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3.5圆周角（2）
教案
课题
3.5圆周角（2）
单元
第三单元
学科
数学
年级
九年级（上）
学习目标
1．运用圆周角定理的推论进行计算；2．运用圆周角定理的推论进行证明．
重点
圆周角定理的推论．
难点
例3涉及圆内角，圆外角与圆周角的关系，思路较难形成，表述也有一定的困难，是本节教学的难点．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.∠ABC
=
∠AOC.问题
如左图,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为什么?归纳：圆周角定理的推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.做一做如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上.找出图中分别与∠1，∠2，∠3相等的角.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)解：∠1=∠DBA
∠2=∠CAB
∠3=∠CBD二、提炼概念圆周角定理的推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
思考自议利用在同一圆中同弧所对的圆周角相等，进行角与角之间的转化。
“作直径，造直角”，把一般三角形转化为直角三角形是解题常用的方法．
讲授新课
三、典例精讲例2
已知:
如图，三角形ABC内接于圆,
∠ACB=2∠ABC,点D平分弧AB.
求证:
AC=BD.证明:
连接CD∵
AD=BD（同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等）∴
∠ABC=∠BCD∴
AC=BD（同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等）∴
AC=BD例3
如图
，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角∠C＝
50°，问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区？
解：如图，∠ASB交圆于点E，点F，连接EB，由圆周角定理知，∠AEB=∠C=50°，而∠AEB是△SEB的一个外角，由∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区．
所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB＜50°．试一试：如图，AB是圆的一条弦，M是圆上一点，P是圆内一点，Q是圆外一点，点P，Q，M在直线AB同一侧。求证：(1)
∠APB>∠AMB
(2)
∠AQB<∠AMB证明：(1)∵∠AP’B=∠AMB
∠AP’B<∠APB
∴
∠APB>
∠AMB(2)∵∠AQ’B=∠AMB
∠AP’B>∠AQB
∴
∠AQB<∠AMB总结：某一条弦所在直线同侧的圆内角大于圆周角，圆外角小于圆周角.
利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，从不同的角度加以证明，同时用直径所对的圆周角是直角的推论，添加常用辅助线构建三角形全等，使问题得到解决．
增强学生观察和解决问题的能力。
课堂检测
巩固训练1．如图所示，△ABC内接于⊙O，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O
的直径为
(
)A.
B．2C．2
D．4答案：D【解析】
如图所示，作直径BD，连结AD，则∠BAD＝90°.∵∠C＝∠D＝30°，∴BA＝BD，即BD＝2AB＝4.一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°,则这个人工湖的直为
.答案：3.如图所示，AB，CD是⊙O的直径，DF，BE是弦，且DF＝BE，
求证：∠D＝∠B.【解析】
思路一：证明＝；思路二：证明△ODF≌△OBE；思路三：连结AE，CF，由∠A＝∠C，证明∠D＝∠B；思路四：作OM⊥DF，ON⊥BE，证明Rt△ODM≌Rt△OBN；思路五：连结BD，证明＝.证明：方法一：∵CD，AB是⊙O的直径，∴＝.∵FD＝EB，∴＝，∴－＝－，即＝，∴∠D＝∠B.方法二：如图所示，连结OF，OE.∵OF＝OD＝OB＝OE，又∵DF＝BE，∴△ODF≌△OBE，∴∠D＝∠B.方法三：如图所示，连结CF，AE，∵DF＝BE，∴＝，∴∠C＝∠A.∵CD，AB是⊙O的直径，∴∠F＝∠E＝90°，∴∠C＋∠D＝∠A＋∠B＝90°，∴∠D＝∠B.方法四：如图所示，过O点作OM⊥FD于M，ON⊥BE于N.∵DF＝BE，∴OM＝ON.∵OD＝OB，∴Rt△OMD≌Rt△ONB.∴∠D＝∠B.方法五：如图所示，连结DB.∵OD＝OB，∴∠1＝∠2.∴＝.∵DF＝BE，∴＝，∴＝，∴＋＝＋，即CF＝AE，∴∠D＝∠B.4.已知:四边形ABCD内接于圆,BD平分∠ABC,且AB∥CD.求证:BC=CD．证明：∵
BD平分∠ABC，∴
∠ABD=∠CBD．又∵
AB∥CD，∴
∠ABD=∠BDC，∴
∠CBD=∠BDC，∴
BC=CD．
课堂小结
(
(
(
(
A
B
C
O
A
B
C
D
O
圆周角定理的推论：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
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3.5圆周角（2）
学案
课题
3.5圆周角（2）
单元
第三单元
学科
数学
年级
九年级上册
学习目标
1．运用圆周角定理的推论进行计算；2．运用圆周角定理的推论进行证明．
重点
圆周角定理的推论．
难点
例3涉及圆内角，圆外角与圆周角的关系，思路较难形成，表述也有一定的困难，是本节教学的难点．
教学过程
导入新课
【引入思考】
圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
问题1如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A
,D
是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.问题2
如图，若，∠A与∠B相等吗？
想一想：反过来，若∠A=∠B，那么成立吗？圆周角定理的推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角
；相等的圆周角所对的弧也
.做一做如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上.找出图中分别与∠1，∠2，∠3相等的角.
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新知讲解
提炼概念典例精讲
例2
已知:
如图，三角形ABC内接于圆,
∠ACB=2∠ABC,点D平分弧AB.
求证:
AC=BD.例3
如图
，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角∠C＝
50°，问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区？
试一试：如图，AB是圆的一条弦，M是圆上一点，P是圆内一点，Q是圆外一点，点P，Q，M在直线AB同一侧。求证：(1)
∠APB>∠AMB
(2)
∠AQB<∠AMB
课堂练习
巩固训练
1．如图所示，△ABC内接于⊙O，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O
的直径为
(
)A.
B．2C．2
D．4一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°,则这个人工湖的直为
.3.如图所示，AB，CD是⊙O的直径，DF，BE是弦，且DF＝BE，
求证：∠D＝∠B.4.已知:四边形ABCD内接于圆,BD平分∠ABC,且AB∥CD.求证:BC=CD．答案：引入思考圆周角定理的推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.做一做：解：∠1=∠DBA
∠2=∠CAB
∠3=∠CBD提炼概念典例精讲
例2
证明:
连接CD∵
AD=BD（同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等）∴
∠ABC=∠BCD∴
AC=BD（同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等）∴
AC=BD例3解：如图，∠ASB交圆于点E，点F，连接EB，由圆周角定理知，∠AEB=∠C=50°，而∠AEB是△SEB的一个外角，由∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区．
所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB＜50°．试一试：证明：(1)∵∠AP’B=∠AMB
∠AP’B<∠APB
∴
∠APB>
∠AMB(2)∵∠AQ’B=∠AMB
∠AP’B>∠AQB
∴
∠AQB<∠AMB巩固训练
答案：D答案：3.证明：方法一：∵CD，AB是⊙O的直径，∴＝.∵FD＝EB，∴＝，∴－＝－，即＝，∴∠D＝∠B.方法二：如图所示，连结OF，OE.∵OF＝OD＝OB＝OE，又∵DF＝BE，∴△ODF≌△OBE，∴∠D＝∠B.方法三：如图所示，连结CF，AE，∵DF＝BE，∴＝，∴∠C＝∠A.∵CD，AB是⊙O的直径，∴∠F＝∠E＝90°，∴∠C＋∠D＝∠A＋∠B＝90°，∴∠D＝∠B.方法四：如图所示，过O点作OM⊥FD于M，ON⊥BE于N.∵DF＝BE，∴OM＝ON.∵OD＝OB，∴Rt△OMD≌Rt△ONB.∴∠D＝∠B.方法五：如图所示，连结DB.∵OD＝OB，∴∠1＝∠2.∴＝.∵DF＝BE，∴＝，∴＝，∴＋＝＋，即CF＝AE，∴∠D＝∠B.4.证明：∵
BD平分∠ABC，∴
∠ABD=∠CBD．又∵
AB∥CD，∴
∠ABD=∠BDC，∴
∠CBD=∠BDC，∴
BC=CD．
课堂小结
圆周角定理的推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
A
B
C
O
A
B
C
D
O
(
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3.5圆周角（2）
浙教版
九年级上
新知导入
复习回顾
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
∠B=∠D=∠E
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
A
B
C
D
E
F
若AB=CD，那么∠E=∠F吗？
O
B
A
C
D
E
问题
如左图,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为什么?
合作学习
提炼概念
圆周角定理的推论：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
相等的圆周角所对的弧也相等.
用于找相等的角
用于找相等的弧
A
D
C
O
B
2
3
1
做一做
如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上.找出图中分别与∠1，∠2，∠3相等的角.
解：∠1=∠DBA
∠2=∠CAB
∠3=∠CBD
典例精讲
新知讲解
例2
已知:
如图，三角形ABC内接于圆,
∠ACB=2∠ABC,点D平分弧AB.
求证:
AC=BD.
A
B
C
D
证明:
连接CD
（同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等）
∴
∠ABC=∠BCD
（同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等）
∵
AD=BD
(
(
∴
AC=BD
(
(
∴
AC=BD
A
B
C
D
例3
如图
，有一个弓形的暗礁区，弓形所在圆的圆周角∠C＝
50°，问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区？
分析
由于暗礁区的圆心位置没有标明，怎
样避开暗礁，可以从测量船到两个灯塔的张角
（∠ASB）去考虑.船与暗礁区的相对位置可以通过
∠ASB与∠ACB的大小关系来确定,请你自己写出求解过程.
解：如图，∠ASB交圆于点E，点F，连接EB，由圆周角定理知，∠AEB=∠C=50°，而∠AEB是△SEB的一个外角，由∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区．
所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB＜50°．
试一试：如图，AB是圆的一条弦，M是圆上一点，P是圆内一点，Q是圆外一点，点P，Q，M在直线AB同一侧。
求证：(1)
∠APB>∠AMB
(2)
∠AQB<∠AMB
总结：某一条弦所在直线同侧的圆内角大于圆周角，圆外角小于圆周角.
证明：(1)∵∠AP’B=∠AMB
∠AP’B<∠APB
∴
∠APB>
∠AMB
(2)∵∠AQ’B=∠AMB
∠AP’B>∠AQB
∴
∠AQB<∠AMB
课堂练习
1．如图所示，△ABC内接于⊙O，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O
的直径为
(
)
D
【点悟】
“作直径，造直角”，把一般三角形转化为直角三角形是解题常用的方法．
2.一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°,则这个人工湖的直为
.
A
B
C
O
3.如图所示，AB，CD是⊙O的直径，DF，BE是弦，且DF＝BE，
求证：∠D＝∠B.
方法四：如图(3)所示，过O点作OM⊥FD于M，ON⊥BE于N.
∵DF＝BE，∴OM＝ON.∵OD＝OB，∴Rt△OMD≌Rt△ONB.∴∠D＝∠B.
【点悟】
利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，从不同的角度加以证明，同时用直径所对的圆周角是直角的推论，添加常用辅助线构建三角形全等，使问题得到解决．
4.已知:四边形ABCD内接于圆,BD平分∠ABC,且AB∥CD.求证:BC=CD．
证明：∵
BD平分∠ABC，
∴
∠ABD=∠CBD．
又∵
AB∥CD，
∴
∠ABD=∠BDC，
∴
∠CBD=∠BDC，
∴
BC=CD．
A
B
C
D
O
课堂小结
1．圆周角定理的另一推论
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的__________相等；相等的圆周角所对的______也相等．
2．圆内角、圆外角与圆周角的关系
点在圆内：点位于弦所在直线的同侧的前提下，当点到弦的两端的张角_________弦所对的圆周角时，点在_________，即当∠AC1B>∠ACB时，点C1在圆内．
圆周角
弧
大于
圆内
点在圆上：当张角________弦所对的圆周角时，点在_________，即当∠AC2B＝∠ACB时，点C2在圆上．
点在圆外：当张角_________弦所对的圆周角时，点在_________，即当∠AC3B<∠ACB时，点C3在圆外．
等于
圆上
小于
圆外
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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