2021-2022学年浙教版九年级上 1.4二次函数的应用同步练习（含解析）

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浙教版九年级上
1.4二次函数的应用同步练习
一．选择题
1．（2020?平阳县二模）二次函数y＝x2+bx+c的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
4
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
5
…
则关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣3
B．x1＝﹣1，x2＝1
C．x1＝﹣1，x2＝3
D．x1＝﹣1，x2＝5
2．（2020秋?上虞区期末）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两实数根是（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝1
B．x1＝﹣1，x2＝2
C．x1＝﹣1，x2＝3
D．x1＝﹣1，x2＝0
3．（2021?宁波模拟）已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣
B．k≥﹣
C．k≥﹣且k≠0
D．k＞﹣且k≠0
4．（2020?富阳区一模）已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+＝0的根的情况是（　　）
A．无实数根
B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根
D．有两个同号不等实数根
5．（2020?市南区二模）已知抛物线y1＝x2+1与双曲线y2＝在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＞1
B．x＜0
C．x＜0或x＞1
D．x＜0或0＜x＜1
6．（2021?上城区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴正半轴交于A（p，0）和B（q，0）两点（点A在点B的左边），方程x＝ax2+bx+c（a＞0）的解为x＝m或x＝n（m＜n），则p，q，m，n的大小关系可能是（　　）
A．p＜q＜m＜n
B．m＜n＜p＜q
C．m＜p＜q＜n
D．p＜m＜n＜q
7．（2021?杭州一模）一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高是2.44m，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（　　）
A．10m
B．8m
C．6m
D．5m
8．（2021?宁波模拟）二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（　　）
A．0＜t＜5
B．﹣4≤t＜5
C．﹣4≤t＜0
D．t≥﹣4
9．（2020春?西湖区校级月考）对于二次函数y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3．下列说法正确的是（　　）
①对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点（1，2）和（3，0）两点；
②该函数图象与x轴必有交点；
③若k＜0，当x≥2时，y随x的增大而减小；
④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么k＝﹣1．
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
10．（2021?萧山区模拟）平面直角坐标系中有两条抛物线l1：y1＝ax2+bx+c与l2：y2＝cx2+bx+a，其中a＞c＞0．下列三个结论中：
①如果抛物线l1与x轴的一个交点为（m，0），那么（，0）是抛物线l2与x轴的一个交点；
②如果当x＞0时y1随x的增大而增大，那么当x＞0时y2也随x的增大而增大；
③如果y1＜y2，那么x的取值范围为﹣1＜x＜1．
其中正确结论是（　　）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
二．填空题
11．（2020秋?拱墅区期末）一个球从地面上竖直向上弹起时，距离地面的高度h（米）与经过的时间t（秒）满足的函数关系为h＝15t﹣5t2，则该球从弹起至回到地面的时间需　
　秒，它距离地面的最大高度为　
　米．
12．（2020?东阳市模拟）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于两点A（﹣2，p），B（5，q），则不等式ax2+mx+c≤n的解集是　
　．
13．（2021?宁波模拟）已知关于x的二次函数y＝x2﹣ax+a﹣1的图象与坐标轴有且只有2个公共点，则a＝　
　．
14．（2020?淮安模拟）若关于x的函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个交点，则实数k的值为　
　．
15．（2020?朝阳区校级一模）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加　
　m．
16．（2020秋?西湖区期末）设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有m个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有n个交点，则所有可能的数对（m，n）是　
　．
三．解答题
17．（2020秋?拱墅区期末）已知二次函数y＝（x+m）（x﹣1）的图象经过点（2，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）画出这个函数的图象，并利用图象解决下列问题：
①直接写出方程（x+m）（x﹣1）＝﹣3的解．
②当x满足什么条件时，y＞0．
18．（2021?金华）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
19．（2021春?西湖区校级期中）服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“五?一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？
（2）平均每天销售这种服装盈利能不能达到1500元？如果能达到，请计算应该降价多少元？如果不能，请说明为什么？
（3）要使平均每天销售这种服装盈利最多，那么每件服装应降价多少元？一天最多盈利多少元？
20．（2020秋?越城区期末）为优化迪荡湖公园的灯光布局，需要在一处岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的灯带在湖中围成了如图所示的①②③三块灯光喷泉的矩形区域，且要求这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
21．（2020秋?上城区期末）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（其中b，c是常数）．
（1）已知函数过点（2，3），求出b和c满足的关系式；
（2）若c＝1﹣b，求证：不论b为何值，该函数图象与x轴一定有交点；
（3）四位同学在研究此函数时，甲发现当x＝0时，y＝5；乙发现函数的最大值是9；丙发现函数图象的对称轴是直线x＝2；丁发现x＝4是方程﹣x2+bx+c＝0的一个根．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，请直接写出错误的那个同学是谁，并根据另三位同学的表述求出此函数表达式．
22．（2020?西湖区二模）已知二次函数（b，c是常数）与一次函数y2＝kx+c（k是常数，k≠0）．
（1）若y1的图象与x轴只有一个交点（2，0），求b，c的值；
（2）若y1的图象可由抛物线y＝ax2+2c（a是常数，a≠0）向左平移2个单位，向上平移1个单位得到，求出y1的函数关系式；
（3）若k+b＝3，当x≥4时，y1＜y2恒成立，求k的取值范围．
23．（2020?杭州模拟）已知二次函数y1＝ax2+bx+c．
（1）若二次函数y1的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），判定点D（2，2）是否在二次函数y1的图象上；
（2）一次函数y2＝ax+b+c经过二次函数y1的顶点．
①求二次函数y1的对称轴；
②当b＜0，1＜x＜2时，比较y1与y2的大小．
答案与解析
一．选择题
1．（2020?平阳县二模）二次函数y＝x2+bx+c的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
4
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
5
…
则关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣3
B．x1＝﹣1，x2＝1
C．x1＝﹣1，x2＝3
D．x1＝﹣1，x2＝5
【解答】解：∵x＝0时，y＝﹣3；x＝2时，y＝﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴x＝﹣1或x＝3时，y＝0，
∴关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3．
故选：C．
2．（2020秋?上虞区期末）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两实数根是（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝1
B．x1＝﹣1，x2＝2
C．x1＝﹣1，x2＝3
D．x1＝﹣1，x2＝0
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣＝1，
∴该函数图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两实数根是x1＝﹣1，x2＝3，
故选：C．
3．（2021?宁波模拟）已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣
B．k≥﹣
C．k≥﹣且k≠0
D．k＞﹣且k≠0
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，
∴，
∴k≥﹣且k≠0．
故选：C．
4．（2020?富阳区一模）已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+＝0的根的情况是（　　）
A．无实数根
B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根
D．有两个同号不等实数根
【解答】解：函数y＝ax2+bx+c向上平移个单位得到y′＝ax2+bx+c+，
而y′顶点的纵坐标为﹣2+＝﹣，
故y′＝ax2+bx+c+与x轴有两个交点，且两个交点在x轴的右侧，
故ax2+bx+c+＝0有两个同号不相等的实数根，
故选：D．
5．（2020?市南区二模）已知抛物线y1＝x2+1与双曲线y2＝在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＞1
B．x＜0
C．x＜0或x＞1
D．x＜0或0＜x＜1
【解答】解：由图可知，x＜0或x＞1时抛物线在双曲线上方，
所以，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜0或x＞1．
故选：C．
6．（2021?上城区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴正半轴交于A（p，0）和B（q，0）两点（点A在点B的左边），方程x＝ax2+bx+c（a＞0）的解为x＝m或x＝n（m＜n），则p，q，m，n的大小关系可能是（　　）
A．p＜q＜m＜n
B．m＜n＜p＜q
C．m＜p＜q＜n
D．p＜m＜n＜q
【解答】解：依据题意y＝ax2+bx+c的大致图象如下图所示，
在此基础上，作出直线y＝x的图象，设两个函数图象的交点为C、D，
则C、D的横坐标为m，n，
故m＜p＜q＜n，
故选：C．
7．（2021?杭州一模）一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高是2.44m，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（　　）
A．10m
B．8m
C．6m
D．5m
【解答】解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+3，
将（0，0）代入解析式得a＝，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣6）2+3，
当x＝10时，y＝，＜2.44，满足题意，
故选：A．
8．（2021?宁波模拟）二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（　　）
A．0＜t＜5
B．﹣4≤t＜5
C．﹣4≤t＜0
D．t≥﹣4
【解答】解：∵对称轴为直线x＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x，
关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，
∵﹣1＜x＜4，
∴二次函数y的取值为﹣4≤y＜5，
∴﹣4≤t＜5；
故选：B．
9．（2020春?西湖区校级月考）对于二次函数y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3．下列说法正确的是（　　）
①对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点（1，2）和（3，0）两点；
②该函数图象与x轴必有交点；
③若k＜0，当x≥2时，y随x的增大而减小；
④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么k＝﹣1．
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
【解答】解：∵y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝[kx﹣（k+1）]（x﹣3）＝[k（x﹣1）﹣1]（x﹣3），
∴对于任何满足条件的k，该二次函数的图象都经过点（1，2）和（3，0）两点，故①正确；
对于任何满足条件的k，该二次函数中当x＝3时，y＝0，即该函数图象与x轴必有交点，故②正确；
∵二次函数y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3的对称轴是直线x＝＝2+，
∴若k＜0，则2+＜2，该函数图象开口向下，
∴若k＜0，当x≥2时，y随x的增大而减小，故③正确；
∵y＝kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝[kx﹣（k+1）]（x﹣3）＝[k（x﹣1）﹣1]（x﹣3），
∴当y＝0时，x1＝+1，x2＝3，
∴若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，那么k＝±1，故④错误；
故选：A．
10．（2021?萧山区模拟）平面直角坐标系中有两条抛物线l1：y1＝ax2+bx+c与l2：y2＝cx2+bx+a，其中a＞c＞0．下列三个结论中：
①如果抛物线l1与x轴的一个交点为（m，0），那么（，0）是抛物线l2与x轴的一个交点；
②如果当x＞0时y1随x的增大而增大，那么当x＞0时y2也随x的增大而增大；
③如果y1＜y2，那么x的取值范围为﹣1＜x＜1．
其中正确结论是（　　）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【解答】解：将（m，0）代入y1＝ax2+bx+c得：0＝am2+bm+c，
∵c＞0，
∴m≠0，两边同除以m2得：0＝a+b+c?（）2，即是cx2+bx+a＝0的根，
∴（，0）是抛物线l2与x轴的一个交点，①正确；
∵当x＞0时y1随x的增大而增大，且a＞0（开口向上），
∴对称轴x＝﹣在y轴左侧，即﹣＜0，
∵a＞c＞0，
∴﹣＜0，即y2对称轴也在y轴左侧，开口向上，
∴当x＞0时y2也随x的增大而增大，②正确；
ax2+bx+c＜cx2+bx+a可得（a﹣c）x2＜a﹣c，
∵a＞c＞0，
∴x2＜1，即﹣1＜x＜1，③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是根据已知列出式子适当变形．
二．填空题
11．（2020秋?拱墅区期末）一个球从地面上竖直向上弹起时，距离地面的高度h（米）与经过的时间t（秒）满足的函数关系为h＝15t﹣5t2，则该球从弹起至回到地面的时间需　3　秒，它距离地面的最大高度为　　米．
【解答】解：在h＝15t﹣5t2中，令h＝0得：
15t﹣5t2＝0，
∴5t（3﹣t）＝0，
∴t1＝0，t2＝3，
∴该球从弹起至回到地面的时间需3﹣0＝3(秒)；
∵h＝15t﹣5t2
＝﹣5（t﹣）2+，
∴当t＝时，h有最大值，即它距离地面的最大高度为米．
故答案为：3，．
12．（2020?东阳市模拟）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于两点A（﹣2，p），B（5，q），则不等式ax2+mx+c≤n的解集是　﹣5≤x≤2　．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（5，q）两点，
∴﹣2m+n＝p，5m+n＝q，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（2，p），Q（﹣5，q）两点，
观察函数图象可知：当﹣5≤x≤2时，
直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，
∴不等式ax2+mx+c≤n的解集是﹣5≤x≤2．
故答案为﹣5≤x≤2．
13．（2021?宁波模拟）已知关于x的二次函数y＝x2﹣ax+a﹣1的图象与坐标轴有且只有2个公共点，则a＝　1或2　．
【解答】解：当a＝1时，y＝x2﹣ax+a﹣1＝x2﹣x，
该函数与坐标轴有2个交点，
当a≠1时，图象与坐标轴有且只有2个公共点，
则△＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）＝0，解得a＝2，
故答案为1或2．
14．（2020?淮安模拟）若关于x的函数y＝kx2+2x﹣1的图象与x轴仅有一个交点，则实数k的值为　0或﹣1　．
【解答】解：令y＝0，则kx2+2x﹣1＝0．
∵关于x的函数y＝kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，
∴关于x的方程kx2+2x﹣1＝0只有一个根．
①当k＝0时，2x﹣1＝0，即x＝，
∴原方程只有一个根，
∴k＝0符合题意；
②当k≠0时，△＝4+4k＝0，
解得，k＝﹣1．
综上所述，k＝0或﹣1．
故答案为：0或﹣1．
15．（2020?朝阳区校级一模）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加　（2﹣4）　m．
【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣2，0），
得：a＝﹣0.5，
所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：
﹣1＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±，
所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2﹣4，
故答案为：（2﹣4）．
16．（2020秋?西湖区期末）设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有m个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有n个交点，则所有可能的数对（m，n）是　（1，0）、（1，1）、（2，1）、（2，2）　．
【解答】解：（1）当m＝1时，则a＝b，
当ab≠0时，则y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1＝a2x2+2ax+1，则△＝4a2﹣4a2＝0，故n＝1，
当ab＝0时，同理函数的表达式为y＝1，则n＝0；
（2）当m＝2时，则a≠b，
当ab≠0时，则y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，则△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，故n＝2，
当ab＝0时，同理函数的表达式为y＝（a+b）x+1，则n＝1；
故答案为：（1，1）、（1，0）、（2，2）、（2，1）．
三．解答题
17．（2020秋?拱墅区期末）已知二次函数y＝（x+m）（x﹣1）的图象经过点（2，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）画出这个函数的图象，并利用图象解决下列问题：
①直接写出方程（x+m）（x﹣1）＝﹣3的解．
②当x满足什么条件时，y＞0．
【解答】解：（1）将点（2，﹣3）的坐标代入y＝（x+m）（x﹣1）并解得m＝﹣5，
故抛物线的表达式为y＝（x﹣5）（x﹣1）＝x2﹣6x+5；
（2）从函数的表达式看，函数的对称轴为x＝3，则点（2，﹣3）的对称点为（4，﹣3），抛物线和y轴的交点为（0，5），抛物线的x轴的交点为（1，0）、（5，0），
根据上述5个点描点、连线绘制函数图象如下：
①从图象看，y＝﹣3和抛物线的交点的横坐标为x＝2或4，
即方程（x+m）（x﹣1）＝﹣3的解为x＝2或4；
②从图象看，当x＜1或x＞5时，y＞0．
18．（2021?金华）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣（0﹣5）2+6＝，
∴点A的坐标为（0，），
∴雕塑高m．
（2）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+6＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同,
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
（3）当x＝10时，y＝﹣（10﹣5）2+6＝，
∴点（10，）在抛物线y＝﹣（x﹣5）2+6上．
又∵≈1.83＞1.8，
∴顶部F不会碰到水柱．
19．（2021春?西湖区校级期中）服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“五?一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
（1）要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？
（2）平均每天销售这种服装盈利能不能达到1500元？如果能达到，请计算应该降价多少元？如果不能，请说明为什么？
（3）要使平均每天销售这种服装盈利最多，那么每件服装应降价多少元？一天最多盈利多少元？
【解答】解：（1）设每件服装应降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
又∵要尽量减少库存，
∴x＝20．
答：每件服装应降价20元．
（2）不能，理由如下：
设每件服装应降价y元，则平均每天可售出（20+2y）件，
依题意得：（40﹣y）（20+2y）＝1500，
整理得：y2﹣30y+350＝0．
∵△＝（﹣30）2﹣4×1×350＝﹣500＜0，
∴该方程无实数根，
∴平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元．
（3）设每件服装应降价m元，平均每天销售这种服装盈利w元，则平均每天可售出（20+2m）件，
依题意得：w＝（40﹣m）（20+2m）＝﹣2m2+60m+800＝﹣2（m﹣15）2+1250．
∵a＝﹣2＜0，
∴当m＝15时，w取得最大值，最大值为1250．
答：要使平均每天销售这种服装盈利最多，那么每件服装应降价15元，一天最多盈利1250元．
20．（2020秋?越城区期末）为优化迪荡湖公园的灯光布局，需要在一处岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的灯带在湖中围成了如图所示的①②③三块灯光喷泉的矩形区域，且要求这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
【解答】解：（1）∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE＝2BE，
设BE＝FC＝am，则AE＝HG＝DF＝2am，
∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80，
∴a＝﹣x+10，3a＝﹣x+30，
∴y＝（﹣x+30）x＝﹣x2+30x，
∵a＝﹣x+10＞0，
∴x＜40，
则y＝﹣x2+30x（0＜x＜40）；
（2）∵y＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣＜0，
∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300平方米．
21．（2020秋?上城区期末）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（其中b，c是常数）．
（1）已知函数过点（2，3），求出b和c满足的关系式；
（2）若c＝1﹣b，求证：不论b为何值，该函数图象与x轴一定有交点；
（3）四位同学在研究此函数时，甲发现当x＝0时，y＝5；乙发现函数的最大值是9；丙发现函数图象的对称轴是直线x＝2；丁发现x＝4是方程﹣x2+bx+c＝0的一个根．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，请直接写出错误的那个同学是谁，并根据另三位同学的表述求出此函数表达式．
【解答】解：（1）将点（2，3）代入解析式，得﹣22+2b+c＝3，
则c＝7﹣2b；
（2）∵c＝1﹣b，
∴y＝﹣x2+bx﹣b+1，
则△＝b2+4（﹣b+1）＝b2﹣4b+4＝（b﹣2）2≥0，
∴不论b为何值，该函数图象与x轴一定有交点；
（3），
若甲正确，则c＝5；
若乙正确，则，即b2+4c＝36；
若丙正确，则，即b＝4；
若丁正确，则﹣42+4b+c＝0，即c＝16﹣4b；
假设甲和丙结论正确，则b2+4c＝42+4×5＝36，即乙结论也正确；
此时，c＝16﹣4b不成立，即丁结论错误；
依题意，假设成立，
∴y＝﹣x2+4x+5，
综上所述，丁结论错误，函数解析式为y＝﹣x2+4x+5．
22．（2020?西湖区二模）已知二次函数（b，c是常数）与一次函数y2＝kx+c（k是常数，k≠0）．
（1）若y1的图象与x轴只有一个交点（2，0），求b，c的值；
（2）若y1的图象可由抛物线y＝ax2+2c（a是常数，a≠0）向左平移2个单位，向上平移1个单位得到，求出y1的函数关系式；
（3）若k+b＝3，当x≥4时，y1＜y2恒成立，求k的取值范围．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴x＝﹣＝b＝2，
当x＝2时，y1＝x2+bx+c＝﹣2+4+c＝0，解得：c＝﹣2，
故b＝2，c＝﹣2；
（2）由题意得：a＝﹣，则y＝﹣（x+2）2+2c+1＝﹣x2﹣2x+2c﹣1＝﹣x2+bx+c，故2c﹣1＝c，解得：c＝1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+1；
（3）联立两个函数的表达式并整理得：x2＝2b﹣2kx，
解得：x＝0或2b﹣2k，
又∵k+b＝3，故两个函数的交点的横坐标为0或6﹣4k，
∴当6﹣4k＜4时，恒有y1＜y2；
∴k＞．
23．（2020?杭州模拟）已知二次函数y1＝ax2+bx+c．
（1）若二次函数y1的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），判定点D（2，2）是否在二次函数y1的图象上；
（2）一次函数y2＝ax+b+c经过二次函数y1的顶点．
①求二次函数y1的对称轴；
②当b＜0，1＜x＜2时，比较y1与y2的大小．
【解答】解：（1）∵二次函数y1的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），
∴图象的对称轴为直线x＝＝1，
∴C（0，2）关于对称轴的对称点是（2，2），
∴点D（2，2）在二次函数y1的图象上；
（2）①∵二次函数y1＝ax2+bx+c，
∴二次函数y1的顶点为（﹣，），
∵一次函数y2＝ax+b+c经过二次函数y1的顶点，
∴＝a?（﹣）+b+c，
∴b＝﹣2a，
∴﹣＝1，
∴二次函数y1的对称轴为直线x＝1；
②∵b＜0，
∴﹣2a＜0，即a＞0，
∴二次函数y1＝ax2+bx+c的图象开口向上，
∵b＜0，
∴c＞b+c，
∴直线y2＝ax+b+c与y的交点在抛物线与y轴交点的下方，如图，
由图象可知，当1＜x＜2时，y1＜y2．
（2）②方法二：
y1﹣y2＝ax2+bx+c﹣（ax+b+c）
＝ax（x﹣1）+bx（x﹣1）
＝x（a+b）（x﹣1），
∵b＝﹣2a，
∴y1﹣y2＝﹣ax（x﹣1），
∵1＜x＜2，a＞0，
∴y1﹣y2＜0，
∴y1＜y2．
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精品试卷·第
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