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3.5圆周角（1）
教案
课题
3.5圆周角（1）
单元
第三单元
学科
数学
年级
九年级（上）
学习目标
1．理解圆周角的概念；2．掌握圆周角定理及其推论，并能熟练地运用其进行论证和计算；3．通过圆周角定理的证明，了解分情况证明数学问题的思想方法．
重点
重点是圆周角定理.
难点
圆周角定理的证明要分三种情况讨论，有一定的难度，是本节教学的难点.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题如图,
已知足球比赛中球门PQ外有B1、B2、B3三点,你认为在哪一点位置对球门PQ的张角大?在图中,
∠B1、∠B2、∠B3有什么共同特征？
你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?圆周角定义:
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
角的顶点在圆上.角的两边都与圆相交.辩一辩：下列各图中，哪一个角是圆周角？(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)探究一AB所对的圆心角有一个，圆周角有无数个.探究1：如图，量出圆周角∠BAC与同弧上所对的圆心角∠BOC的度数，两者之间有什么关系？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)探究2
当点A在弧BEC上移动的过程中，∠BAC与圆心O有几种不同的位置关系？画一画
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)探究3：量一量每次变化后∠BAC的度数，你发现了什么？给出你的猜想?
并证明
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)猜想：∠BAC＝1/2∠BOC一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.证明猜想已知：如图，∠BOC和∠BAC分别是弧BC所对的圆心角和圆周角求证：∠BAC=∠BOC.证明：分三种情况进行证明圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。问题探究1.如图所示，若AB是⊙O的直径，则半圆ADB所对的圆心角是哪一个角？角度是多少？答：∠AOB，180°.2.
∠C是多少度？为什么？答：∠C=90°，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.3.
若已知∠C是直角，能否说明AB是⊙O的直径？为什么？答：若已知∠C是直角，则∠AOB=180°，所以点A,O,B在一条直线上，AB是⊙O的直径.二、提炼概念归纳：1.圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。2.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
思考自议圆周角必须具备的两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都与圆相交，二者缺一不可．
学生思考进行分类证明，最后得出圆周角定理.
讲授新课
三、典例精讲例1、如图
，等腰三
角形ABC
的顶角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠BAC
为
50°，以
腰AB为直径作半圆，交BC为点D，交AC于点E，求弧BD，弧DE和弧AE的度数.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)解：
连结BE，AD∵
AB是圆的直径∴∠AEB=∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角)∵∠BAC=50°∴∠ABE=90°-∠BAC=90°-50°=40°又∵△ABC是等腰三角形，
直径是构造直角的一个重要条件，一般是构造相关的弦，把直径所对的圆周角转化为90°的角，可以简单说成“有直径，造直角”．
增强学生观察和归纳总结的能力。
课堂检测
巩固训练1．如图所示，已知圆心角∠BOC＝78°，则圆周角∠BAC的度数是
(
)A．156°B．78°C．39°D．12°答案：A
2.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B处的读数分别为86°，30°，则∠ACB的大小为
(
)A．15°
B．28°C．29°
D．34°答案：B3.如图所示，弦AB把圆周分成1∶5的两个部分，那么弦AB所对的圆周角的度数是______________.【解析】
先求出的度数，再通过同弧所对的圆周角和圆心角的关系，求所对的圆周角的度数，分点在的劣弧和优弧上两种情形．当点P在劣弧上时，可知∠P＝150°，当点P，在优弧上时，可知∠P＝30°∴弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°.4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.(1)求证：AB＝AC；(2)若⊙O的半径为4，∠BAC＝60°，求DE的长．解：(1)连结AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵DC＝BD，∴AB＝AC.(2)∵∠BAC＝60°，又由(1)知AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．在Rt△BAD中，∠BAD＝30°，AB＝8，∴BD＝4，即DC＝4.又∵DE⊥AC，∴DE＝2.
课堂小结
1、圆周角的定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角.2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.3、圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
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O
B
C
A
A
A
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A
B
D
C
E
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3.5圆周角（1）
学案
课题
3.5圆周角（1）
单元
第三单元
学科
数学
年级
九年级上册
学习目标
1．理解圆周角的概念；2．掌握圆周角定理及其推论，并能熟练地运用其进行论证和计算；3．通过圆周角定理的证明，了解分情况证明数学问题的思想方法．
重点
重点是圆周角定理.
难点
圆周角定理的证明要分三种情况讨论，有一定的难度，是本节教学的难点.
教学过程
导入新课
【引入思考】
如图,
已知足球比赛中球门PQ外有B1、B2、B3三点,你认为在哪一点位置对球门PQ的张角大?在图中,
∠B1、∠B2、∠B3有什么共同特征？
仿照圆心角给圆周角下定义：圆周角：
；合作学习探究1：如图，量出圆周角∠BAC与同弧上所对的圆心角∠BOC的度数，两者之间有什么关系？探究2
当点A在弧BEC上移动的过程中，∠BAC与圆心O有几种不同的位置关系？画一画探究3：量一量每次变化后∠BAC的度数，你发现了什么？给出你的猜想?
并证明猜想：
。证明猜想已知：如图，∠BOC和∠BAC分别是弧BC所对的圆心角和圆周角求证：∠BAC=∠BOC.分类归纳：圆周角定理：
。问题探究1.如图所示，若AB是⊙O的直径，则半圆ADB所对的圆心角是哪一个角？角度是多少？答：∠AOB，180°.2.
∠C是多少度？为什么？答：∠C=90°，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.3.
若已知∠C是直角，能否说明AB是⊙O的直径？为什么？答：若已知∠C是直角，则∠AOB=180°，所以点A,O,B在一条直线上，AB是⊙O的直径.归纳：圆周角定理的推论：
。
新知讲解
提炼概念归纳：1.圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。2.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．典例精讲
例1、如图
，等腰三
角形ABC
的顶角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠BAC
为
50°，以
腰AB为直径作半圆，交BC为点D，交AC于点E，求弧BD，弧DE和弧AE的度数.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
课堂练习
巩固训练
1．如图所示，已知圆心角∠BOC＝78°，则圆周角∠BAC的度数是
(
)A．156°B．78°C．39°D．12°2.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B处的读数分别为86°，30°，则∠ACB的大小为
(
)A．15°
B．28°C．29°
D．34°3.如图所示，弦AB把圆周分成1∶5的两个部分，那么弦AB所对的圆周角的度数是______________.4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.(1)求证：AB＝AC；(2)若⊙O的半径为4，∠BAC＝60°，求DE的长．答案：引入思考圆周角定义:
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．提炼概念典例精讲
解：
连结BE，AD∵
AB是圆的直径∴∠AEB=∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角)∵∠BAC=50°∴∠ABE=90°-∠BAC=90°-50°=40°又∵△ABC是等腰三角形，巩固训练
1.答案：A2.答案：B3.30°或150°.4.解：(1)连结AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵DC＝BD，∴AB＝AC.(2)∵∠BAC＝60°，又由(1)知AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．在Rt△BAD中，∠BAD＝30°，AB＝8，∴BD＝4，即DC＝4.又∵DE⊥AC，∴DE＝2.
课堂小结
1、圆周角的定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角.2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.3、圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
A
B
D
C
E
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3.5圆周角（1）
浙教版
九年级上
新知导入
情境引入
如图,
已知足球比赛中球门PQ外有B1、B2、B3三点,
你认为在哪一点位置对球门PQ的张角大?
O
B1
B3
B2
P
Q
30°
30°
30°
在图中,
∠B1、∠B2、∠B3有什么共同特征？
即∠PB1Q、
∠PB2Q、
∠PB3Q
O
B1
B3
B2
P
Q
合作学习
你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?
①
角的顶点在圆上.
②
角的两边都与圆相交.
圆周角定义:
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征：
.
O
B
C
A
判断下列图形中的角是否是圆周角？并说明理由。
不是
不是
是
不是
不是
图１
图２
图３
图４
图５
探究一
O
B
C
A
A
A
AB所对的圆心角有一个，圆周角有无数个.
想一想
一个圆的圆心与圆周角在位置上可能有几种关系？请大家在练习本上画一画．
A
B
C
O
D
A
B
C
O
B
O
C
A
在这三个图中，哪个图形最特殊？其余两个可以转化成这个图形吗？
圆周角∠BAC和圆心角∠BOC所对的弧分别是哪一条?
探究二
命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如图，量出圆周角∠BAC与同弧上所对的圆心角∠BOC的度数，两者之间有什么关系？当点A在BEC上移动的过程中，∠BAC与圆心O有几种不同的位置关系？量一量每次变化后∠BAC的度数，你发现了什么？给出你的猜想?
并证明.
发现：∠BAC的度数保持不变，等于其对应圆心角的一半.
证明猜想
圆周角和圆心角的关系
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,
∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB，
∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
●O
A
B
C
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,
∴
∠ABD
+
∠CBD
=
（∠AOD+
∠COD）,
●O
A
B
C
D
如果圆心不在圆周角的一边上,
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,
过点B作直径BD.由1可得:
D
A
B
C
●O
1.如图所示，若AB是⊙O的直径，则半圆ADB所对的圆心角是哪一个角？角度是多少？
答：∠AOB，180°.
2.
∠C是多少度？为什么？
答：∠C=90°，一条弧所对的圆周角
等于它所对圆心角的一半.
问题探究
3.
若已知∠C是直角，能否说明AB是⊙O的直径？为什么？
答：若已知∠C是直角，则∠AOB=180°，所以点A,O,B在一条直线上，AB是⊙O的直径.
提炼概念
由此我们得到圆周角定理的一个推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角.
90°的圆周角所对的弦是直径.
圆周角的度数等于与它所对弧上的圆心角度数的一半.
圆周角定理
典例精讲
新知讲解
例1、如图
，等腰三角形ABC
的顶角∠BAC
为
50°，以
腰AB为直径作半圆，交BC为点D，交AC于点E，求BD，DE和AE的度数.
⌒
⌒
⌒
解：
连结BE，AD
∵
AB是圆的直径
∴∠AEB=∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角)
∵∠BAC=50°
∴∠ABE=90°-∠BAC=90°-50°=40°
又∵△ABC是等腰三角形，
⌒
⌒
⌒
A
B
D
C
E
课堂练习
1．如图所示，已知圆心角∠BOC＝78°，则圆周角∠BAC的度数是
(
)
C
A．156°
B．78°
C．39°
D．12°
【解析】
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B处的读数分别为86°，30°，则∠ACB的大小为
(
)
B
A．15°
B．28°
C．29°
D．34°
3.如图所示，弦AB把圆周分成1∶5的两个部分，那么弦AB所对的圆周角的度数是______________.
30°或150°
4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若⊙O的半径为4，∠BAC＝60°，求DE的长．
课堂小结
1、圆周角的定义：
2、圆周角定理：
顶点在圆上，两边都与圆相交的角.
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3、圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
