初中数学浙教版八年级上册2.2 等腰三角形 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·宜州期末）若等腰三角形的周长是 ，其中一边长为 ，则腰长是（ ）
A． B． C． 或 D．无法确定
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：若10cm为等腰三角形的腰长，则底边长为22-10-10=2（cm），
此时三角形的三边长分别为10cm，10cm，2cm，符合三角形的三边关系；
若10cm为等腰三角形的底边，则腰长为（22-10）÷2=6（cm），此时三角形的三边长分别为6cm，6cm，10cm，符合三角形的三边关系；
∴该等腰三角形的腰长为6cm或10cm，
故答案为：C.
【分析】根据 一边长为10cm是底边还是腰分类讨论，进而根据三角形三边关系判断能否围成三角形即可.
2．（2020八上·长沙月考）下列各组数据能作为一个等腰三角形各边长的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】根据已知题意等腰三角形首先排除B选项，根据三角形三边关系两边之和大于第三边，因此A、D不符合题意
故答案选C.
【分析】根据等腰三角形性质：腰相等及三角形的三边的关系逐项判定即可。
3．（2021八下·罗湖期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，并且DE∥AB，则△CDE的周长为（ ）
A．20cm B．12cm C．13cm D．14cm
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC＝10cm，AD平分∠BAC，
∴CD＝BD＝4（cm），AD⊥BC，
∵点E为AC的中点，
∴CE＝DE＝ AC＝5（cm），
∴△CDE的周长＝CE+CD+DE＝14（cm），
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质可得：CD＝BD＝4（cm），AD⊥BC，再利用直角三角形斜边上的中线的性质得到CE＝DE＝ AC＝5，最后利用三角形的周长计算即可。
4．（2021·越城模拟）如图，已知 ，以点B为圆心， 长为半径画弧，交腰 于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
由作图可知：BE=BC，
∴∠ACB=∠BEC，
∴∠ABC=∠ACB=∠BEC，
∴∠BAC=∠EBC，
而题中无条件可证明BC=EC，AE=BE，∠EBC=∠ABE，
故答案为：C.
【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项.
5．（2021九下·南海月考）已知等腰三角形的两条中位线的长分别为3和5，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．22 B．26 C．22或26 D．13
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：等腰三角形的两条中位线长分别为3和5，
根据三角形中位线定理可知，等腰三角形的两边长为6和10，
当腰为10时，则三边长为10，10，6时，周长为26；
当腰为6时，则三边长为6，6，10时，周长为22，
故答案为：C．
【分析】根据三角形中位线定理求出等腰三角形的两边长，分腰为10、腰为6两种情况，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
6．（2021八上·日喀则期末）等腰三角形的一个内角是80°，则它的另外两个角的度数是（ ）
A．80°、20° B．50°、50°
C．80°、50° D．80°、20°或50°、50°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当80°的角是顶角，则两个底角是50°、50°；
②当80°的角是底角，则顶角是20°，故另外两个角为20°，80°.
故答案为：D.
【分析】80°的角可作底角，也可作顶角，故分两种情况进行计算即可.
7．（2021八上·鞍山期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点
∴∠B＝∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD＝∠CAD（故C正确）
无法得到AB＝2BD，（故D不正确）.
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，BC＝2BD,根据等边对等角得出∠B＝∠C，据此逐一判断即可.
8．（2021八上·天心期末）如图，已知AB＝AC，AD是△ABC的高，下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠B＝60° B．∠B＝∠C
C．∠BAD＝∠CAD D．BD＝CD
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD是△ABC的高，
∴AD平分∠BAC，BC＝2BD＝2CD，
∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，
∴B、C、D都是正确的，
故答案为：A.
【分析】根据等边对等角得出∠B=∠C，进而根据等腰三角形的三线合一得出∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，从而即可判断得出答案.
9．（2021八上·铜仁期末）等腰三角形的一个内角为120°，则底角的度数为（ ）
A．30° B．40° C．60° D．120°
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形中，一个内角为120°，而三内角的和为180°，
∴该内角为顶角，
设顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则有∠B=∠C，
∵∠A=120°，∴∠B=∠C= =30°，
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形性质即可直接得出答案.
10．（2021八上·施秉期末）如图，在△ABC中，AB＝20 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以A为顶点的等腰三角形时，运动的时间是（ ）
A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设运动时间是x秒，
由题意可得BP=3xcm，AQ=2xcm，
∴AP=(20-3x)cm，
∵△APQ是以A为顶点的等腰三角形，
∴AP=AQ，
∴20-3x=2x，
解得x=4，
故答案为：D.
【分析】设运动时间是x秒，由题意可得AP=(20-3x)cm，AQ=2xcm，根据等腰三角形的定义得到AP=AQ，列式计算即可.
11．（2020八上·永年期末）甲，乙两位同学用尺规作“过直线l外一点C作直线l的垂线”时，第一步两位同学都以C为圆心，适当长度为半径画弧，交直线l于D，E两点（如图）；第二步甲同学作∠DCE的平分线所在的直线，乙同学作DE的中垂线．则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲的画法正确 B．只有乙的画法正确
C．甲，乙的画法都正确 D．甲，乙的画法都错误
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵CD＝CE，
∴∠DCE的平分线垂直DE，DE的垂直平分线过点C，
∴甲，乙的画法都符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用等腰三角形的三线合一可判断甲乙的画法都正确．
12．（2021八上·江干期末）一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：根据等腰三角形的三线合一的性质，可得三边相等，则对这个三角形最准确的判断是正三角形.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质进行解答即可.
13．（2021八上·北海期末）如图，在 中， ， 是 的中点，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点，
∴∠B=∠C（故A正确）
∠1=∠2（故C正确）
AD⊥BC（故D正确）
无法得到AB=2BD，（故B不正确）.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的三线合一，两底角相等即可一一判断得出答案.
14．（2020八上·商城月考）如图，在 中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若 的面积为12，则图中阴影部分的面积为（ ）.
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
是等腰三角形
∵AD⊥BC，
∴AD是边BC上的中线，即BD=CD，
∴ ，
∵
∴ ；
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质得出BD=CD，根据等底同高的三角形面积相等，可得，根据同底等高的三角形面积相等，可得，利用，即得结论.
15．（2020八上·嘉祥月考）在等腰三角形ABC中，∠A=70°，则∠C的度数不可能是（ ）
A．40° B．55° C．65° D．70°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：在等腰三角形中，若∠A为顶角，∵∠A=70° ，∴∠B=∠C=（180°-70°）÷2=55°；
若∠B为顶角，∴∠C=∠A=70°；
若∠C为顶角，∠C=180°-70°-70°=40°
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质，进行分类讨论，得到答案即可。
16．（2021·扬州）如图，在 的正方形网格中有两个格点A、B，连接 ，在网格中再找一个格点C，使得 是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个.
故共有3个点，
故答案为：B.
【分析】分两种情况：①AB为等腰直角△ABC底边时，②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，据此分别求解即可.
二、填空题
17．（2021八上·淮安期末）等腰三角形的两边长分别为2 cm和4 cm，则这个三角形的周长为 cm
【答案】10
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）若2为腰长，4为底边长，由于2+2=4，则三角形不存在；
（2）若4为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边.
所以这个三角形的周长为4+4+2=10.
故答案为：10.
【分析】分两种情况讨论，即当腰为2时，当腰为4时，首先根据三角形三边的关系判断是否成立，然后再计算周长即可.
18．（2021八上·河池期末）等腰三角形的一个底角比顶角大30°，那么顶角度数为 .
【答案】40°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设顶角的度数为x°，则底角的度数为（x+30）°，根据题意得：
x+2（x+30）＝180
解得：x＝40.
故答案为：40°.
【分析】直接设顶角的度数为x°，则底角的度数为（x+30）°，接着根据三角形内角和为180°，列出方程，求解即可.
19．（2021八上·下城期末）在等腰三角形ABC中，∠B=40°，若AB【答案】40°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形ABC中，∠B=40°，若AB∴AB=AC，
∵∠B=40°，
∴∠C=∠B=40°,
故答案为：40°.
【分析】利用等腰三角形的性质进行解答即可.
20．（2021七下·普陀期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，BC＝6cm，那么BD的长 cm．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵∠1＝∠2，
∴BD＝CD＝ BC，
∵BC＝6cm，
∴BD＝ ×6＝3（cm）．
故答案为：3．
【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质可得到BD＝CD＝ BC，代入计算即可。
21．（2021七下·普陀期中）如果等腰三角形的顶角为60°，底边长为5，则它的腰长＝ ．
【答案】5
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解∵等腰三角形的顶角为60°，
∴底角＝ ＝60°，
∴三角形为等边三角形，
∴腰长＝底边长＝5，
所以它的腰长为5，
故答案为5．
【分析】根据等腰三角形的顶角为60°，可判断三角形是等边三角形，即可得到边长。
22．（2021八上·江津期末）已知等腰三角形其中一个内角为70°，则这个等腰三角形的顶角度数为 .
【答案】70°或40°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：若70°的角是顶角，则底角是 = ，成立
若70°的角是底角，则顶角是180° 2×70°=40°，成立
故答案为：70°或40°
【分析】分这个70°的角是顶角还是底角两种情况，根据等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理即可得出结果.
23．（2021八上·巴南期末）如图，等腰 的周长为36，底边上的高 ，则 的周长为 .
【答案】30
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，AD为底边上的高，
∴AB=AC，BD=DC，
∵△ABC的周长等于36，
∴AB+BD+DC+AC=36，即AB+BD=18，
∵AD=12，
∴△ABD的周长等于=AD+BD+AB=12+18=30.
故答案为：30.
【分析】根据等腰三角形的性质可求得AB+BD=18，再结合AD=12，即可求得 的周长.
24．（2020八上·庐阳期末）如图，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为 ．
【答案】20°或70°或100°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】如图，有三种情形：.
.
①当AC=AD时，∠ADC=70°．.
②当CD′=AD′时，∠A D′C=100°．.
③当AC=AD″时，∠ACD″=20°，.
故答案为20°或70°或100°.
【分析】分三种情况分别求解即可。
25．（2020八上·义乌月考）一个等腰三角形的周长为 ，且一腰长是 ，则它的底边是 .
【答案】6cm
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的周长为 ，且一腰长是
∴另一腰长也是
∴底边长为14－4－4＝6cm
故答案为：6cm
【分析】根据等腰三角形的性质，可得等腰三角形的另一腰长，利用底边长=周长-两腰长即得结论.
三、解答题
26．（2020八上·于都期末）如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，联结BD并延长，交AC的延长线于点E，求∠E的度数．
【答案】解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝40°，
∵AD＝AB，
∴∠BDA＝ ×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠E＝∠BDA﹣∠CAD＝70°﹣40°＝30°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】先求出 ∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝40°， 再根据三角形的内角和等于180°，进行计算求解即可。
27．（2020八上·北京期中）已知：如图， AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
【答案】证明：作AF⊥BC于F，
∵AB=AC（已知），
∴BF=CF（三线合一），
又∵AD=AE（已知），
∴DF=EF（三线合一），
∴BF-DF=CF-EF，即BD=CE（等式的性质）．
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】此题可以用证明全等三角形的方法解决；也可以用等腰三角形的三线合一的性质解决．
28．（2020八上·南丹月考）一个等腰三角形的一条边长为8cm，周长为22cm，求其他两边的长。
【答案】解：①当腰为8时，
其他两边长分别为8、6 ;
②当底为8时，
其他两边长分别为7、7.
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】分两种情况讨论，即当腰为8和底为8时，结合周长为22分别求两边长即可.
29．（2020·北京模拟）如图，在 中， ，点 是 边上一点， ．交 于点 ，连结 ，过点 作 于点 ，求证： 为线段 中点．
【答案】证明：∵ ，
∴ ．
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴点 为线段 中点
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质以及线段中点的判定解答即可。
四、综合题
30．（2021八上·潜江期末）学习概念：规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”.
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.
（1）理解概念：如图1，在 中， ， ，请根据规定①，写出图中所有的“等角三角形”；
（2）如图2，在 中， 为角平分线， ， ，请根据规定②，求证： 为 的等角分割线；
（3）应用概念：在 中， ， 是 的等角分割线，直接写出 的度数.
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴∠CDA=∠CDB=∠ACB=90°
∵∠BCD+∠ACD=90°,∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠DCB
又∵∠DCB+∠DBC=90°
∴∠ACD=∠DBC
∴ 与 、 与 和 与 是“等角三角形”.
（2）证明：∵在 中， ，
∴
∵ 为角平分线，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ， ，
∴ 为 的等角分割线.
（3）111°或84°或106°或92°.
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】（3）当△ACD是等腰三角形，如图2，DA=DC时，∠ACD=∠A=42°，
∴∠ACB=∠BDC=42°+42°=84°，
当△ACD是等腰三角形，如图3，DA=AC时，∠ACD=∠ADC=69°，∠BCD=∠A=42°，
∴∠ACB=69°+42°=111°，
当△ACD是等腰三角形，CD=AC的情况不存在，
当△BCD是等腰三角形，如图4，DC=BD时，∠ACD=∠BCD=∠B=46°，
∴∠ACB=92°，
当△BCD是等腰三角形，如图5，DB=BC时，∠BDC=∠BCD，
设∠BDC=∠BCD=x，
则∠B=180°-2x，
则∠ACD=∠B=180°-2x，
由题意得，180°-2x+42°=x，
解得，x=74°，
∴∠ACD=180°-2x=32°，
∴∠ACB=106°，
当△BCD是等腰三角形，CD=CB的情况不存在，
∴∠ACB的度数为111°或84°或106°或92°.
【分析】（1）先由同角的余角分别得到 ∠DAC=∠DCB ， ∠ACD=∠DBC ，结合题上定义即可；
（2）先通过角平分性质得到 ，结合三角形内角和得到∠ACB、∠BDC的度数，接着根据定义 为 的等角分割线；
(3)先由 是 的等角分割线 ,分类讨论当△ACD、△BCD分别是等腰三角形及等角三角形的情况，最终得到∠ACB的度数.
1 / 1初中数学浙教版八年级上册2.2 等腰三角形 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·宜州期末）若等腰三角形的周长是 ，其中一边长为 ，则腰长是（ ）
A． B． C． 或 D．无法确定
2．（2020八上·长沙月考）下列各组数据能作为一个等腰三角形各边长的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
3．（2021八下·罗湖期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，并且DE∥AB，则△CDE的周长为（ ）
A．20cm B．12cm C．13cm D．14cm
4．（2021·越城模拟）如图，已知 ，以点B为圆心， 长为半径画弧，交腰 于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九下·南海月考）已知等腰三角形的两条中位线的长分别为3和5，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．22 B．26 C．22或26 D．13
6．（2021八上·日喀则期末）等腰三角形的一个内角是80°，则它的另外两个角的度数是（ ）
A．80°、20° B．50°、50°
C．80°、50° D．80°、20°或50°、50°
7．（2021八上·鞍山期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD
8．（2021八上·天心期末）如图，已知AB＝AC，AD是△ABC的高，下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠B＝60° B．∠B＝∠C
C．∠BAD＝∠CAD D．BD＝CD
9．（2021八上·铜仁期末）等腰三角形的一个内角为120°，则底角的度数为（ ）
A．30° B．40° C．60° D．120°
10．（2021八上·施秉期末）如图，在△ABC中，AB＝20 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以A为顶点的等腰三角形时，运动的时间是（ ）
A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒
11．（2020八上·永年期末）甲，乙两位同学用尺规作“过直线l外一点C作直线l的垂线”时，第一步两位同学都以C为圆心，适当长度为半径画弧，交直线l于D，E两点（如图）；第二步甲同学作∠DCE的平分线所在的直线，乙同学作DE的中垂线．则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲的画法正确 B．只有乙的画法正确
C．甲，乙的画法都正确 D．甲，乙的画法都错误
12．（2021八上·江干期末）一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
13．（2021八上·北海期末）如图，在 中， ， 是 的中点，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
14．（2020八上·商城月考）如图，在 中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若 的面积为12，则图中阴影部分的面积为（ ）.
A．2 B．4 C．6 D．8
15．（2020八上·嘉祥月考）在等腰三角形ABC中，∠A=70°，则∠C的度数不可能是（ ）
A．40° B．55° C．65° D．70°
16．（2021·扬州）如图，在 的正方形网格中有两个格点A、B，连接 ，在网格中再找一个格点C，使得 是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
17．（2021八上·淮安期末）等腰三角形的两边长分别为2 cm和4 cm，则这个三角形的周长为 cm
18．（2021八上·河池期末）等腰三角形的一个底角比顶角大30°，那么顶角度数为 .
19．（2021八上·下城期末）在等腰三角形ABC中，∠B=40°，若AB20．（2021七下·普陀期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，BC＝6cm，那么BD的长 cm．
21．（2021七下·普陀期中）如果等腰三角形的顶角为60°，底边长为5，则它的腰长＝ ．
22．（2021八上·江津期末）已知等腰三角形其中一个内角为70°，则这个等腰三角形的顶角度数为 .
23．（2021八上·巴南期末）如图，等腰 的周长为36，底边上的高 ，则 的周长为 .
24．（2020八上·庐阳期末）如图，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为 ．
25．（2020八上·义乌月考）一个等腰三角形的周长为 ，且一腰长是 ，则它的底边是 .
三、解答题
26．（2020八上·于都期末）如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，联结BD并延长，交AC的延长线于点E，求∠E的度数．
27．（2020八上·北京期中）已知：如图， AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
28．（2020八上·南丹月考）一个等腰三角形的一条边长为8cm，周长为22cm，求其他两边的长。
29．（2020·北京模拟）如图，在 中， ，点 是 边上一点， ．交 于点 ，连结 ，过点 作 于点 ，求证： 为线段 中点．
四、综合题
30．（2021八上·潜江期末）学习概念：规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”.
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.
（1）理解概念：如图1，在 中， ， ，请根据规定①，写出图中所有的“等角三角形”；
（2）如图2，在 中， 为角平分线， ， ，请根据规定②，求证： 为 的等角分割线；
（3）应用概念：在 中， ， 是 的等角分割线，直接写出 的度数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：若10cm为等腰三角形的腰长，则底边长为22-10-10=2（cm），
此时三角形的三边长分别为10cm，10cm，2cm，符合三角形的三边关系；
若10cm为等腰三角形的底边，则腰长为（22-10）÷2=6（cm），此时三角形的三边长分别为6cm，6cm，10cm，符合三角形的三边关系；
∴该等腰三角形的腰长为6cm或10cm，
故答案为：C.
【分析】根据 一边长为10cm是底边还是腰分类讨论，进而根据三角形三边关系判断能否围成三角形即可.
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】根据已知题意等腰三角形首先排除B选项，根据三角形三边关系两边之和大于第三边，因此A、D不符合题意
故答案选C.
【分析】根据等腰三角形性质：腰相等及三角形的三边的关系逐项判定即可。
3．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC＝10cm，AD平分∠BAC，
∴CD＝BD＝4（cm），AD⊥BC，
∵点E为AC的中点，
∴CE＝DE＝ AC＝5（cm），
∴△CDE的周长＝CE+CD+DE＝14（cm），
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质可得：CD＝BD＝4（cm），AD⊥BC，再利用直角三角形斜边上的中线的性质得到CE＝DE＝ AC＝5，最后利用三角形的周长计算即可。
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
由作图可知：BE=BC，
∴∠ACB=∠BEC，
∴∠ABC=∠ACB=∠BEC，
∴∠BAC=∠EBC，
而题中无条件可证明BC=EC，AE=BE，∠EBC=∠ABE，
故答案为：C.
【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项.
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：等腰三角形的两条中位线长分别为3和5，
根据三角形中位线定理可知，等腰三角形的两边长为6和10，
当腰为10时，则三边长为10，10，6时，周长为26；
当腰为6时，则三边长为6，6，10时，周长为22，
故答案为：C．
【分析】根据三角形中位线定理求出等腰三角形的两边长，分腰为10、腰为6两种情况，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当80°的角是顶角，则两个底角是50°、50°；
②当80°的角是底角，则顶角是20°，故另外两个角为20°，80°.
故答案为：D.
【分析】80°的角可作底角，也可作顶角，故分两种情况进行计算即可.
7．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点
∴∠B＝∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD＝∠CAD（故C正确）
无法得到AB＝2BD，（故D不正确）.
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，BC＝2BD,根据等边对等角得出∠B＝∠C，据此逐一判断即可.
8．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD是△ABC的高，
∴AD平分∠BAC，BC＝2BD＝2CD，
∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，
∴B、C、D都是正确的，
故答案为：A.
【分析】根据等边对等角得出∠B=∠C，进而根据等腰三角形的三线合一得出∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，从而即可判断得出答案.
9．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形中，一个内角为120°，而三内角的和为180°，
∴该内角为顶角，
设顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则有∠B=∠C，
∵∠A=120°，∴∠B=∠C= =30°，
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形性质即可直接得出答案.
10．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设运动时间是x秒，
由题意可得BP=3xcm，AQ=2xcm，
∴AP=(20-3x)cm，
∵△APQ是以A为顶点的等腰三角形，
∴AP=AQ，
∴20-3x=2x，
解得x=4，
故答案为：D.
【分析】设运动时间是x秒，由题意可得AP=(20-3x)cm，AQ=2xcm，根据等腰三角形的定义得到AP=AQ，列式计算即可.
11．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵CD＝CE，
∴∠DCE的平分线垂直DE，DE的垂直平分线过点C，
∴甲，乙的画法都符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用等腰三角形的三线合一可判断甲乙的画法都正确．
12．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：根据等腰三角形的三线合一的性质，可得三边相等，则对这个三角形最准确的判断是正三角形.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质进行解答即可.
13．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点，
∴∠B=∠C（故A正确）
∠1=∠2（故C正确）
AD⊥BC（故D正确）
无法得到AB=2BD，（故B不正确）.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的三线合一，两底角相等即可一一判断得出答案.
14．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
是等腰三角形
∵AD⊥BC，
∴AD是边BC上的中线，即BD=CD，
∴ ，
∵
∴ ；
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质得出BD=CD，根据等底同高的三角形面积相等，可得，根据同底等高的三角形面积相等，可得，利用，即得结论.
15．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：在等腰三角形中，若∠A为顶角，∵∠A=70° ，∴∠B=∠C=（180°-70°）÷2=55°；
若∠B为顶角，∴∠C=∠A=70°；
若∠C为顶角，∠C=180°-70°-70°=40°
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质，进行分类讨论，得到答案即可。
16．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图：分情况讨论：
①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个.
故共有3个点，
故答案为：B.
【分析】分两种情况：①AB为等腰直角△ABC底边时，②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，据此分别求解即可.
17．【答案】10
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）若2为腰长，4为底边长，由于2+2=4，则三角形不存在；
（2）若4为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边.
所以这个三角形的周长为4+4+2=10.
故答案为：10.
【分析】分两种情况讨论，即当腰为2时，当腰为4时，首先根据三角形三边的关系判断是否成立，然后再计算周长即可.
18．【答案】40°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设顶角的度数为x°，则底角的度数为（x+30）°，根据题意得：
x+2（x+30）＝180
解得：x＝40.
故答案为：40°.
【分析】直接设顶角的度数为x°，则底角的度数为（x+30）°，接着根据三角形内角和为180°，列出方程，求解即可.
19．【答案】40°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形ABC中，∠B=40°，若AB∴AB=AC，
∵∠B=40°，
∴∠C=∠B=40°,
故答案为：40°.
【分析】利用等腰三角形的性质进行解答即可.
20．【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵∠1＝∠2，
∴BD＝CD＝ BC，
∵BC＝6cm，
∴BD＝ ×6＝3（cm）．
故答案为：3．
【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质可得到BD＝CD＝ BC，代入计算即可。
21．【答案】5
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解∵等腰三角形的顶角为60°，
∴底角＝ ＝60°，
∴三角形为等边三角形，
∴腰长＝底边长＝5，
所以它的腰长为5，
故答案为5．
【分析】根据等腰三角形的顶角为60°，可判断三角形是等边三角形，即可得到边长。
22．【答案】70°或40°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：若70°的角是顶角，则底角是 = ，成立
若70°的角是底角，则顶角是180° 2×70°=40°，成立
故答案为：70°或40°
【分析】分这个70°的角是顶角还是底角两种情况，根据等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理即可得出结果.
23．【答案】30
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，AD为底边上的高，
∴AB=AC，BD=DC，
∵△ABC的周长等于36，
∴AB+BD+DC+AC=36，即AB+BD=18，
∵AD=12，
∴△ABD的周长等于=AD+BD+AB=12+18=30.
故答案为：30.
【分析】根据等腰三角形的性质可求得AB+BD=18，再结合AD=12，即可求得 的周长.
24．【答案】20°或70°或100°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】如图，有三种情形：.
.
①当AC=AD时，∠ADC=70°．.
②当CD′=AD′时，∠A D′C=100°．.
③当AC=AD″时，∠ACD″=20°，.
故答案为20°或70°或100°.
【分析】分三种情况分别求解即可。
25．【答案】6cm
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的周长为 ，且一腰长是
∴另一腰长也是
∴底边长为14－4－4＝6cm
故答案为：6cm
【分析】根据等腰三角形的性质，可得等腰三角形的另一腰长，利用底边长=周长-两腰长即得结论.
26．【答案】解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝40°，
∵AD＝AB，
∴∠BDA＝ ×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠E＝∠BDA﹣∠CAD＝70°﹣40°＝30°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】先求出 ∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝40°， 再根据三角形的内角和等于180°，进行计算求解即可。
27．【答案】证明：作AF⊥BC于F，
∵AB=AC（已知），
∴BF=CF（三线合一），
又∵AD=AE（已知），
∴DF=EF（三线合一），
∴BF-DF=CF-EF，即BD=CE（等式的性质）．
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】此题可以用证明全等三角形的方法解决；也可以用等腰三角形的三线合一的性质解决．
28．【答案】解：①当腰为8时，
其他两边长分别为8、6 ;
②当底为8时，
其他两边长分别为7、7.
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】分两种情况讨论，即当腰为8和底为8时，结合周长为22分别求两边长即可.
29．【答案】证明：∵ ，
∴ ．
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴点 为线段 中点
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质以及线段中点的判定解答即可。
30．【答案】（1）解：∵ ， ，
∴∠CDA=∠CDB=∠ACB=90°
∵∠BCD+∠ACD=90°,∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠DCB
又∵∠DCB+∠DBC=90°
∴∠ACD=∠DBC
∴ 与 、 与 和 与 是“等角三角形”.
（2）证明：∵在 中， ，
∴
∵ 为角平分线，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ， ，
∴ 为 的等角分割线.
（3）111°或84°或106°或92°.
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】（3）当△ACD是等腰三角形，如图2，DA=DC时，∠ACD=∠A=42°，
∴∠ACB=∠BDC=42°+42°=84°，
当△ACD是等腰三角形，如图3，DA=AC时，∠ACD=∠ADC=69°，∠BCD=∠A=42°，
∴∠ACB=69°+42°=111°，
当△ACD是等腰三角形，CD=AC的情况不存在，
当△BCD是等腰三角形，如图4，DC=BD时，∠ACD=∠BCD=∠B=46°，
∴∠ACB=92°，
当△BCD是等腰三角形，如图5，DB=BC时，∠BDC=∠BCD，
设∠BDC=∠BCD=x，
则∠B=180°-2x，
则∠ACD=∠B=180°-2x，
由题意得，180°-2x+42°=x，
解得，x=74°，
∴∠ACD=180°-2x=32°，
∴∠ACB=106°，
当△BCD是等腰三角形，CD=CB的情况不存在，
∴∠ACB的度数为111°或84°或106°或92°.
【分析】（1）先由同角的余角分别得到 ∠DAC=∠DCB ， ∠ACD=∠DBC ，结合题上定义即可；
（2）先通过角平分性质得到 ，结合三角形内角和得到∠ACB、∠BDC的度数，接着根据定义 为 的等角分割线；
(3)先由 是 的等角分割线 ,分类讨论当△ACD、△BCD分别是等腰三角形及等角三角形的情况，最终得到∠ACB的度数.
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