圆的中心对称性
（旋转不变性）
圆心角定理
条件
结论
在同圆或等圆中
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
圆心角所对的弦的弦心距相等
圆心角定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
请说出定理的逆命题
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
●O
A
B
┓
D
A′
B′
D′
┏
●O
A
B
┓
D
●O′
A′
B′
D′
┏
如由条件:
②AB=A′B′
⌒ ⌒
③AB=A′B′
④ OD=O′D′
可推出
①∠AOB=∠A′O′B′
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
抢答题
已知：如图，AB，CD是⊙O的两条弦，
OE，OF为AB、CD的弦心距，根据这
节课所学的定理及推论填空：
A
B
C
F
D
E
O
（2）如果OE=OF，那么 ， ， ；
⌒
⌒
（3）如果AB=CD，那么 ， ， ；
（4）如果AB=CD，那么 ， ， 。
(1)如果∠AOB=∠COD，那么 ， ， ;
OE=OF AB=CD AB=CD
⌒
⌒
∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD
⌒
⌒
∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF
∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD
⌒
⌒
O
A
B
下面的说法正确吗 为什么
如图,因为
，
根据圆心角、弧、弦、
弦心距的关系定理可知：
⌒
⌒
一般地，圆有下面的性质
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都相等。
B
E
D
A
F
C
O
∠AOB=∠COD
AB=CD
OE=OF
AB=CD
⌒
⌒
⑴∠AOB=∠COD
⑵AB=CD
⑶OE=OF
⑷AB=CD
例1、如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC．
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
⑴ ∠AOB 、∠COB、 ∠AOC分别为多少度？
Ｄ
Ｐ
⑵延长AO，分别交BC于点P，BC于点D,连结BD,CD.判断三角形ＯＢＤ是哪一种特殊三角形？
⑶判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由。
⑷若⊙O的半径为r,求等边三角形ABC的边长？
⑸若等边三角形ABC的边长r,求⊙O的半径为多少？
当r = 时求圆的半径
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｐ
解（3）四边形BDCO是菱形，理由如下：
∵AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=1200
∴∠BOD=1800-∠AOB=600
同理：∠COD=600
又∵OB=OD
∴OB=OD=BD
同理：OC=CD
∴OB=OC=BD=CD
∴四边形BDCO是菱形
（4）由菱形的性质，可得OP=1/2OD=1/2r
∴BP=
∴BC=2BP=
答：等边三角形ABC的边长为
3、 如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，P点在圆外，以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B和C、D。 求证：AB=CD
分析： 联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON，
证明: 作 , 垂足分别为M 、 N 。
OM=ON
AB=CD
.
M
N
要证AB=CD ，只需证OM=ON
P
A
B
E
C
D
F
O
做一做
.
P
B
E
D
F
O
A
C
.
如图，P点在圆上，PB=PD吗？
P点在圆内，AB=CD吗？
变式练习：
P
B
E
M
N
D
F
O
M
N
(2)四边形ACBD有可能为正方形吗？若有可能,当AB、CD有何位置关系时，四边形ACBD为正方形？为什么？
例2、如图, AB、CD是⊙O的两条直径。
(1)顺次连结点A、C、B、D，所得的四边形是什么特殊四边形？为什么？
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
（3）如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？
（4）如果这根原木长15m，问锯出地木材地体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？
解：如图，所得的四边形是矩形，理由如下：
A
O
D
C
B
∵AC，BD是⊙O的直径
∴AO=OC=OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
当AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
∵AC=BD=30cm
∴AO=BO=15cm
∴S正方形ABCD=15×15÷2×4=450（cm2）
=4.5×10-2（m2）
∴V=4.5×10-2×15=0.675（m3）
化心动为行动
驶向胜利的彼岸
已知：如图，在⊙Ｏ中，弦ＡＢ＝ＣＤ．
求证：ＡＤ＝ＢＣ
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
·
这节课我们主要学习了哪些内容
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
结束寄语
面对成功，我们不能够再沉浸其中；面对失败，我们也不必一直耿耿于怀。
圆的对称性
圆的轴对称性
（圆是轴对称图形）
垂径定理及其推论
圆的中心对称性
（旋转不变性）
圆心角定理
条件
结论
在同圆或等圆中
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
圆心角所对的弦的弦心距相等
圆心角定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
请说出定理的逆命题
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
●O
A
B
┓
D
A′
B′
D′
┏
●O
A
B
┓
D
●O′
A′
B′
D′
┏
如由条件:
②AB=A′B′
⌒ ⌒
③AB=A′B′
④ OD=O′D′
可推出
①∠AOB=∠A′O′B′
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
抢答题
已知：如图，AB，CD是⊙O的两条弦，
OE，OF为AB、CD的弦心距，根据这
节课所学的定理及推论填空：
A
B
C
F
D
E
O
（2）如果OE=OF，那么 ， ， ；
⌒
⌒
（3）如果AB=CD，那么 ， ， ；
（4）如果AB=CD，那么 ， ， 。
(1)如果∠AOB=∠COD，那么 ， ， ;
OE=OF AB=CD AB=CD
⌒
⌒
∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD
⌒
⌒
∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF
∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD
⌒
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O
A
B
下面的说法正确吗 为什么
如图,因为
，
根据圆心角、弧、弦、
弦心距的关系定理可知：
⌒
⌒
一般地，圆有下面的性质
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都相等。
B
E
D
A
F
C
O
∠AOB=∠COD
AB=CD
OE=OF
AB=CD
⌒
⌒
⑴∠AOB=∠COD
⑵AB=CD
⑶OE=OF
⑷AB=CD
例1、如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC．
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
⑴ ∠AOB 、∠COB、 ∠AOC分别为多少度？
Ｄ
Ｐ
⑵延长AO，分别交BC于点P，BC于点D,连结BD,CD.判断三角形ＯＢＤ是哪一种特殊三角形？
⑶判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由。
⑷若⊙O的半径为r,求等边三角形ABC的边长？
⑸若等边三角形ABC的边长r,求⊙O的半径为多少？
当r = 时求圆的半径
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｐ
解（3）四边形BDCO是菱形，理由如下：
∵AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=1200
∴∠BOD=1800-∠AOB=600
同理：∠COD=600
又∵OB=OD
∴OB=OD=BD
同理：OC=CD
∴OB=OC=BD=CD
∴四边形BDCO是菱形
（4）由菱形的性质，可得OP=1/2OD=1/2r
∴BP=
∴BC=2BP=
答：等边三角形ABC的边长为
3、 如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，P点在圆外，以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B和C、D。 求证：AB=CD
分析： 联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON，
证明: 作 , 垂足分别为M 、 N 。
OM=ON
AB=CD
.
M
N
要证AB=CD ，只需证OM=ON
P
A
B
E
C
D
F
O
做一做
.
P
B
E
D
F
O
A
C
.
如图，P点在圆上，PB=PD吗？
P点在圆内，AB=CD吗？
变式练习：
P
B
E
M
N
D
F
O
M
N
(2)四边形ACBD有可能为正方形吗？若有可能,当AB、CD有何位置关系时，四边形ACBD为正方形？为什么？
例2、如图, AB、CD是⊙O的两条直径。
(1)顺次连结点A、C、B、D，所得的四边形是什么特殊四边形？为什么？
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
（3）如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？
（4）如果这根原木长15m，问锯出地木材地体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？
解：如图，所得的四边形是矩形，理由如下：
A
O
D
C
B
∵AC，BD是⊙O的直径
∴AO=OC=OB=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
当AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
∵AC=BD=30cm
∴AO=BO=15cm
∴S正方形ABCD=15×15÷2×4=450（cm2）
=4.5×10-2（m2）
∴V=4.5×10-2×15=0.675（m3）
化心动为行动
驶向胜利的彼岸
已知：如图，在⊙Ｏ中，弦ＡＢ＝ＣＤ．
求证：ＡＤ＝ＢＣ
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
·
这节课我们主要学习了哪些内容
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
结束寄语
面对成功，我们不能够再沉浸其中；面对失败，我们也不必一直耿耿于怀。
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