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3.4圆心角（1）
学案
课题
3.4圆心角（1）
单元
第三单元
学科
数学
年级
九年级上册
学习目标
1．理解圆的中心对称性和旋转不变性；2．理解并掌握的圆心角的概念及圆心角定理；3．理解1°的弧的概念；4．会运用圆心角定理解决实际问题．
重点
重点是圆心角定理.
难点
根据圆的旋转不变性推出圆心角定理，需用到图形的旋转，是本节教学的难点.
教学过程
导入新课
【引入思考】
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度?，你能获得怎样的图形？这个角的大小与什么量有关？圆绕圆心旋转180°后仍与原来的圆重合.所以圆是
图形.圆心就是它的对称中心.如图中所示，∠NON
'就是一个圆心角.
归纳：圆心角：
。
新知讲解
辩一辩：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由．合作学习如图
，
在⊙O中，已知圆心角∠AOB
和圆心角
∠COD相等.
探索两个相等的圆心角所对的两段弧、两条弦之间有什么关系?归纳：圆心角定理：
。已知：如图，在⊙O中，
∠AOB
=∠COD.求证：弧AB=弧CD,AB=CD提炼概念圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．注意：去掉“在同圆或等圆中”结论不一定成立.如果以⊙O的圆心O为端点作
360
条射线，把以O为顶点的周角360等分，那么根据圆心角定理，这些射线也把圆360等分.每相邻两条射线所成的圆心角是1°的角，我们把
1°圆心角所对的弧叫做
的弧.
这样，
n°的圆心角所对的弧就是
的弧。典例精讲
例1、用直尺和圆规把⊙Ｏ四等分．例2
求证：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.
课堂练习
巩固训练1.下列命题中正确的是（
）A.相等的圆心角所对的弦相等B.相等的圆心角所对的弧相等C.相等的圆心角所对的弧的度数相等D.度数相等的两条弧相等2.如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，且∠AOC＝50°，作AE∥CD，交⊙O于E，则的度数为
(
)A．65°
B．70°
C．75°
D．80°3.如图，等边三角形ABC内接于⊙O.求AB，BC，AC的度数．
4.如图所示，已知AB，CD是⊙O的两条直径，AP是⊙O的弦，且AP∥CD，∠A＝70°，那么等于吗？说出你的理由．如果∠A＝α，该结论仍成立吗？5.如图，⊙O中，AB是直径，半径CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：＝2.答案：引入思考定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．①②③不是④是证明：设∠AOC=
α∵
∠AOB=
∠COD∴
∠BOD=
∠BOC+
∠COD
=
∠BOC+
∠AOB=
α将扇形AOB按顺时针方向旋转α角后，点A与点C重合，点B也与点D重合。根据圆的旋转的性质，弧AB与弧CD重合，弦AB也与弦CD重合。所以弧AB=弧CD，AB=CD提炼概念典例精讲
例1
作法：１、作⊙Ｏ的直径ＡＢ。 ２、过点Ｏ作ＣＤ⊥ＡＢ，交⊙Ｏ于
点Ｃ和点Ｄ.
点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ就把⊙Ｏ四等分.
例2
已知：如图，在⊙O中，∠AOB=∠COD，OE是弦AB的弦心距，OF是弦CD的弦心距.求证：OE=OF.证明
∵∠AOB=∠COD，∴AB=CD（圆心角定理）.∵OE⊥AB，∴AE=DF.又∵OA=OD，∴OE=OF.巩固训练1.答案：C2.答案：D3.解：∵
△ABC为等边三角形，∴
AB=AC=BC，∴
AB=BC=AC，又∵
AB+BC+AC=360°，∴
AB=BC=AC=120°．4.解：＝.理由如下：连结OP，则OP＝OA，∠P＝∠A＝70°.∵CD∥AP，∴∠BOD＝∠A＝70°，∠DOP＝∠P＝70°，∴∠BOD＝∠DOP，∴＝.当∠A＝α时，∠BOD＝∠DOP＝α，＝仍成立．5.证明：连结OE，∵AB⊥OC，DE∥AB，∴DE⊥OC，∴∠EDO＝90°，∵D为OC中点，∴OD＝OC＝OE，∴∠DEO＝30°，∴∠EOC＝90°－30°＝60°，∵OC⊥AB，∴∠AO
C＝90°，∴∠AOE＝90°－60°＝30°，即∠AOE＝30°，∠COE＝60°，∴＝2.
课堂小结
1.基本概念：圆心角的概念2.基本性质：①圆的轴对称性、中心对称性、旋转不变性
②圆心角定理
③弧的度数和它所对圆心角的度数相等.3.基本方法：
①在运用圆心角定理时，首先要考虑定理的前提.
②在求一些弧的度数时，往往先考虑求出这段弧所对的圆心角的度数.
③在同圆或等圆中，要说明两段弧或两段弦相等时，往往先考虑求出这段弧所对的圆心角相等.
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精品试卷·第
2
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3.4圆心角（1）
浙教版
九年级上
新知导入
情境引入
茶杯的盖子做成圆
形有什么好处呢？
合作学习
绕圆心转动一个圆，它会发生什么变化吗？圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
它是不会发生变化的，我们称之为“圆具有旋转不变性”。圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心.
.
O
A
B
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度?，
这个角的大小与什么量有关？
你能获得怎样的图形？
O
探索发现：
提炼概念
圆心角
所对的弧为
AB，
过点O作弦AB的垂线,
垂足
为M,
顶点在圆心的角,叫圆心角，
如
,
所对的弦为AB；
则垂线段OM的长度,即圆
心到弦的距离，叫弦心距
,
图1
中，OM为AB弦的弦心距。
O
A
B
M
图1
①②③不是
④是
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由．
如图
，
在⊙O中，已知圆心角∠AOB
和圆心角
∠COD相等.
探索两个相等的圆心角所对的两
段弧、两条弦之间有什么关系?
A
B
C
D
o
B
C
D
o
A
B
C
D
o
(C)
(D)
已知：如图，在⊙O中，
∠AOB
=∠COD.求证：AB=CD,AB=CD
证明：设∠AOC=
α
∵
∠AOB=
∠COD
∴
∠BOD=
∠BOC+
∠COD
=
∠BOC+
∠AOB=
α
将扇形AOB按顺时针方向旋转α角后，点A与点C重合，点B也与点D重合。
根据圆的旋转的性质，AB与CD重合，弦AB也与弦CD重合。所以AB=CD，AB=CD
归纳概念
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
圆心角定理
O
A
B
C
D
在⊙O中，
若圆心角∠AOB=∠COD，则
AB=CD，
AB=CD。
注意：去掉“在同圆或等圆中”结论不一定成立.
如果以⊙O的圆心O为端点作
360
条射线，把以O为顶点的周角360等分，那么根据圆心角定理，这些射线也把圆360等分.每相邻两条射线所成的圆心角是1°的角，我们把
1°圆心角所对的弧叫做1°的弧.
这样，
n°的圆心角所对的弧就是n°的弧.
弧的定义
性质:
弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
注意：弧既有度数又有长度!
问题：度数相等的弧相等吗?长度相等的弧相等吗?
典例精讲
新知讲解
例1、用直尺和圆规把⊙Ｏ四等分．
作法：１、作⊙Ｏ的直径ＡＢ。
２、过点Ｏ作ＣＤ⊥ＡＢ，交⊙Ｏ于
点Ｃ和点Ｄ.
点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ就把⊙Ｏ四等分.
A
B
C
D
分析：因为在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以要把圆四等分，只要把以圆心O为顶点的圆周角四等分，这只要作两条互相垂直的直径即可.
例2
求证：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.
已知：如图，在⊙O中，∠AOB=∠COD，OE是弦AB的弦心距，OF是弦CD的弦心距.
求证：OE=OF.
证明
∵∠AOB=∠COD，
∴AB=CD（圆心角定理）.
∵OE⊥AB，
∴AE=DF.
又∵OA=OD，
∴OE=OF.
条件
结论
在同圆或等圆中
圆心角相等
圆心角所对的弧相等
圆心角所对弦的弦心距相等
圆心角所对的弦相等
1.下列命题中正确的是（
）
A.相等的圆心角所对的弦相等
B.相等的圆心角所对的弧相等
C.相等的圆心角所对的弧的度数相等
D.度数相等的两条弧相等
C
课堂练习
课堂练习
A．65°
B．70°
C．75°
D．80°
D
3.如图，等边三角形ABC内接于⊙O.求AB，BC，AC的度数．
解：∵
△ABC为等边三角形，
∴
AB=AC=BC，
∴
AB=BC=AC，
又∵
AB+BC+AC=360°，
∴
AB=BC=AC=120°．
【点悟】
证明弧相等，常常证明它所对的圆心角相等．
1.基本概念：圆心角的概念
2.基本性质：①圆的轴对称性、中心对称性、旋转不变性
②圆心角定理
③弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
3.基本方法：
①在运用圆心角定理时，首先要考虑定理的前提.
②在求一些弧的度数时，往往先考虑求出这段弧所对的圆心角的度数.
③在同圆或等圆中，要说明两段弧或两段弦相等时，往往先考虑求出这段弧所对的圆心角相等.
课堂小结
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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3.4圆心角（1）
教案
课题
3.4圆心角（1）
单元
第三单元
学科
数学
年级
九年级（上）
学习目标
1．理解圆的中心对称性和旋转不变性；2．理解并掌握的圆心角的概念及圆心角定理；3．理解1°的弧的概念；4．会运用圆心角定理解决实际问题．
重点
重点是圆心角定理.
难点
根据圆的旋转不变性推出圆心角定理，需用到图形的旋转，是本节教学的难点.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
创设情景，引出课题圆绕圆心旋转
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)圆绕圆心旋转180°后仍与原来的圆重合.所以圆是中心对称图形.圆心就是它的对称中心.
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度?，你能获得怎样的图形？这个角的大小与什么量有关？定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．过点O作弦AB的垂线,
垂足为M,
则垂线段OM的长度,即圆心到弦的距离，叫弦心距
,
图1中，OM为AB弦的弦心距。辩一辩：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由．①②③不是④是思考：如图
，
在⊙O中，已知圆心角∠AOB
和圆心角
∠COD相等.
探索两个相等的圆心角所对的两
段弧、两条弦之间有什么关系?已知：如图，在⊙O中，
∠AOB
=∠COD.求证：弧AB=弧CD,AB=CD证明：设∠AOC=
α∵
∠AOB=
∠COD∴
∠BOD=
∠BOC+
∠COD
=
∠BOC+
∠AOB=
α将扇形AOB按顺时针方向旋转α角后，点A与点C重合，点B也与点D重合。根据圆的旋转的性质，弧AB与弧CD重合，弦AB也与弦CD重合。所以弧AB=弧CD，AB=CD二、提炼概念圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．注意：去掉“在同圆或等圆中”结论不一定成立.弧的定义：如果以⊙O的圆心O为端点作
360
条射线，把以O为顶点的周角360等分，那么根据圆心角定理，这些射线也把圆360等分.每相邻两条射线所成的圆心角是1°的角，我们把
1°圆心角所对的弧叫做1°的弧.
这样，
n°的圆心角所对的弧就是n°的弧.性质:
弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
思考自议通过理解圆的旋转不变性，理解圆心角定理；
转化思想，把圆心角、弧、弦、弦心距利用圆心角定理进行互相转化．
讲授新课
三、典例精讲例1、用直尺和圆规把⊙Ｏ四等分．作法：１、作⊙Ｏ的直径ＡＢ。 ２、过点Ｏ作ＣＤ⊥ＡＢ，交⊙Ｏ于
点Ｃ和点Ｄ.
点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ就把⊙Ｏ四等分. 例2
例2
求证：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.已知：如图，在⊙O中，∠AOB=∠COD，OE是弦AB的弦心距，OF是弦CD的弦心距.求证：OE=OF.证明
∵∠AOB=∠COD，∴AB=CD（圆心角定理）.∵OE⊥AB，∴AE=DF.又∵OA=OD，∴OE=OF.归纳：条件：在同圆或等圆中圆心角相等结论：圆心角所对的弧相等；圆心角所对的弦相等；圆心角所对弦的弦心距相等
经历探索圆的中心对称性和旋转不变性的过程。掌握“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”的定理
证明弦相等，往往转化为证明弧相等或圆心角相等．
课堂检测
巩固训练1.下列命题中正确的是（
）A.相等的圆心角所对的弦相等B.相等的圆心角所对的弧相等C.相等的圆心角所对的弧的度数相等D.度数相等的两条弧相等答案：C2.如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，且∠AOC＝50°，作AE∥CD，交⊙O于E，则的度数为
(
)A．65°
B．70°
C．75°
D．80°答案：D【解析】连结，BE，OE，∵AE∥CD
∴∠A＝∠AOC＝50°，∵AB是直径，∴∠AED＝90°，∠B＝40°，∴∠AOE＝80°，即的度数为80°3.如图，等边三角形ABC内接于⊙O.求AB，BC，AC的度数．
解：∵
△ABC为等边三角形，∴
AB=AC=BC，∴
AB=BC=AC，又∵
AB+BC+AC=360°，∴
AB=BC=AC=120°．4.如图所示，已知AB，CD是⊙O的两条直径，AP是⊙O的弦，且AP∥CD，∠A＝70°，那么等于吗？说出你的理由．如果∠A＝α，该结论仍成立吗？解：＝.理由如下：连结OP，则OP＝OA，∠P＝∠A＝70°.∵CD∥AP，∴∠BOD＝∠A＝70°，∠DOP＝∠P＝70°，∴∠BOD＝∠DOP，∴＝.当∠A＝α时，∠BOD＝∠DOP＝α，＝仍成立．5.如图，⊙O中，AB是直径，半径CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：＝2.证明：连结OE，∵AB⊥OC，DE∥AB，∴DE⊥OC，∴∠EDO＝90°，∵D为OC中点，∴OD＝OC＝OE，∴∠DEO＝30°，∴∠EOC＝90°－30°＝60°，∵OC⊥AB，∴∠AO
C＝90°，∴∠AOE＝90°－60°＝30°，即∠AOE＝30°，∠COE＝60°，∴＝2.
课堂小结
1.基本概念：圆心角的概念2.基本性质：①圆的轴对称性、中心对称性、旋转不变性
②圆心角定理
③弧的度数和它所对圆心角的度数相等.3.基本方法：
①在运用圆心角定理时，首先要考虑定理的前提.
②在求一些弧的度数时，往往先考虑求出这段弧所对的圆心角的度数.
③在同圆或等圆中，要说明两段弧或两段弦相等时，往往先考虑求出这段弧所对的圆心角相等.
O
A
B
M
图1
?
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