(共8张PPT)
2.2一元二次方程的解法(2)
复习回顾
一元二次方程开平方法和配方法（a=1）解法的区别与联系.
开平方法：形如x2=b（b≥0）;（x－a）2=b（b≥0）。
配方法:①先把方程x2+bx+c=0移项得x2+bx=-c.
x2+bx+ = -c +
b
2
( )2
b
2
( )2
即： (x+ )2=
b
2
b2-4c
4
②方程两边同时加一次项系数一半的平方，得
③当 b2-4c>0 时，就可以通过开平方法求出方程的根.
做一做
解下列一元二次方程:
1.x2- 6x=- 8
2.x2- 8x- 4=0
3.- x2+5x+6=0
4.x2=10x - 30
例3 用配方法解下列一元二次方程
(1) 2x2+4x-3=0 (2) 3x2-8x-3=0
解：方程两边同除以2，得
解：方程两边同除以2，得
x2-8/3x-1=0
x2+2x-3/2=0
移项，得 x2+2x=3/2
移项，得 x2-8/3x=1
方程两边都加上1，得
方程两边都加上16/9，得
x2+2x+1=5/2
x2-8/3x+16/9=25/9
即：(x+1)2=5/2
即：（x-4/3)2=25/9
∴x- 4/3= 5/3 或x- 4/3=- 5/3
∴x1= 3 或x2= -1/3
∴x+1= 或x+1=-
5
5
∴x1= -1+ 或x2= -1-
5
5
用配方法解一元二次方程的基本步骤：
ax2+bx+c=0
4.用开平方法，解得答案。
1.方程两边同时除以a,得 x2+ x+ =0
b
a
c
a
2.移项，得 x2+ x= -
c
a
b
a
3.方程两边都加上( )2 ，得 x2+ x+( )2=
b
2a
b
2a
b
a
b2-4ac
4a2
练一练
1.用配方法解下列方程:
2x2+6x+3=0
2x2-7x+5=0
练一练
2.用配方法解下列方程:
0.2x2+0.4x=1
x2 - x - =0
- 3n=0
3
4
1
2
1
8
n(n-1)
2
用配方法解一元二次方程的基本步骤：
ax2+bx+c=0
4.用开平方法，解得答案。
1.方程两边同时除以a,得 x2+ x+ =0
b
a
c
a
2.移项，得 x2+ x= -
c
a
b
a
3.方程两边都加上( )2 ，得 x2+ x+( )2=
b
2a
b
2a
b
a
b2-4ac
4a2
小结(共17张PPT)
复习回顾
一元二次方程的一般式是怎样的？
（a≠0）
因式分解: 把一个多项式化成几个整式的积的形式
主要方法: (1)提取公因式法
(2)公式法: a2－b2=(a+b) (a－b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
请选择： 若a·b=0则 （ ）
（A）a=0； （B）b=0；
（C）a=0且b=0；（D）a=0或b=0
D
在学习因式分解时，我们已经知道，可以利用因式分解求出某些一元二次方程的解
请利用因式分解解下列方程：
（1）y2－3y＝0; (2) 4x2=9
像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。它的基本步骤是：
若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；
将方程的左边分解因式；
根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。
例2 解下列一元二次方程：
（1）（x－5) (3x－2)=10; (2) (3x－4)2=(4x－3)2.
解(1) 化简方程，得 3x2－17x=0.
将方程的左边分解因式，得 x(3x－17)=0,
∴x=0 ,或3x－17=0
解得 x1=0, x2=17／3
(2)移项，得 （3x－4)2－(4x－3)2=0.
将方程的左边分解因式，得
〔 (3x－4)+(4x－3)〕〔 (3x－4) －(4x－3)〕=0,
即 (7x－7) (-x－1)=0.
∴7x－7=0,或 -x－1=0.
∴x1=1, x2=-1
能用因式分解法解一元二次方程遇到类似例2这样的，移项后能直接因式分解就直接因式分解，否则移项后先化成一般式再因式分解.
用因式分解法解下列方程：
(1) 4x2=12x; (2) (x -2)(2x -3)=6;
(3) x2+9=-6x ; (4) 9x2=(x_1)2
(5)
例3 解方程x2=2√2x－2
解 移项，得 x2 －2√2x+2=0,
即 x2 －2 √2x+(√2)2=0.
∴(x －√2)2=0,
∴x1=x2=√2
1.解方程 x2－2√3x=-3
2.若一个数的平方等于这个数本身,
你能求出这个数吗(要求列出一
元二次方程求解)
辨一辨:下列解一元二次方程的方法对吗
解：
方程两边都除以 x，得 3x=1
解得
能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便.
因式分解法解一元二次方程的基本步骤
（1）将方程变形，使方程的右边为零；
（2）将方程的左边因式分解；
（3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转 化为解两个一元一次方程；
能用因式分解法解一元二次方程遇到类似例2这样的，
移项后能直接因式分解就直接因式分解，
否则移项后先化成一般式再因式分解.
作业:作业本(1)(共14张PPT)
工人师傅为了修屋顶，把一梯
子搁在墙上,梯子与屋檐的接触处到底端的长AB=5米,墙高AC=4米,问梯子底端点离墙的距离是多少
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
(1)方程x2=0.25的根是 ；
(2)方程2x2=18的根是 ；
(3)方程(x+1)2=1的根是 .
X1=0.5, x2=-0.5
X1=3, x2=-3
X1=0, x2=-2
用开平方法解下列方程:
(1)3x2－27=0;
(2)(x＋1)2=4
(3)(2x－3)2=7
你能用开平方法解下列方程吗
x2－10x＋16=0
(1)x2＋8x＋ =(x＋4)2
(2)x2－3x＋ =(x－ )2
(3)x2－12x＋ =(x－ )2
42
( )2
62
6
这种方程怎样解？
变形为
变形为
x2－10x+25=9
x2－10x+16=0
的形式．（ａ为非负常数）
把一元二次方程的左边配成一个完全
平方式,右边为一个非负常数,然后用
开平方法求解,这种解一元二次方程的方法
叫做配方法.
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边;
配方:方程两边都加上一次项系数
一半的平方;
开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
求解:解一元一次方程;
定解:写出原方程的解.
用配方法解下列方程:
(1)x2＋6x=1
(2)x2=6－5x
1.作业本1,3
2.课时特训1，3(共9张PPT)
用配方法解一元二次方程的步骤：
1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。
2.移项得 x2+px=-q
3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数一半的平方。
x2+px+( )2 = -q+( )2
4. 用直接开平方法解方程
(x+ )2= -q
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
解:把方程两边都除以 a,得x2 + x+ = 0
解得 x= - ±
∴当b2-4ac≥0时, x + =±
∵4a2＞0
即 ( x + )2 =
移项，得 x2 + x= -
即 x=
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
配方，得 x2 + x+( )2 =- +( )2
1、把方程化成一般形式并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
4、写出方程的解： x1= , x2=
3、代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
例1.用公式法解方程2x2-5x+3=0
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
练一练
求根公式 : X=
例2 用公式法解方程：
选择适当的方法解下列方程：
你能编一个有解的一元二次
方程吗？
试一试，考考你的同学吧！
鲜花为你盛开，你一定行！(共11张PPT)
交流合作
列出下列问题中关于未知数x的方程：
(1)、把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正方形和长方形两部分，求正方形的边长。
设正方形的边长为x，可列出方程
x
x
x
3
X2+3x=4
交流合作
（2）据国家统计局公布的数据，浙江省2007年全省实现生产总值6700亿元，2009年生产总值达9200亿元，求浙江省这两年实现生产总值的平均增长率。 设年平均增长率为x，可列出方程
2500
5000
7500
10000
2007
2008
2009
年份
生产总值（亿元）
9200
7670
6700
6700(1+x)2=9200
方程X2+3x=4和6700(1+x)2=9200的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样的方程叫做一元二次方程。
一元二次方程
①方程两边都是整式
②只含有一个未知数
③未知数的最高次数是2次
你能找到使X2+3x=4两边相等的x的值吗？
开启智慧
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或根）.
观察上面所列方程,说出这些方程与一元一次方程的相同与不同之处.
相同之处：(1)两边都是整式;(2)只含有一个未知数;不同之处：一元一次方程未知数的最高次数是1次，一元二次方程未知数的最高次数是2次.
X2+3x=4
6700(1+x)2=9200
趁热打铁
判断下列方程是否为一元二次方程：
① 10x2=9 ( ) ②2(x-1)=3x ( )
③2x2-3x-1=0 ( ) ④ ( )
⑤2xy-7=0 ( ) ⑥9x2=5-4x ( )
⑦4x2=5x ( ) ⑧3y2+4=5y ( )
1
x2
-
2
x
=0
√
√
√
√
×
×
×
√
下列方程中是一元二次方程的为( )
（A）、x2+3x=
（B）、2(X-1)+3x=2
（C）、x2=2+3x
（D）、x2+x3-4=0
2
x2
C
一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 的形式,我们把ax2+bx+c=0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
其中ax2，bx,c分别称为二次项，一次项，常数项，a,b分别称为二次项系数,一次项系数.
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
想一想
把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.
填空：
方程 一般式 二次项系数 一次项系数 常数项
X2-4x-3=0
0.5x2=√5
√2y-4y2=0
(2x)2=(x+1)2
X2-4x-3=0
1
-4
-3
0.5
0
0.5x2-√5 =0
-4y2 +√2y =0
-4
0
√2
3x2-2x-1=0
3
-2
-1
- √5
作业：
作业本1，2，3
课时特训1,2,3,4,6(共13张PPT)
一元二次方程的应用（2）
常见题型的等量关系：
行程问题：路程=时间X速度
工作问题：工作量=工作效率X工作时间
购物问题：总价=单价X数量
面积问题：面积=长X宽
如图1有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，
裁去角上四个小正方形之后，折成如图2那样的
无盖纸盒，若纸盒的底面积是450cm2，那么纸
盒的高是多少？
例题讲解
图 1
图2
（2）底面的长和宽能否用含x的代数式表示？
（3）你能找出题中的等量关系吗？你怎样列方程？
（1）若设纸盒的高为xcm，那么裁去的四个正方形
的边长为多少？
想一想
xcm
x
x
如图1有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，
裁去角上四个小正方形之后，折成如图2那样的
无盖纸盒，若纸盒的底面积是450cm2，那么纸
盒的高是多少？
25-2x
40-2x
O
N
如图，红点从O出发，以3米/秒的速度向东前进，经过t秒后，红点离O的距离ON= .
（1）
（2）
C
O
CO=40米，红点从C出发，其他条件不变，
经过t秒后，红点离O的距离ON= .
3t
|40-3t|
C
O
N
C
O
N
O
N
M
北
东
如图，蓝、红两点同时从O点出发，红点以3米/秒的速度向东前进，蓝点以2米/秒的速度向北前进，经过t秒后，两点的距离MN 是 （代数式表示）
（3）
一轮船以30 km/h的速度由西向东航行（如图），在途中接到台风警报，台风中心正以20 km/h的速度由南向北移动。已知距台风中心200 km的区域（包括边界）都属于受台风影响区。当轮船接到台风警报时，测得BC=500km，BA=300 km。
合作学习
（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方法来判断？
B
C
A
500km
200km
北
东
B
C
A
500km
200km
北
东
C1
B1
（2）如果你认为轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经多少时间就进入台风影响区？
（3）如果把航速改为10 Km/h ，结果怎样？
一轮船以30 km/h的速度由西向东航行（如图），在途中接到台风警报，台风中心正以20 km/h的速度由南向北移动。已知距台风中心200 km的区域（包括边界）都属于受台风影响区。当轮船接到台风警报时，测得BC=500km，BA=300 km。
合作学习
（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方法来判断？
B
C
A
500km
200km
北
东
C1
B1
（2）如果你认为轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经多少时间就进入台风影响区？
（3）如果把航速改为10 Km/h ，结果怎样？
一轮船以30 km/h的速度由西向东航行（如图），在途中接到台风警报，台风中心正以20 km/h的速度由南向北移动。已知距台风中心200 km的区域（包括边界）都属于受台风影响区。当轮船接到台风警报时，测得BC=500km，BA=300 km。
合作学习
（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方法来判断？
A
B1
C1
B
如图，在△ABC中，∠B=90o。点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动。如果P、Q分别从
A，B同时出发，经过
几秒， △ PBQ的面积
等于8cm2 ？
练习：
练习：
围绕长方形公园的栅栏长280m.已知该公园的面积为4800m2.求这个公园的长与宽.
练习：
如图，斜靠在墙上的一根竹竿长AB=6.5m，BC=2.5m，若A端沿垂直于地面的方向AC下滑1m，问B端将沿CB方向移动多少m？
A
B
C
练习：
如图，斜靠在墙上的一根竹竿长AB=6.5m，BC=2.5m，若A端沿垂直于地面的方向AC下滑1m，问B端将沿CB方向移动多少m？
A
B
C
A’
B’(共8张PPT)
一元二次方程的应用（1）
列方程解应用题的步骤有:
审
设
列
解
即审题，找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系。
设元，包括设直接未知数或间接未知数，以及用未知数字母的代数式表示其他相关量。
根据等量关系列出方程
解方程并检验根的准确性及是否符合实际意义并作答。
问题:
某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株
如果设每盆花苗增加的株数为x株呢？
解:设每盆花苗增加的株数为x株,则每盆花苗有______株,平均单株盈利为__________元.
由题意,得
(x+3)(3-0.5x)=10
解这个方程,得:x1=1, x2=2
(x+3)
(3-0.5x)
化简，整理，得 x2-3x+2=0
经检验，x1=1,x2=2都是方程的解，且符合题意.
答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应植入4株或5株.
练一练:
已知两个连续正奇数的积是63,利用一元二次方程求这两个数.
●
●
●
上网计算机总台数
(万台)
800
1600
2400
3200
年份
2000年1月1日
2000年12月31日
2001年12月31日
2002年12月31日
2003年12月31日
●
●
350
892
1254
2083
3089
2000年1月至2003年12月我国上网计算机总台数
问题1：截止2000年12月31日，我国的上网计算机总台数为892万台；截止2002年12月31日，我国的上网计算机总台数为2083万台；
（1）求2000年12月31日至2002年12月31日我国计算机上网总台数的年平均增长率（精确到0.1%）
●
●
●
上网计算机总台数
(万台)
800
1600
2400
3200
年份
2000年1月1日
2000年12月31日
2001年12月31日
2002年12月31日
2003年12月31日
●
●
350
892
1254
2083
3089
2000年1月至2003年12月我国上网计算机总台数
(2) 上网计算机总台数2001年12月31日至2003年12月31日与2000年12月31日至2002年12月31日相比,哪段时间年平均增长率较大
一审 二设 三列 四解 五检验并作答
小结
列一元二次方程解应用题基本步骤：
解答增长率问题时，特别是两年的平均增长率x,
与原量a,、现量b之间的关系：
a（1+x）*2=b
