2021-2022学年浙教版九年级上 1.2二次函数的图象同步练习（含解析）

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浙教版九年级上
1.2二次函数的图象同步练习
一．选择题
1．（2021?鄞州区模拟）下列二次函数的图象的对称轴是y轴的是（　　）
A．y＝﹣（x+1）2+1
B．y＝（x﹣1）2+1
C．y＝﹣（x﹣1）2+1
D．y＝﹣x2+1
2．（2019秋?怀集县期末）抛物线y＝x2+2x+1的顶点坐标是（　　）
A．（0，﹣1）
B．（﹣1，1）
C．（﹣1，0）
D．（1，0）
3．（2020秋?拱墅区期末）若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（﹣2，﹣3），则必在该图象上的点还有（　　）
A．（﹣3，﹣2）
B．（2，3）
C．（2，﹣3）
D．（﹣2，3）
4．（2020秋?滨江区期末）将函数y＝4x2的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得函数图象表达式是（　　）
A．y＝4（x+2）2+3
B．y＝4（x﹣2）2﹣3
C．y＝4（x+2）2﹣3
D．y＝4（x﹣2）2+3
5．（2021?龙湾区二模）二次函数y＝x2+3x+2图象平移后经过点（2，18），则下列可行的平移方法是（　　）
A．向右平移1个单位，向上平移2个单位
B．向右平移1个单位，向下平移2个单位
C．向左平移1个单位，向上平移2个单位
D．向左平移1个单位，向下平移2个单位
6．（2020秋?江岸区校级月考）抛物线y＝x2+2kx﹣4k的顶点在x轴上，则k的值为（　　）
A．4
B．﹣4
C．0或4
D．0或﹣4
7．（2020秋?海淀区校级期末）如图，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+2（a≠0）与y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（2020秋?温州校级期末）已知A（m，2020），B（m+n，2020）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，则正数n＝（　　）
A．2
B．4
C．8
D．16
9．（2020秋?海曙区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③（a+c）2＞b2；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
二．填空题
10．抛物线y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1过原点，则a的值是　
　．
11．（2021?镇平县模拟）将抛物线y＝3x2﹣6x+4先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是　
　．
12．（2021春?栖霞区月考）将二次函数y＝x2+1的图象向右平移1个单位后再沿x轴翻折，得到的图象对应的函数表达式是　
　．
13．（2020秋?汉阳区校级月考）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式为　
　．
14．（2020?芜湖校级二模）将二次函数y＝﹣（x﹣k）2+k+1的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点恰好在直线y＝2x+1上，则k的值为　
　．
15．（2021?绵竹市模拟）函数y＝ax2+bx+c的三项系数分别为a、b、c，则定义[a，b，c]为该函数的“特征数”．如：函数y＝x2+3x﹣2的“特征数”是[1，3，﹣2]，函数y＝﹣x+4的“特征数”是[0，﹣1，4]．如果将“特征数”是[2，0，4]的函数图象向左平移3个单位，得到一个新的函数图象，那么这个新图象相应的函数表达式是　
　．
16．（2020?绵阳校级自主招生）如图，二次函数y＝ax2+mc（a≠0）的图象经过正方形ABOC的三个顶点，且ac＝﹣2，则m的值为　
　．
三．解答题（共6小题）
17．（2020?杭州模拟）在同一直角坐标系中画出二次函数y＝x2+1与二次函数y＝﹣x2﹣1的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
18．（2020秋?道里区校级月考）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．
（I）求二次函数的表达式．
（2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
19．（2020?温州）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
20．（2021?宁波）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
21．（2020秋?昆明期末）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0），D（1，0）两点，其中顶点为B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若该抛物线与y轴的交点为C，求△ABC的面积．
22．（2021?滨江区二模）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2﹣bx﹣a+b（a，b为常数，且a≠0）．
（1）当a＝1时，函数图象当对称轴为直线x＝2，求该函数当表达式．
（2）求证：该函数图象一定经过一个定点．
（3）若b﹣a＜0，点P（3，m）（m＜0）在该二次函数图象上，求证：a＜0．
答案与解析
一．选择题
1．（2021?鄞州区模拟）下列二次函数的图象的对称轴是y轴的是（　　）
A．y＝﹣（x+1）2+1
B．y＝（x﹣1）2+1
C．y＝﹣（x﹣1）2+1
D．y＝﹣x2+1
【解答】解：A、y＝﹣（x+1）2+1，对称轴是直线x＝﹣1，故此选项不合题意；
B、y＝（x﹣1）2+1，对称轴是直线x＝1，故此选项不合题意；
C、y＝﹣（x﹣1）2+1，对称轴是直线x＝1，故此选项不合题意；
D、y＝﹣x2+1对称轴是y轴，符合题意．
故选：D．
2．（2019秋?怀集县期末）抛物线y＝x2+2x+1的顶点坐标是（　　）
A．（0，﹣1）
B．（﹣1，1）
C．（﹣1，0）
D．（1，0）
【解答】解：∵y＝x2+2x+1＝（x+1）2
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，0），
故选：C．
3．（2020秋?拱墅区期末）若二次函数y＝ax2（a≠0）的图象过点（﹣2，﹣3），则必在该图象上的点还有（　　）
A．（﹣3，﹣2）
B．（2，3）
C．（2，﹣3）
D．（﹣2，3）
【解答】解：∵二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的对称轴为y轴，
∴点（﹣2，﹣3）关于对称轴的对称点为（2，﹣3），
∴点（2，﹣3）必在该图象上，
故选：C．
4．（2020秋?滨江区期末）将函数y＝4x2的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得函数图象表达式是（　　）
A．y＝4（x+2）2+3
B．y＝4（x﹣2）2﹣3
C．y＝4（x+2）2﹣3
D．y＝4（x﹣2）2+3
【解答】解：把抛物线y＝4x2向左平移2个单位得到抛物线y＝4（x+2）2的图象，再向下平移3个单位得到抛物线y＝4（x+2）2﹣3的图象，
故选：C．
5．（2021?龙湾区二模）二次函数y＝x2+3x+2图象平移后经过点（2，18），则下列可行的平移方法是（　　）
A．向右平移1个单位，向上平移2个单位
B．向右平移1个单位，向下平移2个单位
C．向左平移1个单位，向上平移2个单位
D．向左平移1个单位，向下平移2个单位
【解答】解：y＝x2+3x+2＝（x+）2﹣，
A、平移后的解析式为y＝（x+）2+，当x＝2时，y＝8，本选项不符合题意；
B、平移后的解析式为y＝（x+）2﹣，当x＝2时，y＝4，本选项不符合题意；
C、平移后的解析式为y＝（x+）2+，当x＝2时，y＝22，本选项不符合题意；
D、平移后的解析式为y＝（x+）2﹣，当x＝2时，y＝18，函数图象经过（2，18），本选项符合题意；
故选：D．
6．（2020秋?江岸区校级月考）抛物线y＝x2+2kx﹣4k的顶点在x轴上，则k的值为（　　）
A．4
B．﹣4
C．0或4
D．0或﹣4
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2kx﹣4k的顶点在x轴上，
∴＝0，
解得，k1＝0，k2＝﹣4，
故选：D．
7．（2020秋?海淀区校级期末）如图，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+2（a≠0）与y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵y＝ax+2，
∴b＝2，
∴一次函数图象与y轴的正半轴相交，
①当a＞0时，
则二次函数y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的图象开口向下，经过原点且对称轴为直线x＝﹣＝﹣＜0，
②当a＜0时，
则二次函数y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的图象开口向上，经过原点且对称轴为直线x＝﹣＝﹣＞0，
故D正确；
故选：D．
8．（2020秋?温州校级期末）已知A（m，2020），B（m+n，2020）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，则正数n＝（　　）
A．2
B．4
C．8
D．16
【解答】解：∵A（m，2020），B（m+n，2020）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，
∴2020＝﹣（x﹣h）2+2036，
解得x1＝h﹣4，x2＝h+4，
∴A（h﹣4，2020），B（h+4，2020），
∵m＝h﹣4，m+n＝h+4，
∴n＝8，
故选：C．
9．（2020秋?海曙区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③（a+c）2＞b2；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故此选项错误；
②由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故此选项正确；
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0；当x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c）2﹣b2＜0，
∴（a+c）2＜b2，故此选项错误；
④当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣＝1，
即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项正确．
故②④⑤正确．
故选：B．
二．填空题
10．抛物线y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1过原点，则a的值是　﹣1　．
【解答】解：把原点（0，0）代入抛物线解析式，得：
a2﹣1＝0，解得a＝1或﹣1，
又a﹣1≠0，即a≠1，
∴a＝﹣1．
11．（2021?镇平县模拟）将抛物线y＝3x2﹣6x+4先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是　（4，3）　．
【解答】解：∵y＝3x2﹣6x+4＝3（x﹣1）2+1，
∴抛物线y＝3x2﹣6x+4的顶点坐标为（1，1），
∴把点（1，1）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点的坐标为（4，3），
即新抛物线的顶点坐标为（4，3）．
故答案为（4，3）．
12．（2021春?栖霞区月考）将二次函数y＝x2+1的图象向右平移1个单位后再沿x轴翻折，得到的图象对应的函数表达式是　y＝﹣x2+2x﹣2　．
【解答】解：二次函数y＝x2+1的图象向右平移1个单位得到新的函数解析式为y＝（x﹣1）2+1，再将y＝（x﹣1）2+1沿x轴翻折得到新的函数解析式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣1＝﹣x2+2x﹣2，
故答案为：y＝﹣x2+2x﹣2
13．（2020秋?汉阳区校级月考）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式为　y＝﹣x2+2x+3[或y＝﹣（x﹣1）2+4]　．
【解答】解：∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴原抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），
令x＝0，则y＝3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），
∵抛物线绕与y轴的交点旋转180°，
∴所得抛物线的顶点坐标为（1，4），
∴所得抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3[或y＝﹣（x﹣1）2+4]．
故答案为：y＝﹣x2+2x+3[或y＝﹣（x﹣1）2+4]．
14．（2020?芜湖校级二模）将二次函数y＝﹣（x﹣k）2+k+1的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点恰好在直线y＝2x+1上，则k的值为　0　．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣k）2+k+1的顶点坐标为（k，k+1），
∴将y＝﹣（x﹣k）2+k+1的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位后顶点坐标为（k+1，k+3）．
根据题意，得k+3＝2（k+1）+1，
解得k＝0．
故答案是：0．
15．（2021?绵竹市模拟）函数y＝ax2+bx+c的三项系数分别为a、b、c，则定义[a，b，c]为该函数的“特征数”．如：函数y＝x2+3x﹣2的“特征数”是[1，3，﹣2]，函数y＝﹣x+4的“特征数”是[0，﹣1，4]．如果将“特征数”是[2，0，4]的函数图象向左平移3个单位，得到一个新的函数图象，那么这个新图象相应的函数表达式是　y＝2（x+3）2+4　．
【解答】解：∵“特征数”是[2，0，4]，
∴函数解析式为y＝2x2+4，
∴函数的顶点坐标为（0，4），
∵函数图象向左平移3个单位，
∴得到的新的函数图象的顶点坐标为（3，4），
∴函数表达式为y＝2（x+3）2+4．
故答案为：y＝2（x+3）2+4．
16．（2020?绵阳校级自主招生）如图，二次函数y＝ax2+mc（a≠0）的图象经过正方形ABOC的三个顶点，且ac＝﹣2，则m的值为　1　．
【解答】解：连接BC，如图，
根据题意得A（0，mc），即OA＝mc，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝BC，OA与BC互相垂直平分，
∴C点坐标为（，），
把C（，）代入y＝ax2+mc得a?（）2+mc＝，
整理得amc＝﹣2，
∵ac＝﹣2，
∴m＝1．
故答案为1．
三．解答题
17．（2020?杭州模拟）在同一直角坐标系中画出二次函数y＝x2+1与二次函数y＝﹣x2﹣1的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
【解答】解：如图：
，
（1）y＝x2+1与y＝﹣x2﹣1的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，
y＝x2+1与y＝﹣x2﹣1的不同点是：y＝x2+1开口向上，顶点坐标是（0，1），y＝﹣x2﹣1开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；
（2）性质的相同点：开口程度相同，不同点：y＝x2+1
当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；
y＝﹣x2﹣1当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．
18．（2020秋?道里区校级月考）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．
（I）求二次函数的表达式．
（2）求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；
故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）函数的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2，
当x＝2时，y＝x2﹣4x+3＝4﹣8+3＝﹣1，
故顶点坐标为（2，﹣1）．
19．（2020?温州）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
【解答】解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，
解得：；
（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，
把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y1＝6，
∴y2＝12﹣y1＝6，
∵y1＝y2，且对称轴为直线x＝2，
∴m＝4﹣5＝﹣1．
20．（2021?宁波）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【解答】解：（1）由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）．
∵对称轴为直线x＝2，
∴＝2．
解得a＝3；
（2）由（1）知，a＝3，则该抛物线解析式是：y＝x?﹣4x+3．
∴抛物线向下平移3个单位后经过原点．
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y＝x?﹣4x．
21．（2020秋?昆明期末）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0），D（1，0）两点，其中顶点为B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若该抛物线与y轴的交点为C，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0），D（1，0）两点，
∴．
解得：．
故该抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由抛物线解析式y＝﹣x2﹣2x+3，可得B（﹣1，4），C（0，3）．
如图，过点B作BE⊥x轴于点E，交直线AC于F，则点F的横坐标是﹣1．
∵直线AC经过点A（﹣3，0），C（0，3），
∴直线AC的解析式是y＝x+3．
把x＝﹣1代入y＝x+3，得y＝2．
则F（﹣1，2）．
∴BF＝2．
∴S△ABC＝BF?AO＝＝3．
22．（2021?滨江区二模）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2﹣bx﹣a+b（a，b为常数，且a≠0）．
（1）当a＝1时，函数图象当对称轴为直线x＝2，求该函数当表达式．
（2）求证：该函数图象一定经过一个定点．
（3）若b﹣a＜0，点P（3，m）（m＜0）在该二次函数图象上，求证：a＜0．
【解答】解：（1）把a＝1代入得，y＝x2﹣bx+b﹣1，
又∵二次函数的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得b＝4，
∴二次函数的关系式为y＝x2﹣4x+3；
（2）当x＝1时，y＝a﹣b﹣a+b＝0，
因此无论a、b取何值，二次函数的图象一定过（1，0），
即该函数图象一定经过一个定点（1，0）；
（3）∵点P（3，m）（m＜0）在该二次函数图象上，
∴m＝9a﹣3b﹣a+b＝8a﹣2b＜0，
即4a﹣b＜0①，
b﹣a＜0②，
①+②得，3a＜0，
即a＜0．
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