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3.3垂径定理（1）
教案
课题
3.3垂径定理（1）
单元
第二单元
学科
数学
年级
九年级（上）
学习目标
1．理解并掌握垂径定理；2．会利用垂径定理解决实际问题．
重点
圆的轴对称性的重要体现——垂径定理．
难点
垂径定理的导出过程有一定难度，是本节教学的难点．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
创设情景，引出课题复习提问:如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形。（２）正三角形是轴对称性图形吗？有几条对称轴？是，3（３）圆是否为轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？结论：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。强调：（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴.（2）圆的对称轴有无数条.判断：任意一条直径都是圆的对称轴（
）×思考：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O直径．(1)该图是轴对称图形吗？(2)能不能通过改变AB、CD的位置关系，使它成为轴对称图形？请大家在纸上画一个圆O，再任意画一条非直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P（如图）．沿着直径将圆对折，你有什么发现？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)点C与点D重合，CP与DP重合，＝，＝．你能将你的发现归纳成一般结论吗？垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明已知CD是直径，CD⊥AB，求证：CD平分AB，CD平分和
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，弧AC和弧BC,弧AD与弧BD重合．二、提炼概念垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.推导格式：∵
CD是直径，CD⊥AB，∴
AE=BE,弧AC
=弧BC,弧AD
=弧BD条件：直径垂直于弦结论：直径平分弦，直径平分弦所对的弧垂径定理的几个基本图形
思考自议通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；
理解圆的对称性，利用对称性理解垂径定理；
讲授新课
三、典例精讲例1、已知,如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)作法:1.
连结AB;2.
作AB的垂直平分线CD,交弧AB与点E;∴点E就是所求弧AB的中点.例2、一条排水管的截面如图所示.
已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16.
求截面圆心O到水面的距离.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)解:
作OC⊥AB于C,
由垂径定理得:
AC=BC=AB/2=0.5×16=8
由勾股定理得:答:
截面圆心O到水面的距离为6.圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.归纳：1．作弦心距和半径是圆中常见的辅助线；2
．半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
遇到与弦有关的问题往往要过圆心作垂直于弦的直径．
在运用垂径定理求有关线段长度时有时需要分类讨论．
课堂检测
巩固训练1.如图，AB是⊙0的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（
）A．∠COE=∠DOE
B．CE=DE
C．OE=BE
D．BD=BC答案：C2．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（
）
A．3≤OM≤5
B．4≤OM≤5
C．3D．4cm，两弦AB∥CD，AB＝24
cm，CD＝10
cm，则两弦AB，CD的距离是
(
)A．7
cm B．17
cmC．12
cm
D．7
cm或17
cm【解析】(1)当圆心O在AB，CD同一侧时，如图(1)所示，过O作OE⊥AB于E，延长交CD于F，连结OC，OA，∵AB∥CD，∴OF⊥CD.由垂径定理得，AE＝AB＝12，CF＝CD＝5.在Rt△AEO中，OE＝＝＝5，在Rt△CFO中，OF＝＝＝12，∴EF＝OF－OE＝12－5＝7.(2)当圆心O在AB，CD之间时，如图(2)所示，过O作OE⊥AB于E，延长交CD于F，连结OC，OA，同样可得OF＝12，OE＝5.∴EF＝OE＋OF＝17.所以，AB，CD之间的距离为7
cm或17
cm.答案：D4.如图所示，是一个单心圆形隧道的截面，若路面AB宽为10
m，高CD为7
m，则此隧道单心圆的半径OA是(
)A．5
m
B.
m
C.
m
D．7
m【解析】
设OA＝k，则OD＝7－k，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝5.在Rt△AOD中，AD2＋OD2＝OA2，∴52＋(7－k)2＝k2，解得k＝.即半径OA是m.答案：B5.
如图所示，圆的两条弦AB，CD互相平行，求证：＝.证明：如图所示．作OG⊥AB，分别交AB，CD和圆于点E，F，G.∵OG⊥AB，∴＝，同理可得＝.又∵＝－，＝－，∴＝.
课堂小结
1．圆的轴对称性圆是_____________，每一条过圆心的直线都是圆的__________．轴对称图形，对称轴2．垂径定理定理：垂直于弦的直径_________这条弦，并且___________________．平分，平分弦所对的弧3．弧的中点及弦心距弧的中点：_____________成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点．分一条弧弦心距：圆心到圆的___________________叫弦心距．一条弦的距离
O
C
D
A
B
E
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A
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C
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3.3垂径定理（1）
学案
课题
3.3垂径定理（1）
单元
第二单元
学科
数学
年级
九年级上册
学习目标
1．理解并掌握垂径定理；2．会利用垂径定理解决实际问题．
重点
圆的轴对称性的重要体现——垂径定理．
难点
垂径定理的导出过程有一定难度，是本节教学的难点．
教学过程
导入新课
【引入思考】
合作学习1.在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD,
然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?总结：圆是
图形，每一条
都是对称轴。2.请大家在纸上画一个圆O，再任意画一条非直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P（如图）．沿着直径将圆对折，你有什么发现？点
与点
重合，
与
重合，
，＝．你能将你的发现归纳成一般结论吗？
。请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明已知CD是直径，CD⊥AB，求证：CD平分AB，CD平分和总结：弧的中点：
。
新知讲解
提炼概念垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.推导格式：∵
CD是直径，CD⊥AB，∴
AE=BE,弧AC
=弧BC,弧AD
=弧BD条件：直径垂直于弦结论：直径平分弦，直径平分弦所对的弧垂径定理的几个基本图形典例精讲
例1已知,如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点.例2一条排水管的截面如图所示.
已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16.
求截面圆心O到水面的距离.总结：弦心距：
。
课堂练习
巩固训练1.如图，AB是⊙0的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（
）A．∠COE=∠DOE
B．CE=DE
C．OE=BE
D．BD=BC2．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（
）
A．3≤OM≤5
B．4≤OM≤5
C．3D．4cm，两弦AB∥CD，AB＝24
cm，CD＝10
cm，则两弦AB，CD的距离是
(
)A．7
cm B．17
cmC．12
cm
D．7
cm或17
cm4.如图所示，是一个单心圆形隧道的截面，若路面AB宽为10
m，高CD为7
m，则此隧道单心圆的半径OA是(
)5.
如图所示，圆的两条弦AB，CD互相平行，求证：＝.引入思考1.圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。2.点C与点D重合，CP与DP重合，＝，＝．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，弧AC和弧BC,弧AD与弧BD重合．分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.提炼概念典例精讲
例1
作法:1.
连结AB;2.
作AB的垂直平分线CD,交弧AB与点E;∴点E就是所求弧AB的中点.例2解:
作OC⊥AB于C,
由垂径定理得:
AC=BC=AB/2=0.5×16=8
由勾股定理得:答:
截面圆心O到水面的距离为6.圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.巩固训练答案：C2.答案：A3.答案：D4.答案：B5.证明：如图所示．作OG⊥AB，分别交AB，CD和圆于点E，F，G.∵OG⊥AB，∴＝，同理可得＝.又∵＝－，＝－，∴＝.
课堂小结
1．圆的轴对称性圆是_____________，每一条过圆心的直线都是圆的__________．轴对称图形，对称轴2．垂径定理定理：垂直于弦的直径_________这条弦，并且___________________．平分，平分弦所对的弧3．弧的中点及弦心距弧的中点：_____________成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点．分一条弧弦心距：圆心到圆的___________________叫弦心距．一条弦的距离
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B
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3.3垂径定理（1）
浙教版
九年级上
新知导入
复习回顾
复习提问:
（２）正三角形是轴对称性图形吗？
（１）什么是轴对称图形
（３）圆是否为轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能
完全重合，这个图形就是轴对称图形。
是
３
有几条对称轴？
合作学习
你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。
强调：
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（
）
×
（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴.
（2）圆的对称轴有无数条.
结论：
●O
思考：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O直径．
(1)该图是轴对称图形吗？
(2)能不能通过改变AB、CD的位置关系，使它成为轴对称图形？
O
C
D
A
B
E
在刚才操作的基础上，令AB与CD相交于点E，然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠，你发现哪些点、线互相重合？
如果把能够重合的圆弧叫做相等的圆弧，那么在右图中，哪些圆弧相等？
请用命题的形式表述
你的结论．
·
O
A
B
D
E
C
如图,AB是⊙O的一条弦,
直径CD⊥AB,
垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?
为什么?
线段:
AE=BE
弧:
AC=BC,
AD=BD
⌒
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⌒
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．
⌒
⌒
⌒
⌒
你能将你的发现归纳成一般结论吗？
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
·
O
A
B
D
E
C
分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.
提炼概念
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.
∵
CD是直径，CD⊥AB，
∴
AE=BE,
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⌒
AC
=BC,
⌒
⌒
AD
=BD.
推导格式：
·
O
A
B
C
D
E
直径垂直于弦
直径平分弦所对的弧
直径平分弦
（条件）
（结论）
下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
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C
D
E
E
D
C
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A
B
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B
C
A
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A
C
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B
A
C
O
B
C
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垂径定理的几个基本图形
典例精讲
新知讲解
例1、已知AB如图，用直尺和圆规作这条弧的中点.
⌒
1.
连结AB;
⌒
2.
作AB的垂直平分线CD,交AB与点E;
作法:
∴点E就是所求AB的中点.
⌒
分析:要平分AB,只要画垂直于弦AB的直径.而这条直径应在弦AB的垂直平分线上.
⌒
E
例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
解:作OC⊥AB于C,由垂径定理得:
AC=BC=1/2AB=0.5×16=8.
由勾股定理得:
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.
想一想:排水管中水最深多少?
答:截面圆心O到水面的距离为6.
1．作弦心距和半径是圆中常见的辅助线；
．
O
A
B
C
r
d
2
．半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
方法：
归纳概念
课堂练习
．
A
B
C
O
D
E
1.如图，AB是⊙0的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（
）
A．∠COE=∠DOE
B．CE=DE
C．OE=BE
D．BD=BC
⌒
⌒
C
2．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（
）
A．3≤OM≤5
B．4≤OM≤5
C．3D．4．
A
B
O
M
A
3.已知圆的半径为13
cm，两弦AB∥CD，AB＝24
cm，CD＝10
cm，则两弦AB，CD的距离是
(
)
A．7
cm B．17
cm
C．12
cm
D．7
cm或17
cm
D
(2)当圆心O在AB，CD之间时，
如图(2)所示，过O作OE⊥AB于E，
延长交CD于F，连结OC，OA，
同样可得OF＝12，OE＝5.
∴EF＝OE＋OF＝17.
所以，AB，CD之间的距离为7
cm或17
cm.
【点悟】(1)本题主要是渗透分类思想，培养严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；(2)学会作辅助线的方法．
4.如图所示，是一个单心圆形隧道的截面，若路面AB宽为10
m，高CD为7
m，则此隧道单心圆的半径OA是(
)
B
证明：如图所示．作OG⊥AB，分别交AB，CD和圆于点E，F，G.
课堂小结
1．圆的轴对称性
圆是_____________，每一条过圆心的直线都是圆的__________．
轴对称图形
对称轴
2．垂径定理
定理：垂直于弦的直径_________这条弦，并且___________________．
平分
平分弦所对的弧
3．弧的中点及弦心距
弦心距：圆心到圆的___________________叫弦心距．
分一条弧
一条弦的距离
垂径定理
内容
辅助线
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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