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3.3垂径定理（2）
教案
课题
3.3垂径定理（2）
单元
第三单元
学科
数学
年级
九年级（上）
学习目标
1．理解并掌握垂径定理的逆定理；2．学会运用垂径定理及其逆定理解决一些有关的证明、计算和作图问题．
重点
垂径定理的逆定理．
难点
例3的问题情境较为复杂，是本节教学的难点．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
创设情景，引出课题问题：谁能说出垂径定理的内容？并说出这个定理的题设和结论.巧手来做一做在⊙O内任取一点M,请你折出一条弦AB，使AB经过点M，并且AM=BM.你能说说这样找的理由？想一想垂径定理的逆命题是什么？逆命题1：平分弦的直径垂直于弦．逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦．已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)求证：CD⊥AB，=
证明：连结OA，OB，则OA=OB∴△AOB是等腰三角形∵AE=BE∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一）=
归纳定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,
并且平分弦所对的弧.探索:平分弧的直径垂直于弧所对的弦。已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)求证：CD⊥AB归纳出：定理2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦.如图,
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.
如果在下列五个条件中:
CD是直径,
CD⊥AB,
AM=BM,==
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)只要具备其中两个条件,
就可推出其余三个结论.你可以写出相应的命题吗?二、提炼概念垂径定理的逆定理定理1：平分弦(不是直径)的直径_____________，并且____________________．定理2：平分弧的直径_____________弧所对的弦．垂直于弦,平分弦所对的弧,垂直平分注意：①直径(过圆心的直线)，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，以其中的两个为条件，一定能得出其他三个结论．
思考自议经历观察、思考、推理和论证等过程，探索垂径定理的推论.
理解垂径定理的逆定理时，平分弦作为条件时，忽略不能为直径这一条件而出现错误；
讲授新课
三、典例精讲例3
赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为
37.02
m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m,
求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m).解：弧AB表示桥拱，设弧AB所在的圆的圆心为O，半径为R，C为AB的中点，连结OC，交弧AB于点D.∵C是弧AB的中点,∴OC就是拱高.∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51,OD=OC-DC=（R-7.23）.在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2
∴R2=18.512+(R-7.23)2,解得R≈27.31.答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m.总结：解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
抓住弦长的一半、弦心距(圆心到弦的距离)、弓形的高及半径之间的关系；已知其中的两个量可以用勾股定理求出另外两个未知量．
通过作半径(或弦心距)构造直角三角形．
课堂检测
巩固训练1.判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
（
）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.
（
）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
（
）⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（
）⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（
）答案：
⑴×（2）√（3）?×（4）×（5）√???2.如图所示，AB是半圆的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D.已知BC＝8
cm，DE＝2
cm，则AB的长为______cm.【解析】
E是的中点，OE交弦BC于点D，∴OE⊥BC，CD＝BD＝4
cm.设OB＝x
cm，则OD＝(x－2)cm.在Rt△ODB中，OD2＋BD2＝OB2，∴(x－2)2＋42＝x2，解得x＝5，2x＝10.3．如图，有一座石拱桥的桥拱是以O为圆心，OA为半径的一段圆弧．(1)请你确定弧AB的中点；(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)(2)如果已知石拱桥的桥拱的跨度(即弧所对的弦长)为24
m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为8
m，求桥拱所在圆的半径．解：(1)如图，点E即为所求．(2)由(1)知OE⊥AB，在Rt△AOD中，AB＝24
m，DE＝8
m，∴AD＝AB＝12(m)，设AO＝r
m，∴OD＝(r－8)m，∴r2＝122＋(r－8)2.解得：r＝13.答：桥拱所在圆的半径为13
m.4.某一公路隧道的形状如图所示，半圆拱的圆心距离地面2m，半径为1.5m.一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道吗?如果要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车也能顺利通过这个隧道，且不改变圆心到地面的距离，半圆拱的半径至少为多少米?
解
如图，OB＝1.5，OA＝1.15，∵
AB2=OB2-OA2，∴
AB≈0.96m.∵
0.96+2＝2.96＜3,∴高为3m，宽为2.3m的集装箱车不能顺利通过.由题意,若OA＝1.15,AB＝4-2＝2,又∵AB2=OB2-OA2，∴OB≈2.31m.∴要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车能顺利通过,半圆拱半径至少为2.31m.
课堂小结
垂径定理的逆定理定理1：平分弦(不是直径)的直径_____________，并且____________________．定理2：平分弧的直径_____________弧所对的弦．垂直于弦,平分弦所对的弧,垂直平分注意：①直径(过圆心的直线)，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，以其中的两个为条件，一定能得出其他三个结论．
O
B
A
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学案
课题
3.3垂径定理（2）
单元
第三单元
学科
数学
年级
九年级上册
学习目标
1．理解并掌握垂径定理的逆定理；2．学会运用垂径定理及其逆定理解决一些有关的证明、计算和作图问题．
重点
垂径定理的逆定理．
难点
例3的问题情境较为复杂，是本节教学的难点．
教学过程
导入新课
【引入思考】
想一想垂径定理的逆命题是什么？已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP.求证：CD⊥AB，=
师生共同归纳：定理1：
.探索:平分弧的直径垂直于弧所对的弦。已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，=求证：CD⊥AB归纳出：定理2：
。
新知讲解
提炼概念垂径定理的逆定理定理1：平分弦(不是直径)的直径_____________，并且____________________．定理2：平分弧的直径_____________弧所对的弦．垂直于弦,平分弦所对的弧,垂直平分注意：①直径(过圆心的直线)，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，以其中的两个为条件，一定能得出其他三个结论．典例精讲
例3
赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为
37.02
m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m,
求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m).
课堂练习
巩固训练1.判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
（
）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.
（
）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
（
）⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（
）⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（
）2.如图所示，AB是半圆的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D.已知BC＝8
cm，DE＝2
cm，则AB的长为______cm.3．如图，有一座石拱桥的桥拱是以O为圆心，OA为半径的一段圆弧．(1)请你确定弧AB的中点；(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)(2)如果已知石拱桥的桥拱的跨度(即弧所对的弦长)为24
m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为8
m，求桥拱所在圆的半径．4.某一公路隧道的形状如图所示，半圆拱的圆心距离地面2m，半径为1.5m.一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道吗?如果要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车也能顺利通过这个隧道，且不改变圆心到地面的距离，半圆拱的半径至少为多少米?
引入思考定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,
并且平分弦所对的弧.定理2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦.提炼概念典例精讲
例3
解：弧AB表示桥拱，设弧AB所在的圆的圆心为O，半径为R，C为AB的中点，连结OC，交弧AB于点D.∵C是弧AB的中点,∴OC就是拱高.∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51,OD=OC-DC=（R-7.23）.在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2
∴R2=18.512+(R-7.23)2,解得R≈27.31.答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m.巩固训练答案：
⑴×（2）√（3）?×（4）×（5）√?2.【解析】
E是的中点，OE交弦BC于点D，∴OE⊥BC，CD＝BD＝4
cm.设OB＝x
cm，则OD＝(x－2)cm.在Rt△ODB中，OD2＋BD2＝OB2，∴(x－2)2＋42＝x2，解得x＝5，2x＝10.3.解：(1)如图，点E即为所求．(2)由(1)知OE⊥AB，在Rt△AOD中，AB＝24
m，DE＝8
m，∴AD＝AB＝12(m)，设AO＝r
m，∴OD＝(r－8)m，∴r2＝122＋(r－8)2.解得：r＝13.4.解
如图，OB＝1.5，OA＝1.15，∵
AB2=OB2-OA2，∴
AB≈0.96m.∵
0.96+2＝2.96＜3,∴高为3m，宽为2.3m的集装箱车不能顺利通过.由题意,若OA＝1.15,AB＝4-2＝2,又∵AB2=OB2-OA2，∴OB≈2.31m.∴要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车能顺利通过,半圆拱半径至少为2.31m.
课堂小结
垂径定理的逆定理定理1：平分弦(不是直径)的直径_____________，并且____________________．定理2：平分弧的直径_____________弧所对的弦．垂直于弦,平分弦所对的弧,垂直平分注意：①直径(过圆心的直线)，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，以其中的两个为条件，一定能得出其他三个结论．
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3.3垂径定理（2）
浙教版
九年级上
新知导入
复习回顾
问题：
谁能说出垂径定理的内容？并说出这个定理的题设和结论.
定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
题设
结论
①CD为直径
②CD⊥AB
⑤CD平分弧ADB
③CD平分弦AB
④CD平分弧AB
合作学习
在⊙O内任取一点M,请你折出一条弦AB，使AB经过点M，并且AM=BM.
你能说说这样找的理由？
巧手来做一做
●O
●M
想一想
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
条件
结论1
结论2
逆命题1：平分弦的直径垂直于弦．
逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦．
垂径定理的逆命题是什么？
AB是⊙O的一条弦，且AM=BM．
过点M作直径CD．
右图是轴对称图形吗？
如果是，其对称轴是什么？
你能发现图中有哪些等量关系？
与同伴说说你的想法和理由．
如果AB是直径，结论还成立么？
探索规律
CD⊥AB
AC=BC
AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
CD是直径
AM=BM
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
C
D
O
M
A
B
┗
过点C作直径CD．
右图是轴对称图形吗？
如果是，其对称轴是什么？
你能发现图中有哪些等量关系？
说说你的想法和理由．
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．
⌒
⌒
⌒
AB是⊙O的一条弧，且AC=BC.
探索规律
CD⊥AB
AM=BM
AD=BD
⌒
⌒
CD是直径
AC=BC
⌒
⌒
C
D
O
M
A
B
┗
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
①
CD是直径,
③
AM=BM,
②
CD⊥AB,
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
如图,
对于一个圆和一条直线来说,如果在下列五个条件中:
（3）
（1）
（2）
（4）
（5）
（1）
（4）
（5）
（1）
（4）
（3）
（2）
（5）
（1）
（5）
（3）
（4）
（2）
（2）
（3）
●O
A
B
C
D
M└
提炼概念
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧
逆定理
定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
垂径定理
已知：⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点E，且AE=BE．
求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
⌒
⌒
⌒
⌒
证明：连结OA，OB，则OA=OB
∴△AOB是等腰三角形
∵AE=BE
∴CD⊥AB
（等腰三角形三线合一）
∴AD=BD，AC=BC
⌒
⌒
⌒
⌒
定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
平分弧的直径垂直于弧所对的弦.
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AC=BC
求证：CD⊥AB
⌒
⌒
证明：连结OA，OB，则AO=BO
∴△AOB是等腰三角形
∵AC=BC
⌒
⌒
∴∠AOC=∠BOC
∴CD⊥AB
定理2
典例精讲
新知讲解
例3
赵州桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为
37.02
m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m,
求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.01m).
OD=OC-DC=（R-7.23）(m).
在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2
∴R2=18.512+(R-7.23)2,
解得R≈27.31.
答:赵州桥的桥拱圆弧的半径约为27.31m.
AB=37.02m,CD=7.23m,
解：如图，用AB表示桥拱圆弧，设AB所在的圆的圆心为O，半径为R，C为AB的中点，连结OC，交AB于点D，就有OC垂直平分AB，
所以CD就是拱高.由题意，得
归纳概念
总结：
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
课堂练习
1.判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
（
）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.
（
）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
（
）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（
）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（
）
√
?
?
?
√
10
3．如图，有一座石拱桥的桥拱是以O为圆心，OA为半径的一段圆弧．(1)请你确定弧AB的中点；(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)
(2)如果已知石拱桥的桥拱的跨度(即弧所对的弦长)为24
m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为8
m，求桥拱所在圆的半径．
4.某一公路隧道的形状如图所示，半圆拱的圆心距离地面2m，半径为1.5m.一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道吗?如果要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车也能顺利通过这个隧道，且不改变圆心到地面的距离，半圆拱的半径至少为多少米?
解
如图，OB＝1.5，OA＝1.15，
∵
AB2=OB2-OA2，
∴
AB≈0.96m.
∵
0.96+2＝2.96＜3,
∴高为3m，宽为2.3m的集装箱
车不能顺利通过.
由题意,若OA＝1.15,AB＝4-2＝2,
又∵AB2=OB2-OA2，
∴OB≈2.31m.
∴要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车能顺利通过,半圆拱半径至少为2.31m.
O
B
A
课堂小结
垂径定理的逆定理
定理1：平分弦(不是直径)的直径_____________，并且____________________．
定理2：平分弧的直径_____________弧所对的弦．
垂直于弦
平分弦所对的弧
垂直平分
注意：①直径(过圆心的直线)，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，以其中的两个为条件，一定能得出其他三个结论．
圆
圆的轴对称性
垂径定理的逆定理
定理1
定理2
平分弦（不是直径）的直径__________，并且_______弦所对的弧
平分弧的直径_______
弧所对的弦
垂直于弦
平分
垂直平分
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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