初中数学浙教版八年级上册1.3 证明 同步练习
一、单选题
1．（2021七下·合山月考）如图，BD平分∠ABC，若∠1=∠2，则（ ）
A．AB∥CD B．AD∥BC C．AD=BC D．AB=CD
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠3，
又∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴AD//BC。
故答案为：B.
【分析】 先根据角平分线的定义得出∠1=∠3，再结合已知条件得到∠2=∠3，最后由平行线的判定“内错角相等，两直线平行”得出答案。
2．（2021·陕西）如图，点D、E分别在线段 、 上，连接 、 .若 ， ， ，则 的大小为（ ）
A．60° B．70° C．75° D．85°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴在Rt△BEC中，由三角形内角和可得 ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】在Rt△BEC中，由三角形内角和可求得∠BEC的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可求解.
3．（2021·台州）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）.能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线
【答案】A
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短
【解析】【解答】解：两地距离显示的是两点之间的线段，因为两点之间线段最短，所以导航的实际可选路线都比两地距离要长，
故答案为：A.
【分析】利用两点之间线段最短，可得答案.
4．（2021·杭州）如图，设点P是直线 外一点，PQ⊥ ，垂足为点Q，点T是直线 上的一个动点，连结PT，则（ ）
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ
【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据点 是直线 外一点， ，垂足为点 ，
是垂线段，即连接直线外的点 与直线上各点的所有线段中距离最短，
当点 与点 重合时有 ，
综上所述： ，
故答案为：C.
【分析】利用垂线段最短，可得答案.
5．（2021·金华）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（ ）
如图，已知直线 .若 ，则 . 请完成下面的说理过程. 解：已知 ， 根据（内错角相等，两直线平行），得 . 再根据（ ※ ），得 .
A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同旁内角互补
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ （两直线平行，同位角相等）.
故答案为：C.
【分析】利用内错角相等，两直线平行，可证得l1∥l2，再利用两直线平行，同位角相等，可证得结论，由此可得答案.
6．（2021·武威）如图，直线 的顶点 在 上，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠ABC=90°，∠ABF=90°-∠CBF=90°-20°=70°，
∵ ，
∴∠ADE=∠ABF=70°.
故答案为：A.
【分析】利用三角形内角和∠ABF=90°-∠CBF=70°，根据平行线的性质得出∠ADE=∠ABF=70°.
7．（2021·连云港）如图，将矩形纸片 沿 折叠后，点D、C分别落在点 、 的位置， 的延长线交 于点G，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∵矩形纸片 沿 折叠，
∴∠DEF=∠GEF，
又∵AD//BC，
∴∠DEF=∠EFG，
∴∠DEF=∠GEF=∠EFG=64 ，
∵ 是△EFG的外角，
∴ =∠GEF+∠EFG=128
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质求出∠DEF=∠EFG，由折叠可得∠DEF=∠GEF，从而求出∠DEF=∠GEF=∠EFG=64 ，根据三角形的外角可得 =∠GEF+∠EFG，据此计算即可.
8．（2021·邯郸模拟）如图，现将一块三角板含有 角的顶点放在直尺的一边上，若 ，那么 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠3=∠2，
∵∠1=85°，
∴85°+60°+∠3=180°，
∴∠3=35°，
∴∠2=35°，
故答案为：B．
【分析】三角板与直尺结合，一定有隐含的平行和角度数。隐含了AB//CD，由平行找角的关系，可得∠3=∠2。注意本题中还有隐含的平角。
9．（2021七下·红桥期中）如图，点E在射线AB上，要AD BC，只需（ ）
A．∠A=∠CBE B．∠A=∠C
C．∠C=∠CBE D．∠A+∠D= 180°
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵ ∠A=∠CBE，
∴AD BC．
故答案为：A．
【分析】解题的关键理解平行线的判定的几种方法。
10．（2021七下·合山月考）如图，∠1=80°，∠2=80°，∠5=70°，则∠3的大小是（ ）
A．70° B．80° C．100° D．110°
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解： ∵∠1=80°，∠2=80°，
∴∠1=∠2，
∴a//b，
∵a//b，
∴∠5=∠3 ，∵∠5=70°，
∴∠3=70°，
故答案为：A.
【分析】先利用内错角相等，两直线平行判定，再利用两直线平行，同位角相等即可求解.
11．（2021七下·合山月考）如图，AB∥CD，BE交AD于点E，若∠B=18°，∠D=32°，则∠BED的度数为（ ）
A．18° B．32° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】 ∵AB∥CD且∠D=32°，
∴∠D=∠A=32°，
∵∠B=18°，
∴∠BED=∠A+∠B=32°+18°=50°，
故答案为：C
【分析】根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等），得出∠D=∠A=32°，再利用三角形外角的性质求出∠BED的度数。
12．（2021七下·余姚竞赛）如图，能判定DE∥BC的条件是（ ）
A．∠ABC+∠BAE=180 B．∠C=∠BAC
C．∠C+∠BAD=180 D．∠C=∠BAD
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、 ∠ABC+∠BAE=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得到 DE∥BC ；
B、 ∠C=∠BAC，不能得到 DE∥BC ；
C、∠C+∠BAD=180°，不能得到 DE∥BC ；
D、∠C=∠BAD，不能得到 DE∥BC 。
故答案为：A。
【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行），逐一判定即可。
13．（2021·官渡模拟）如图，直线 ，直线c与直线a，b分别交于A，B两点， 于点A，交直线b于点C，如果 ，那么 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵
∴∠ACB=90゜ ∠1=32゜
∵
∴∠2=∠ACB=32゜
故答案为：A．
【分析】根据题意，由直线平行的性质，求出∠2的度数即可。
14．（2021·南皮模拟）将一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠1=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：一副三角板所对应的角度是60°，45°，30°，90°，
由图可知：∠4=30°，∠2+∠3=90°，∠3=45°，
所以∠2=90°-45°=45°，
所以∠1=∠4+∠2=30°+45°=75°．
故答案为：D．
【分析】利用余角的性质以及三角形性质解答即可。
二、填空题
15．（2020九下·宝山期中）如图， ，那么 的度数为 ．
【答案】38°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AC∥BD，∠C＝72°，
∴∠DBC＝180°﹣72°＝108°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠ABD＝108°﹣70°＝38°．
故答案为：38°．
【分析】先求出∠DBC＝108°，再根据∠ABC＝70°计算求解即可。
16．（2021·镇雄模拟）如图，梯子的各条横档互相平行，若 ，则 ．
【答案】105°
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
又∵∠1-∠2=30°，
∴∠3=∠2+30°，即∠2=∠3-30°，
又∵∠3+∠2=180°，
∴∠3+∠3-30°=180°，
∴∠3=105°，
故答案为：105°．
【分析】根据两直线平行、同位角相等，可得∠1=∠3，即得∠2=∠1-30°=∠3-30°，由∠3+∠2=180°即可求出结论.
17．（2021·泰州模拟）如图，AB CD ，若∠B+∠D+∠BED=180°，则∠BED＝ .
【答案】90°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，
∴∠B+∠D=∠BED，
又∵∠B+∠D+∠BED=180°，
∴∠BED=90°，
故答案为：90°.
【分析】过E作EF∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CD∥EF，利用两直线平行，内错角相等可证得∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，由此可推出∠B+∠D=∠BED，代入计算可求出∠BED的度数.
18．（2021七下·余姚竞赛）将一把直尺和一块直角三角板如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是 度．
【答案】47
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；同位角
【解析】【解答】解：如图，过点C作CH∥DE交AB于H，
由题意得：∠ACB=90°，DE∥FG，
∴CH∥DE∥FG，
∴∠BCH=∠α=43°，
∴∠HCA=90°-∠BCH=47°，
∴∠β=∠HCA=47°．
故答案为：47
【分析】首先在图中标注关键的字母，再过点C作CH∥DE交AB于H，即可得CH∥DE∥FG，然后利用两直线平行，同位角相等与余角的性质，即可求得∠β的度数．
19．（2021·元阳模拟）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果 ，那么 的度数为 ．
【答案】28°
【知识点】平行线的判定与性质；三角形相关概念
【解析】【解答】解：
∵将直尺与三角尺叠放在一起，
∴AB//CD，∠EOF=90°，
∴∠2=∠3，
∵∠1+∠3=∠EOF=90°， ，
∴∠1=90°-62°=28°，
故答案为：28°
【分析】根据直角三角形的性质，计算得到角的度数即可。
20．（2021·南宁模拟）一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则∠ACE的度数为 °．
【答案】30
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥DC，
∴∠ACE=∠BAC=30°．
故答案为30．
【分析】利用平行线的性质可得∠ACE=∠BAC=30°．
21．（2021·嘉定模拟）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，如果被b反射出的光线n与光线m平行，且 ，那么 的度数为 ．
【答案】74°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=∠4=37°，
∴∠3=180°-37°-37°=106°，
∵m∥n，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-∠3=74°，
故答案为：74°．
【分析】根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠4=37°，再利用平角的定义得∠3=106°，然后利用两直线平行，同旁内角互补计算出∠2=74°．
22．（2021七下·沈河期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C＝26°，则∠DAE的度数为 ．
【答案】14°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣26°＝64°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝ ∠BAC＝ ×100°＝50°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝64°﹣50°＝14°．
故答案为14°．
【分析】利用垂直的定义得到∠ADC＝90°，再根据三角形内角和计算出∠CAD＝64°，接着利用角平分线的定义得到∠CAE＝50°，然后计算出∠CAD﹣∠CAE即可。
23．（2021·阳谷模拟）如图，直线l1∥l2，∠BAE＝125°，∠ABF＝85°，则∠1＋∠2= ．
【答案】30°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作 ，过点B作 ，如下图所示：
∵ ， ，
∴
∴
∴
故填： .
【分析】本题主要考查拐点型平行线的性质，熟练作出拐点型平行线的辅助线的是关键。过点A、B作l1的平行线，利用平行线的性质即可求解。
三、计算题
24．（2021七下·大兴期中）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠D与∠1互余，F是DE上一点，连接OF．
（1）求证：ED∥AB．
（2）若OF平分∠COD，∠OFD＝70°，求∠1的度数．
【答案】（1）证明：∵∠D与∠1互余，
∴∠D+∠1＝90°，
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠D+∠1+∠COD＝180°，
∴∠D+∠AOD＝180°，
∴ED∥AB；
（2）解：∵ED∥AB，
∴∠AOF＝∠OFD＝70°，
∵OF平分∠COD，
∴∠COF＝ ∠COD＝45°，
∴∠1＝∠AOF﹣∠COF＝25°．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠D+∠1＝90°， 再求出 ∠COD＝90°， 最后求解即可；
（2）先求出 ∠AOF＝∠OFD＝70°， 再求出 ∠COF＝ ∠COD＝45°， 最后求解即可。
25．（2021七下·大兴期中）在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD，AB∥DC，点E是射线CD上一个动点（不与C，D重合），过点E作EF∥AD，交直线AC于点F．
（1）如图，当点E在线段CD上时，求证：∠DEF＝∠DCB．
（2）若点E在线段CD的延长线上，用等式表示∠DEF与∠DCB之间的数量关系是 ．
【答案】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∵EF∥AD，
∴EF∥BC，
∴∠DEF＝∠DCB．
（2）∠DEF+∠DCB＝180°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】（2） 如图所示，
由（1）可知，AD∥BC，
∵EF∥AD，
∴EF∥BC，
∴∠DEF+∠DCB＝180°．
故答案为：∠DEF+∠DCB＝180°．
【分析】（1）先求出 ∠B+∠BCD＝180°， 再求出 AD∥BC， 最后求解即可；
（2）先求出 EF∥BC， 再根据平行的性质进行求解即可。
四、解答题
26．（2021七下·红桥期中）如图，EF//AD，∠1＝∠2，∠BAC＝82°，请将求∠AGD的过程填写完整．
解：因为EF//AD
所以∠2＝∠ ▲ （ ）
又因为∠1＝∠2
所以∠1＝∠3（
）
所以AB//
▲ （ ）
所以∠BAC+∠
▲ ＝180°（ ）
因为∠BAC＝82°
所以∠AGD＝
▲ °
【答案】解：∵EF//AD，
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3（等量代换），
∴AB//DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠DGA＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BAC＝82°，
∴∠AGD＝98°，
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】两直线平行，同位角相等。内角形相等，两直线平行。 两直线平行，同旁内角互补 。
27．（2021七下·红桥期中）如图，已知 AB∥ CD， ∠1 = ∠2，试说明： ∠E =∠F.
【答案】∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD，
又∵∠1=∠2，
∴∠CBE=∠BCF，
∴BE∥CF，
∴∠E=∠F.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】解题的关键是熟悉利用平行线的判定与性质进行推理。
28．（2021·武汉模拟）如图，四边形 中， ，点 在 边上， 于点 ， ，求证： .
【答案】证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用统一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得BD∥EF，利用二直线平行，同位角相等可得到∠BDC=∠2，结合已知得∠1=∠BDC，然后利用内错角相等，两直线平行可证得结论.
五、综合题
29．（2021七下·红桥期中）问题情境
（1）如图1，已知 ，求 的度数．佩佩同学的思路：过点 作 ，进而 ，由平行线的性质来求 ，求得 ；
（2）问题迁移
图2，图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合 与 相交于点 ，有一动点 在边 上运动，连接 ，记 ．
①如图2，当点 在 两点之间运动时，请直接写出 与 之间的数量关系；
②如图3，当点 在 两点之间运动时， 与 之间有何数量关系？请判断并说明理由．
【答案】（1）80
（2）①如图2，
过点P作FD的平行线PQ，
则DF∥PQ∥AC，
∴∠α=∠EPQ，∠β=∠APQ，
∴∠APE=∠EPQ+∠APQ=∠α+∠β，
∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE=∠α+∠β；
②如图3，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE=∠β-∠α；理由：
过P作PQ∥DF，
∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠β=∠QPA，∠α=∠QPE，
∴∠APE=∠APQ-∠EPQ=∠β-∠α．
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质
【解析】【解答】（1）过点P作PG∥AB，则PG∥CD，
由平行线的性质可得∠B+∠BPG=180°，∠C+∠CPG=180°，
又∵∠PBA=125°，∠PCD=155°，
∴∠BPC=360°-125°-155°=80°，
故答案为：80；
【分析】两直线平行，内错角相等。 如果两条直线平行于第三条直线，那么这两条直线也平行 。
30．（2021七下·浑源期中）已知：三角形ABC和三角形DEF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C，且 ，其中 ， ， ，点E、F均落在直线MN上．
（1）如图1，当点C与点E重合时，求证： ；聪明的小丽过点C作 ，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程．
（2）将三角形DEF沿着NM的方向平移，如图2，求证： ；
（3）将三角形DEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点 ，画出平移后的三角形DEF，并回答问题，若 ，则 ．（用含 的代数式表示）
【答案】（1）解：过点C作 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明： ， ，
又 ，
，
，
，
，
，
；
（3）如图三角形DEF即为所求作三角形．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）如图三角形DEF即为所求作三角形．
∵ ，
∴ ，
由（2）得，DE∥AC，
∴∠DEF=∠ECA= ，
∵ ，
∴∠ACB= ，
∴ ，
∴∠A=180°- = ．
故答案为为： ．
【分析】（1）过点C作 ， ，再根据， ，得到 ，进而得出 ，最后证明 ；
（2）先证明 ，再证明 ，得到，问题得证；
（3）根据题意得到 ，由（2）得，∠DEF=∠ECA= ，进而得到 ，根据三角形内角和即可求解。
1 / 1初中数学浙教版八年级上册1.3 证明 同步练习
一、单选题
1．（2021七下·合山月考）如图，BD平分∠ABC，若∠1=∠2，则（ ）
A．AB∥CD B．AD∥BC C．AD=BC D．AB=CD
2．（2021·陕西）如图，点D、E分别在线段 、 上，连接 、 .若 ， ， ，则 的大小为（ ）
A．60° B．70° C．75° D．85°
3．（2021·台州）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）.能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线
4．（2021·杭州）如图，设点P是直线 外一点，PQ⊥ ，垂足为点Q，点T是直线 上的一个动点，连结PT，则（ ）
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ
5．（2021·金华）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（ ）
如图，已知直线 .若 ，则 . 请完成下面的说理过程. 解：已知 ， 根据（内错角相等，两直线平行），得 . 再根据（ ※ ），得 .
A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同旁内角互补
6．（2021·武威）如图，直线 的顶点 在 上，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2021·连云港）如图，将矩形纸片 沿 折叠后，点D、C分别落在点 、 的位置， 的延长线交 于点G，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·邯郸模拟）如图，现将一块三角板含有 角的顶点放在直尺的一边上，若 ，那么 的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021七下·红桥期中）如图，点E在射线AB上，要AD BC，只需（ ）
A．∠A=∠CBE B．∠A=∠C
C．∠C=∠CBE D．∠A+∠D= 180°
10．（2021七下·合山月考）如图，∠1=80°，∠2=80°，∠5=70°，则∠3的大小是（ ）
A．70° B．80° C．100° D．110°
11．（2021七下·合山月考）如图，AB∥CD，BE交AD于点E，若∠B=18°，∠D=32°，则∠BED的度数为（ ）
A．18° B．32° C．50° D．60°
12．（2021七下·余姚竞赛）如图，能判定DE∥BC的条件是（ ）
A．∠ABC+∠BAE=180 B．∠C=∠BAC
C．∠C+∠BAD=180 D．∠C=∠BAD
13．（2021·官渡模拟）如图，直线 ，直线c与直线a，b分别交于A，B两点， 于点A，交直线b于点C，如果 ，那么 的度数为（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·南皮模拟）将一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠1=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
15．（2020九下·宝山期中）如图， ，那么 的度数为 ．
16．（2021·镇雄模拟）如图，梯子的各条横档互相平行，若 ，则 ．
17．（2021·泰州模拟）如图，AB CD ，若∠B+∠D+∠BED=180°，则∠BED＝ .
18．（2021七下·余姚竞赛）将一把直尺和一块直角三角板如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是 度．
19．（2021·元阳模拟）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果 ，那么 的度数为 ．
20．（2021·南宁模拟）一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则∠ACE的度数为 °．
21．（2021·嘉定模拟）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，如果被b反射出的光线n与光线m平行，且 ，那么 的度数为 ．
22．（2021七下·沈河期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C＝26°，则∠DAE的度数为 ．
23．（2021·阳谷模拟）如图，直线l1∥l2，∠BAE＝125°，∠ABF＝85°，则∠1＋∠2= ．
三、计算题
24．（2021七下·大兴期中）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠D与∠1互余，F是DE上一点，连接OF．
（1）求证：ED∥AB．
（2）若OF平分∠COD，∠OFD＝70°，求∠1的度数．
25．（2021七下·大兴期中）在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD，AB∥DC，点E是射线CD上一个动点（不与C，D重合），过点E作EF∥AD，交直线AC于点F．
（1）如图，当点E在线段CD上时，求证：∠DEF＝∠DCB．
（2）若点E在线段CD的延长线上，用等式表示∠DEF与∠DCB之间的数量关系是 ．
四、解答题
26．（2021七下·红桥期中）如图，EF//AD，∠1＝∠2，∠BAC＝82°，请将求∠AGD的过程填写完整．
解：因为EF//AD
所以∠2＝∠ ▲ （ ）
又因为∠1＝∠2
所以∠1＝∠3（
）
所以AB//
▲ （ ）
所以∠BAC+∠
▲ ＝180°（ ）
因为∠BAC＝82°
所以∠AGD＝
▲ °
27．（2021七下·红桥期中）如图，已知 AB∥ CD， ∠1 = ∠2，试说明： ∠E =∠F.
28．（2021·武汉模拟）如图，四边形 中， ，点 在 边上， 于点 ， ，求证： .
五、综合题
29．（2021七下·红桥期中）问题情境
（1）如图1，已知 ，求 的度数．佩佩同学的思路：过点 作 ，进而 ，由平行线的性质来求 ，求得 ；
（2）问题迁移
图2，图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合 与 相交于点 ，有一动点 在边 上运动，连接 ，记 ．
①如图2，当点 在 两点之间运动时，请直接写出 与 之间的数量关系；
②如图3，当点 在 两点之间运动时， 与 之间有何数量关系？请判断并说明理由．
30．（2021七下·浑源期中）已知：三角形ABC和三角形DEF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C，且 ，其中 ， ， ，点E、F均落在直线MN上．
（1）如图1，当点C与点E重合时，求证： ；聪明的小丽过点C作 ，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程．
（2）将三角形DEF沿着NM的方向平移，如图2，求证： ；
（3）将三角形DEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点 ，画出平移后的三角形DEF，并回答问题，若 ，则 ．（用含 的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠3，
又∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴AD//BC。
故答案为：B.
【分析】 先根据角平分线的定义得出∠1=∠3，再结合已知条件得到∠2=∠3，最后由平行线的判定“内错角相等，两直线平行”得出答案。
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴在Rt△BEC中，由三角形内角和可得 ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】在Rt△BEC中，由三角形内角和可求得∠BEC的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可求解.
3．【答案】A
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短
【解析】【解答】解：两地距离显示的是两点之间的线段，因为两点之间线段最短，所以导航的实际可选路线都比两地距离要长，
故答案为：A.
【分析】利用两点之间线段最短，可得答案.
4．【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据点 是直线 外一点， ，垂足为点 ，
是垂线段，即连接直线外的点 与直线上各点的所有线段中距离最短，
当点 与点 重合时有 ，
综上所述： ，
故答案为：C.
【分析】利用垂线段最短，可得答案.
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ （两直线平行，同位角相等）.
故答案为：C.
【分析】利用内错角相等，两直线平行，可证得l1∥l2，再利用两直线平行，同位角相等，可证得结论，由此可得答案.
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠ABC=90°，∠ABF=90°-∠CBF=90°-20°=70°，
∵ ，
∴∠ADE=∠ABF=70°.
故答案为：A.
【分析】利用三角形内角和∠ABF=90°-∠CBF=70°，根据平行线的性质得出∠ADE=∠ABF=70°.
7．【答案】A
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∵矩形纸片 沿 折叠，
∴∠DEF=∠GEF，
又∵AD//BC，
∴∠DEF=∠EFG，
∴∠DEF=∠GEF=∠EFG=64 ，
∵ 是△EFG的外角，
∴ =∠GEF+∠EFG=128
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质求出∠DEF=∠EFG，由折叠可得∠DEF=∠GEF，从而求出∠DEF=∠GEF=∠EFG=64 ，根据三角形的外角可得 =∠GEF+∠EFG，据此计算即可.
8．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠3=∠2，
∵∠1=85°，
∴85°+60°+∠3=180°，
∴∠3=35°，
∴∠2=35°，
故答案为：B．
【分析】三角板与直尺结合，一定有隐含的平行和角度数。隐含了AB//CD，由平行找角的关系，可得∠3=∠2。注意本题中还有隐含的平角。
9．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵ ∠A=∠CBE，
∴AD BC．
故答案为：A．
【分析】解题的关键理解平行线的判定的几种方法。
10．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解： ∵∠1=80°，∠2=80°，
∴∠1=∠2，
∴a//b，
∵a//b，
∴∠5=∠3 ，∵∠5=70°，
∴∠3=70°，
故答案为：A.
【分析】先利用内错角相等，两直线平行判定，再利用两直线平行，同位角相等即可求解.
11．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】 ∵AB∥CD且∠D=32°，
∴∠D=∠A=32°，
∵∠B=18°，
∴∠BED=∠A+∠B=32°+18°=50°，
故答案为：C
【分析】根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等），得出∠D=∠A=32°，再利用三角形外角的性质求出∠BED的度数。
12．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、 ∠ABC+∠BAE=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得到 DE∥BC ；
B、 ∠C=∠BAC，不能得到 DE∥BC ；
C、∠C+∠BAD=180°，不能得到 DE∥BC ；
D、∠C=∠BAD，不能得到 DE∥BC 。
故答案为：A。
【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行），逐一判定即可。
13．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵
∴∠ACB=90゜ ∠1=32゜
∵
∴∠2=∠ACB=32゜
故答案为：A．
【分析】根据题意，由直线平行的性质，求出∠2的度数即可。
14．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：一副三角板所对应的角度是60°，45°，30°，90°，
由图可知：∠4=30°，∠2+∠3=90°，∠3=45°，
所以∠2=90°-45°=45°，
所以∠1=∠4+∠2=30°+45°=75°．
故答案为：D．
【分析】利用余角的性质以及三角形性质解答即可。
15．【答案】38°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AC∥BD，∠C＝72°，
∴∠DBC＝180°﹣72°＝108°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠ABD＝108°﹣70°＝38°．
故答案为：38°．
【分析】先求出∠DBC＝108°，再根据∠ABC＝70°计算求解即可。
16．【答案】105°
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
又∵∠1-∠2=30°，
∴∠3=∠2+30°，即∠2=∠3-30°，
又∵∠3+∠2=180°，
∴∠3+∠3-30°=180°，
∴∠3=105°，
故答案为：105°．
【分析】根据两直线平行、同位角相等，可得∠1=∠3，即得∠2=∠1-30°=∠3-30°，由∠3+∠2=180°即可求出结论.
17．【答案】90°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，
∴∠B+∠D=∠BED，
又∵∠B+∠D+∠BED=180°，
∴∠BED=90°，
故答案为：90°.
【分析】过E作EF∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CD∥EF，利用两直线平行，内错角相等可证得∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，由此可推出∠B+∠D=∠BED，代入计算可求出∠BED的度数.
18．【答案】47
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；同位角
【解析】【解答】解：如图，过点C作CH∥DE交AB于H，
由题意得：∠ACB=90°，DE∥FG，
∴CH∥DE∥FG，
∴∠BCH=∠α=43°，
∴∠HCA=90°-∠BCH=47°，
∴∠β=∠HCA=47°．
故答案为：47
【分析】首先在图中标注关键的字母，再过点C作CH∥DE交AB于H，即可得CH∥DE∥FG，然后利用两直线平行，同位角相等与余角的性质，即可求得∠β的度数．
19．【答案】28°
【知识点】平行线的判定与性质；三角形相关概念
【解析】【解答】解：
∵将直尺与三角尺叠放在一起，
∴AB//CD，∠EOF=90°，
∴∠2=∠3，
∵∠1+∠3=∠EOF=90°， ，
∴∠1=90°-62°=28°，
故答案为：28°
【分析】根据直角三角形的性质，计算得到角的度数即可。
20．【答案】30
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥DC，
∴∠ACE=∠BAC=30°．
故答案为30．
【分析】利用平行线的性质可得∠ACE=∠BAC=30°．
21．【答案】74°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=∠4=37°，
∴∠3=180°-37°-37°=106°，
∵m∥n，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-∠3=74°，
故答案为：74°．
【分析】根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠4=37°，再利用平角的定义得∠3=106°，然后利用两直线平行，同旁内角互补计算出∠2=74°．
22．【答案】14°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣26°＝64°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝ ∠BAC＝ ×100°＝50°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝64°﹣50°＝14°．
故答案为14°．
【分析】利用垂直的定义得到∠ADC＝90°，再根据三角形内角和计算出∠CAD＝64°，接着利用角平分线的定义得到∠CAE＝50°，然后计算出∠CAD﹣∠CAE即可。
23．【答案】30°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作 ，过点B作 ，如下图所示：
∵ ， ，
∴
∴
∴
故填： .
【分析】本题主要考查拐点型平行线的性质，熟练作出拐点型平行线的辅助线的是关键。过点A、B作l1的平行线，利用平行线的性质即可求解。
24．【答案】（1）证明：∵∠D与∠1互余，
∴∠D+∠1＝90°，
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠D+∠1+∠COD＝180°，
∴∠D+∠AOD＝180°，
∴ED∥AB；
（2）解：∵ED∥AB，
∴∠AOF＝∠OFD＝70°，
∵OF平分∠COD，
∴∠COF＝ ∠COD＝45°，
∴∠1＝∠AOF﹣∠COF＝25°．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠D+∠1＝90°， 再求出 ∠COD＝90°， 最后求解即可；
（2）先求出 ∠AOF＝∠OFD＝70°， 再求出 ∠COF＝ ∠COD＝45°， 最后求解即可。
25．【答案】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∵EF∥AD，
∴EF∥BC，
∴∠DEF＝∠DCB．
（2）∠DEF+∠DCB＝180°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】（2） 如图所示，
由（1）可知，AD∥BC，
∵EF∥AD，
∴EF∥BC，
∴∠DEF+∠DCB＝180°．
故答案为：∠DEF+∠DCB＝180°．
【分析】（1）先求出 ∠B+∠BCD＝180°， 再求出 AD∥BC， 最后求解即可；
（2）先求出 EF∥BC， 再根据平行的性质进行求解即可。
26．【答案】解：∵EF//AD，
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3（等量代换），
∴AB//DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠DGA＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BAC＝82°，
∴∠AGD＝98°，
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】两直线平行，同位角相等。内角形相等，两直线平行。 两直线平行，同旁内角互补 。
27．【答案】∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD，
又∵∠1=∠2，
∴∠CBE=∠BCF，
∴BE∥CF，
∴∠E=∠F.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】解题的关键是熟悉利用平行线的判定与性质进行推理。
28．【答案】证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用统一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得BD∥EF，利用二直线平行，同位角相等可得到∠BDC=∠2，结合已知得∠1=∠BDC，然后利用内错角相等，两直线平行可证得结论.
29．【答案】（1）80
（2）①如图2，
过点P作FD的平行线PQ，
则DF∥PQ∥AC，
∴∠α=∠EPQ，∠β=∠APQ，
∴∠APE=∠EPQ+∠APQ=∠α+∠β，
∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE=∠α+∠β；
②如图3，∠APE与∠α，∠β之间的数量关系为∠APE=∠β-∠α；理由：
过P作PQ∥DF，
∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠β=∠QPA，∠α=∠QPE，
∴∠APE=∠APQ-∠EPQ=∠β-∠α．
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质
【解析】【解答】（1）过点P作PG∥AB，则PG∥CD，
由平行线的性质可得∠B+∠BPG=180°，∠C+∠CPG=180°，
又∵∠PBA=125°，∠PCD=155°，
∴∠BPC=360°-125°-155°=80°，
故答案为：80；
【分析】两直线平行，内错角相等。 如果两条直线平行于第三条直线，那么这两条直线也平行 。
30．【答案】（1）解：过点C作 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明： ， ，
又 ，
，
，
，
，
，
；
（3）如图三角形DEF即为所求作三角形．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）如图三角形DEF即为所求作三角形．
∵ ，
∴ ，
由（2）得，DE∥AC，
∴∠DEF=∠ECA= ，
∵ ，
∴∠ACB= ，
∴ ，
∴∠A=180°- = ．
故答案为为： ．
【分析】（1）过点C作 ， ，再根据， ，得到 ，进而得出 ，最后证明 ；
（2）先证明 ，再证明 ，得到，问题得证；
（3）根据题意得到 ，由（2）得，∠DEF=∠ECA= ，进而得到 ，根据三角形内角和即可求解。
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