初中数学浙教版八年级上册2.4 等腰三角形的判定定理 同步练习
一、单选题
1．（2021·绍兴）如图，菱形ABCD中， ，点P从点B出发，沿折线 方向移动，移动到点D停止.在 形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
2．（2021·吉林模拟）如图，直线a∥b，点A在直线b上，以点A为圆心，2cm长度为半径画弧，分别交直线a，b于C，B两点，连接AC，BC。若∠1=60°，则△ABC的周长为（ ）
A． cm B．2cm C．2 cm D．6cm
3．（2021·枣庄模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD ，则BD的长是（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
4．（2021·覃塘模拟）如图，线段 OA绕点O旋转，线段 OB的位置保持不变，在AB的上方作等边△PAB，若 OA=1，OB=3，则在线段 OA旋转过程中，线段 OP的最大值是
A． B．4 C．2 D．5
5．（2021·镇雄模拟）如图，在 ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将 ABC绕点A旋转到 的位置．使得 ，则旋转角为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．80°
6．（2021七下·普陀期中）下列三角形中，等腰三角形的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2021七下·海淀期中）如图，已知∠MON及其边上一点A．以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C．再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B．错误的结论是（ ）
A．S△AOC＝S△ABC B．∠OCB＝90°
C．∠MON＝30° D．OC＝2BC
8．（2021八下·莲湖期中）如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D．若请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，则你补充的条件不能是（ ）
A．OA＝OD B．AB＝CD
C．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB
9．（2021八下·贺兰期中）点P是等边三角形ABC所在平面上一点，若P和△ABC的三个顶点所组成的△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，则这样的点P的个数为（ ）
A．1 B．4 C．7 D．10
10．（2021八下·金水期中）如图，在等腰 与等腰 中， ， ， ，连接 和 相交于点 ，交 于点 ，交 与点 .则下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④若 ，则 .一定正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
11．（2021八下·运城期中）如图， 是正 内一点， ， ， ，将线段 以点 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段 ，下列结论：① 可以由 绕点 逆时针旋转60°得到；②点 与 距离为4；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的结论是 ．
12．（2021·从化模拟）如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠AED的度数为 ．
13．（2021八下·金水期中）如图，在 中， ， ，BD平分 ，CD平分 ， ，且EF过点D，则 的周长是 .
14．（2021八下·闵行期中）如图，△ABC中，点O是AB边上的一个动点，过点O做直线MN∥BC，直线MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，设OC的长为x，EF的长为y，那么y关于x的函数关系式是
15．（2021八下·达州期中）在等腰△ABC 中，AD⊥BC 交直线 BC 于点 D.若 AD=0.5BC，则△ABC 的顶角的度数为
16．（2021八下·贺兰期中）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到△A B C ，连接A C，则△A B C的周长为 ．
三、计算题
17．（2021八上·崇川期末）如图， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长.
四、解答题
18．（2021·杭州）在①AD=AE，②∠ABE=∠ACD，③FB=FC 这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答。
问题：如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在AB边上（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连结BE，CD，BE与CD相交于点F。若_▲_，求证：BE=CD 。
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分。
五、综合题
19．（2021·台州）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10 .
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数.
20．（2021八上·武汉期末）如图
（1）问题发现：如图1，如果 和 均为等边三角形 等边三角形的三条边都相等，三个角都是 ，点B、E、D三点在同一直线上，连接 则CD与BE的数量关系为 ； 的度数为 度．
（2）探究：如图2，若 为三边互不相等的三角形，以它的边AB、AC为边分别向外作等边 与等边 ，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，则CD与BE还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理由：并请求出 的度数？
21．（2021八上·宜城期末）如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB， ，垂足E在 CD的延长线上. 求证∶ .
（1）观察分析∶延长 BE，CA，交于点 F.可证明△ _ △ ，依据是 ； 从而得到 ；再证 .
（2）类比探究∶如图②，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点 D在线段 BC上， ，垂足为E，DE与AB相交于点F. 试探究BE与DF的数量关系，并证明你的结论.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；菱形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：连接AC，BD，如图所示.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B.
∵∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°.
∴△ABC和△ADC都是等边三角形.
点P在移动过程中，依次共有四个特殊位置：
（1）当点P移动到BC边的中点时，记作 .
∵△ABC是等边三角形， 是 BC的中点，
∴ .
∴ .
∴△ABP1是直角三角形.
（2）当点P与点C重合时，记作 .
此时，△ABP2是等边三角形；
（3）当点P移动到CD边的中点时，记为 .
∵△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴ .
∴△ABP3是直角三角形.
（4）当点P与点D重合时，记作 .
∵ ，
∴△ABP4是等腰三角形.
综上，△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：
直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形.
故答案为：C
【分析】先根据菱形的性质，结合∠B=60°，求得△ABC和△ADC都是等边三角形，根据题意共经过4个特殊位置，（1）当点P移动到BC边的中点时，（2）当点P与点C重合时，（3）当点P移动到CD边的中点时，（4）当点P与点D重合时，分别讨论三角形的特殊形状即可.
2．【答案】D
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵a∥b，
∴∠BCA=∠1=60°，
∵AC=AB=2cm，
∴ △ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=2cm，
∴ △ABC的周长=2+2+2=6cm.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质得出∠BCA=∠1=60°，根据AC=AB=2cm，得出△ABC是等边三角形，得出AC=AB=BC=2cm，即可求出三角形的周长.
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；角平分线的定义
【解析】【解答】解：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC=60°
∵AD为∠BAC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD=∠B=30°
∴AD=BD
在△ACD中，∠CAD=30°，CD=
∴AD=2CD=
∴BD=AD=
故答案为：B
【分析】本题考查角平分线的定义、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及三角形内角和的计算，先利用三角形内角和与角平分线的定义确定∠B=∠BAD=30°，得到等腰三角形ABD，AD=BD ，再在△ACD中利用30°角所对的直角边是斜边的一半，计算出AD的长，从而得到BD的长。
4．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，把△PAO绕点P旋转60°到△PBC，
∴∠OPC=60°，PO=PC，BC=OA=1，
∴△OPC是等边三角形，
∴OP=OC，
∵OB+BC＞OC，
∴当O、B、C三点在同一条直线上时，OC最大，最大值为3+1=4，
∴ 线段OP的最大值是4.
故答案为：B.
【分析】把△PAO绕点P旋转60°到△PBC，得出△OPC是等边三角形，得出OP=OC，根据三角形三边关系得出当O、B、C三点在同一条直线上时，OC最大，最大值为3+1=4，即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°，
∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠ACC′＝∠AC′C，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝40°．
即旋转角为40°．
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质得出∠C′CA＝∠CAB＝70°，根据旋转的性质得出△ACC′为等腰三角形，
从而可得∠ACC′＝∠AC′C，利用三角形内角和即可求出∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝40°．
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：第一个图形中有两边相等，故第一个三角形是等腰三角形，
第二个图形中的三个角分别为50°，35°，95°，故第二个三角形不是等腰三角形；
第三个图形中的三个角分别为100°，40°，40°，故第三个三角形是等腰三角形；
第四个图形中的三个角分别为90°，45°，45°，故第四个三角形是等腰三角形；
故答案为：B．
【分析】利用等腰三角形的定义：两边相等或两个内角相等逐项判定即可。
7．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可知OA＝AC＝AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝60°，
∴∠MON＝∠OCA＝30°，
∴∠OCB＝30°+60°＝90°．
∴S△AOC＝S△ABC，
∴A，B，C，符合题意．
故答案为：D．
【分析】先求出△ABC是等边三角形，再求出∠CAB＝60°，最后对每个选项一一判断求解即可。
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：A、在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC（ASA）
∴OB=OC
∴△BOC是等腰三角形，故A不符合题意；
B、在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC（AAS）
∴OB=OC
∴△BOC是等腰三角形，故B不符合题意；
C、补充∠ABO＝∠DCO，不能证明△AOB≌△DOC，
因此不能证明△BOC是等腰三角形，故C符合题意；
D、在△ACB和△DBC中
∴△ACB≌△DBC（AAS）
∴∠ACB=∠DBC
∴OB=OC
∴△BOC是等腰三角形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】图形中的隐含条件为：∠AOB=∠DOC，BC=CB，利用ASA可证得△AOB≌△DOC，利用全等三角形的对应边相等，可证得OB=OC，可对A作出判断；利用AAS可证得△AOB≌△DOC，利用全等三角形的性质，可证得OB=CO，可对B作出判断；再根据证明两三角形全等至少要有一组对应边相等，可对C作出判断；利用AAS证明△ACB≌△DBC，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠ACB=∠DBC，利用等角对等边，可证得OB=OC，可对D作出判断.
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解： ①以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P2两点；以B为圆心，AB为半径囝弧交BC的垂直平分线于点P3，这样在AB的垂直平分线上有三点，②同样在AC，BC的垂直平分线上也分别有三点；③还有一点就是AB，BC，AC三条边的垂直平分线的交点；共有3+3+3+1=10，
故答案为：D.
【分析】 ①以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P2两点；以B为圆心，AB为半径囝弧交BC的垂直平分线于点P3，这样在AB的垂直平分线上有三点；②同样在AC，BC的垂直平分线上也分别有三点；③还有一点就是AB，BC，AC三条边的垂直平分线的交点；相加即可得出答案．
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，且AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴BD=CE，故①符合题意；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
∵∠BPE=∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ACB+∠ACP=∠PBC+∠ACB+∠ABP，
∴∠BPE=∠ACB+∠ABC=180°-α，故②不符合题意；
如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，
∵△BAD≌△CAE，
∴S△BAD=S△CAE，
∴ BD×AH= CE×AF，且BD=CE，
∴AH=AF，且AH⊥BD，AF⊥CE，
∴AP平分∠BPE，故③符合题意；
如图，在线段PE上截取OE=PD，连接AO，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠BDA=∠CEA，且OE=PD，AE=AD，
∴△AOE≌△APD（SAS）
∴AP=AO，
∵∠BPE=180°-α=120°，且AP平分∠BPE，
∴∠APO=60°，且AP=AO，
∴△APO是等边三角形，
∴AP=PO，
∵PE=PO+OE，
∴PE=AP+PD，故④符合题意.
综上，正确有选项有①③④，
故答案为：C.
【分析】由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得BD=CE，据此判断①；由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由外角的性质和三角形内角和定理可得∠BPE=∠ACB+∠ABC=180°-α，据此判断②；由全等三角形的性质可得S△BAD=S△CAE，由三角形面积公式可得AH=AF，由角平分线的性质可得AP平分∠BPE，据此判断③；由全等三角形的性质可得∠BDA=∠CEA，由“SAS”可证△AOE≌△APD，可得AO=AP，可证△APO是等边三角形，可得AP=PO，可得PE=AP+PD，据此判断④.
11．【答案】①②③④⑤
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，
又∵OB=O′B，AB=BC，
∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①符合题意；
如图①，连接OO′，
∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′=OB=4．
故结论②符合题意；
∵△BO′A≌△BOC，
∴O′A=5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，
故结论③符合题意；
S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′= ，
故结论④符合题意；
如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．
易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，
则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″= ，
故结论⑤符合题意．
综上所述，正确的结论为：①②③④⑤．
故答案为：①②③④⑤．
【分析】根据旋转的性质，全等三角形的性质与判定和三角形的面积公式进行求解即可。
12．【答案】15°
【知识点】等边三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝DC，∠EDC＝60°，
∴∠ADE＝90°＋60°＝150°，AD＝ED，
∴∠DAE＝∠DEA＝ （180° ∠ADE）＝15°，
故答案是：15°．
【分析】根据正方形以及等边三角形的性质，计算得到∠DAE的度数即可。
13．【答案】8cm
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】 平分 ，CD平分 ，
， ，
， ， ，
， ，
， ，
的周长 .
故答案为：8cm.
【分析】利用角平分线的概念与平行线的性质可推出∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，然后根据等腰三角形的判定定理可得BE=ED，DF=CF，接下来根据周长的概念求解即可.
14．【答案】y=2x
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ECO，∠FCD=∠FCO，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE=∠ECO，∠OFC=∠FCD=∠FCO，
∴OE=OC=x，OF=OC=x，
∴EF=OE+OF=2x，
∴y=2x.
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质得出∠OEC=∠BCE=∠ECO，∠OFC=∠FCD=∠FCO，从而得出OE=OC=x，OF=OC=x，利用EF=OE+OF，即可得出y=2x.
15．【答案】30°或90°或150°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①如图，当AB=AC时，
∵AD⊥BC， AD=0.5BC，∴AD=BD=DC，
∴∠BAC=90°；
②如图，当AC=BC，
∵AD=BC，∴AD=AC，∴∠C=30°；
③当AB=BC时，如图，
∵AD=BC，∴AD=AB，∴∠ABD=30°，
∴∠ABC=150°，
综上，顶角的度数为30°或90°或150° ，
故答案为： 30°或90°或150° .
【分析】△ABC为等腰三角形，分三种情况讨论，即①当AB=AC时，②当AC=BC，③当AB=BC时，根据含30°角的直角三角形的性质，直角三角形斜边直线等于斜边一半，以及三角形内角和定理等分别求出顶角即可.
16．【答案】12
【知识点】等边三角形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】解：由题意得: BB' = 2，
∴ B'C= BC- BB'=4，
由平移的性质可知： A'B'= AB= 4，∠A'B'C'=∠ABC = 60°，
∴A'B'= B'C，且∠A'B'C = 60°
△A' B' C为等边三角形，
△A' B' C的周长=3A'B'= 12，
故答案为：12.
【分析】 根据平移的性质得BB′=2，A′B′=AB=4，∠A′B′C′=∠B=60°，则可计算出B′C=BC-BB′=4，则A′B′=B′C，可判断△A′B′C为等边三角形，于是得到△A′B′C的周长=3B′C=12．
17．【答案】（1）证明：∵ ，
∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
即∠DAE=∠BAC，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA）；
（2）解：由（1）得△ABC≌△ADE，
∴AE=AC，
∵∠CAE=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE=CE=5.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据角的和差关系推出∠DAE=∠BAC，然后结合已知条件利用ASA证明△ABC≌△ADE 即可；
（2）根据全等三角形的性质可得AE=AC，进而推出△ACE是等边三角形，接下来根据等边三角形的性质解答即可.
18．【答案】解：选择条件①的证明：
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ≌ ，
∴ .
选择条件②的证明：
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ≌ ，
∴ .
选择条件③的证明：
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ≌ ，
∴
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】选择条件①，利用等角对等边可证得AB=AC，利用SAS可证得△ABE≌△ACD，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论；选择条件②，利用等角对等边，可证得AB=AC，再利用ASA可证得△ABE≌△ACD，利用全等三角形的性质，可证得结论；选择条件③，利用等边对等角可证得∠FBC=∠FCB，再利用ASA可证得△CBE≌△BCD，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
19．【答案】（1）证明：在△ABC和△ADC中，
∵
∴△ABC≌△ADC（SSS）.
（2）解：连接BD，交AC于点O，
∵△ABC≌△ADC，
∴AB=AD，BC=DC，
∴AC垂直平分BD，即：∠AOB=∠BOC=90°，
又∵∠BCA＝45°，
∴ 是等腰直角三角形，
∴BO=BC÷ =10 ÷ =10，
∴BD=2BO=20，
∵AB＝AD＝20，
∴ 是等边三角形，
∴∠BAD=60°.
【知识点】等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1）图中隐含公共边AC=AC；再利用SSS可证得结论.
（2）连接BD，交AC于点O，利用全等三角形的性质可证得AB=AD，BC=DC，可推出AC垂直平分BD，可证得△BOC是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质及解直角三角形可求出BO的长，即可得到BD的长；再证明△ABD是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到∠BAD=60°.
20．【答案】（1）相等；60
（2）解： 以AB、AC为边分别向外做等边 和等边 ，
， ， ，
，
，
在 和 中，
，
≌
， ，
，
又 ，
．
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1） 和 均为等边三角形，
， ， ，
．
在 和 中，
，
≌ ，
，
≌ ，
，
为等边三角形，
，
点B，D，E在同一直线上，
，
，
，
故答案为：相等，60；
【分析】（1）由条件 和 均为等边三角形，易证 ≌ ，从而得到对应边相等，即 ；由 ≌ ，可得 ，由点B，D，E在同一直线上，可求出 ，从而可以求出 的度数；（2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质得出 ， ，进而解答即可．
21．【答案】（1）ABF；ACD；ASA；BF＝CD；解：延长BE交AC的延长线与点F， ,CD平分 为等腰三角形， 在 和 中
（2）解：BE＝ FD，证明如下：过点D作DG∥CA，与BE的延长线交于点G，与AB交于点H
则∠BDG＝∠C，
DE平分
为等腰三角形
BE＝ BG，
结合（1）的证明方法，可证
∴BG＝FD .
∵BE＝ BG，
∴BE＝ FD .
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）延长BE交AC的延长线与点F，结合已知可证 为等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一得出BE=BF，再根据ASA证明△ABF≌△ACD，根据全等三角形对应边相等得出BF=CD，即可得到答案；
（2）过点D作DG∥CA，交BE的延长线与点G，与AE交于点H，证明∠DHF=∠A=90°，BH=DH，∠BDE=∠EDG= ∠BDG，结合题意可证△BDG 为等腰三角形，于是与（1）同理可证BE＝ FD.
1 / 1初中数学浙教版八年级上册2.4 等腰三角形的判定定理 同步练习
一、单选题
1．（2021·绍兴）如图，菱形ABCD中， ，点P从点B出发，沿折线 方向移动，移动到点D停止.在 形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；菱形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：连接AC，BD，如图所示.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B.
∵∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°.
∴△ABC和△ADC都是等边三角形.
点P在移动过程中，依次共有四个特殊位置：
（1）当点P移动到BC边的中点时，记作 .
∵△ABC是等边三角形， 是 BC的中点，
∴ .
∴ .
∴△ABP1是直角三角形.
（2）当点P与点C重合时，记作 .
此时，△ABP2是等边三角形；
（3）当点P移动到CD边的中点时，记为 .
∵△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴ .
∴△ABP3是直角三角形.
（4）当点P与点D重合时，记作 .
∵ ，
∴△ABP4是等腰三角形.
综上，△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：
直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形.
故答案为：C
【分析】先根据菱形的性质，结合∠B=60°，求得△ABC和△ADC都是等边三角形，根据题意共经过4个特殊位置，（1）当点P移动到BC边的中点时，（2）当点P与点C重合时，（3）当点P移动到CD边的中点时，（4）当点P与点D重合时，分别讨论三角形的特殊形状即可.
2．（2021·吉林模拟）如图，直线a∥b，点A在直线b上，以点A为圆心，2cm长度为半径画弧，分别交直线a，b于C，B两点，连接AC，BC。若∠1=60°，则△ABC的周长为（ ）
A． cm B．2cm C．2 cm D．6cm
【答案】D
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵a∥b，
∴∠BCA=∠1=60°，
∵AC=AB=2cm，
∴ △ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=2cm，
∴ △ABC的周长=2+2+2=6cm.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质得出∠BCA=∠1=60°，根据AC=AB=2cm，得出△ABC是等边三角形，得出AC=AB=BC=2cm，即可求出三角形的周长.
3．（2021·枣庄模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD ，则BD的长是（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；角平分线的定义
【解析】【解答】解：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC=60°
∵AD为∠BAC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD=∠B=30°
∴AD=BD
在△ACD中，∠CAD=30°，CD=
∴AD=2CD=
∴BD=AD=
故答案为：B
【分析】本题考查角平分线的定义、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及三角形内角和的计算，先利用三角形内角和与角平分线的定义确定∠B=∠BAD=30°，得到等腰三角形ABD，AD=BD ，再在△ACD中利用30°角所对的直角边是斜边的一半，计算出AD的长，从而得到BD的长。
4．（2021·覃塘模拟）如图，线段 OA绕点O旋转，线段 OB的位置保持不变，在AB的上方作等边△PAB，若 OA=1，OB=3，则在线段 OA旋转过程中，线段 OP的最大值是
A． B．4 C．2 D．5
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，把△PAO绕点P旋转60°到△PBC，
∴∠OPC=60°，PO=PC，BC=OA=1，
∴△OPC是等边三角形，
∴OP=OC，
∵OB+BC＞OC，
∴当O、B、C三点在同一条直线上时，OC最大，最大值为3+1=4，
∴ 线段OP的最大值是4.
故答案为：B.
【分析】把△PAO绕点P旋转60°到△PBC，得出△OPC是等边三角形，得出OP=OC，根据三角形三边关系得出当O、B、C三点在同一条直线上时，OC最大，最大值为3+1=4，即可得出答案.
5．（2021·镇雄模拟）如图，在 ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将 ABC绕点A旋转到 的位置．使得 ，则旋转角为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．80°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°，
∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，
又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠ACC′＝∠AC′C，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝40°．
即旋转角为40°．
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质得出∠C′CA＝∠CAB＝70°，根据旋转的性质得出△ACC′为等腰三角形，
从而可得∠ACC′＝∠AC′C，利用三角形内角和即可求出∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝40°．
6．（2021七下·普陀期中）下列三角形中，等腰三角形的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：第一个图形中有两边相等，故第一个三角形是等腰三角形，
第二个图形中的三个角分别为50°，35°，95°，故第二个三角形不是等腰三角形；
第三个图形中的三个角分别为100°，40°，40°，故第三个三角形是等腰三角形；
第四个图形中的三个角分别为90°，45°，45°，故第四个三角形是等腰三角形；
故答案为：B．
【分析】利用等腰三角形的定义：两边相等或两个内角相等逐项判定即可。
7．（2021七下·海淀期中）如图，已知∠MON及其边上一点A．以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C．再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B．错误的结论是（ ）
A．S△AOC＝S△ABC B．∠OCB＝90°
C．∠MON＝30° D．OC＝2BC
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可知OA＝AC＝AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝60°，
∴∠MON＝∠OCA＝30°，
∴∠OCB＝30°+60°＝90°．
∴S△AOC＝S△ABC，
∴A，B，C，符合题意．
故答案为：D．
【分析】先求出△ABC是等边三角形，再求出∠CAB＝60°，最后对每个选项一一判断求解即可。
8．（2021八下·莲湖期中）如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D．若请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，则你补充的条件不能是（ ）
A．OA＝OD B．AB＝CD
C．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：A、在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC（ASA）
∴OB=OC
∴△BOC是等腰三角形，故A不符合题意；
B、在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC（AAS）
∴OB=OC
∴△BOC是等腰三角形，故B不符合题意；
C、补充∠ABO＝∠DCO，不能证明△AOB≌△DOC，
因此不能证明△BOC是等腰三角形，故C符合题意；
D、在△ACB和△DBC中
∴△ACB≌△DBC（AAS）
∴∠ACB=∠DBC
∴OB=OC
∴△BOC是等腰三角形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】图形中的隐含条件为：∠AOB=∠DOC，BC=CB，利用ASA可证得△AOB≌△DOC，利用全等三角形的对应边相等，可证得OB=OC，可对A作出判断；利用AAS可证得△AOB≌△DOC，利用全等三角形的性质，可证得OB=CO，可对B作出判断；再根据证明两三角形全等至少要有一组对应边相等，可对C作出判断；利用AAS证明△ACB≌△DBC，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠ACB=∠DBC，利用等角对等边，可证得OB=OC，可对D作出判断.
9．（2021八下·贺兰期中）点P是等边三角形ABC所在平面上一点，若P和△ABC的三个顶点所组成的△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，则这样的点P的个数为（ ）
A．1 B．4 C．7 D．10
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解： ①以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P2两点；以B为圆心，AB为半径囝弧交BC的垂直平分线于点P3，这样在AB的垂直平分线上有三点，②同样在AC，BC的垂直平分线上也分别有三点；③还有一点就是AB，BC，AC三条边的垂直平分线的交点；共有3+3+3+1=10，
故答案为：D.
【分析】 ①以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P2两点；以B为圆心，AB为半径囝弧交BC的垂直平分线于点P3，这样在AB的垂直平分线上有三点；②同样在AC，BC的垂直平分线上也分别有三点；③还有一点就是AB，BC，AC三条边的垂直平分线的交点；相加即可得出答案．
10．（2021八下·金水期中）如图，在等腰 与等腰 中， ， ， ，连接 和 相交于点 ，交 于点 ，交 与点 .则下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④若 ，则 .一定正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵∠BAC=∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAE，且AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴BD=CE，故①符合题意；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
∵∠BPE=∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ACB+∠ACP=∠PBC+∠ACB+∠ABP，
∴∠BPE=∠ACB+∠ABC=180°-α，故②不符合题意；
如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，
∵△BAD≌△CAE，
∴S△BAD=S△CAE，
∴ BD×AH= CE×AF，且BD=CE，
∴AH=AF，且AH⊥BD，AF⊥CE，
∴AP平分∠BPE，故③符合题意；
如图，在线段PE上截取OE=PD，连接AO，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠BDA=∠CEA，且OE=PD，AE=AD，
∴△AOE≌△APD（SAS）
∴AP=AO，
∵∠BPE=180°-α=120°，且AP平分∠BPE，
∴∠APO=60°，且AP=AO，
∴△APO是等边三角形，
∴AP=PO，
∵PE=PO+OE，
∴PE=AP+PD，故④符合题意.
综上，正确有选项有①③④，
故答案为：C.
【分析】由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得BD=CE，据此判断①；由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由外角的性质和三角形内角和定理可得∠BPE=∠ACB+∠ABC=180°-α，据此判断②；由全等三角形的性质可得S△BAD=S△CAE，由三角形面积公式可得AH=AF，由角平分线的性质可得AP平分∠BPE，据此判断③；由全等三角形的性质可得∠BDA=∠CEA，由“SAS”可证△AOE≌△APD，可得AO=AP，可证△APO是等边三角形，可得AP=PO，可得PE=AP+PD，据此判断④.
二、填空题
11．（2021八下·运城期中）如图， 是正 内一点， ， ， ，将线段 以点 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段 ，下列结论：① 可以由 绕点 逆时针旋转60°得到；②点 与 距离为4；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的结论是 ．
【答案】①②③④⑤
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，
又∵OB=O′B，AB=BC，
∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①符合题意；
如图①，连接OO′，
∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′=OB=4．
故结论②符合题意；
∵△BO′A≌△BOC，
∴O′A=5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，
故结论③符合题意；
S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′= ，
故结论④符合题意；
如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．
易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，
则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″= ，
故结论⑤符合题意．
综上所述，正确的结论为：①②③④⑤．
故答案为：①②③④⑤．
【分析】根据旋转的性质，全等三角形的性质与判定和三角形的面积公式进行求解即可。
12．（2021·从化模拟）如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠AED的度数为 ．
【答案】15°
【知识点】等边三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝DC，∠EDC＝60°，
∴∠ADE＝90°＋60°＝150°，AD＝ED，
∴∠DAE＝∠DEA＝ （180° ∠ADE）＝15°，
故答案是：15°．
【分析】根据正方形以及等边三角形的性质，计算得到∠DAE的度数即可。
13．（2021八下·金水期中）如图，在 中， ， ，BD平分 ，CD平分 ， ，且EF过点D，则 的周长是 .
【答案】8cm
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】 平分 ，CD平分 ，
， ，
， ， ，
， ，
， ，
的周长 .
故答案为：8cm.
【分析】利用角平分线的概念与平行线的性质可推出∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，然后根据等腰三角形的判定定理可得BE=ED，DF=CF，接下来根据周长的概念求解即可.
14．（2021八下·闵行期中）如图，△ABC中，点O是AB边上的一个动点，过点O做直线MN∥BC，直线MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，设OC的长为x，EF的长为y，那么y关于x的函数关系式是
【答案】y=2x
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ECO，∠FCD=∠FCO，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE=∠ECO，∠OFC=∠FCD=∠FCO，
∴OE=OC=x，OF=OC=x，
∴EF=OE+OF=2x，
∴y=2x.
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质得出∠OEC=∠BCE=∠ECO，∠OFC=∠FCD=∠FCO，从而得出OE=OC=x，OF=OC=x，利用EF=OE+OF，即可得出y=2x.
15．（2021八下·达州期中）在等腰△ABC 中，AD⊥BC 交直线 BC 于点 D.若 AD=0.5BC，则△ABC 的顶角的度数为
【答案】30°或90°或150°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①如图，当AB=AC时，
∵AD⊥BC， AD=0.5BC，∴AD=BD=DC，
∴∠BAC=90°；
②如图，当AC=BC，
∵AD=BC，∴AD=AC，∴∠C=30°；
③当AB=BC时，如图，
∵AD=BC，∴AD=AB，∴∠ABD=30°，
∴∠ABC=150°，
综上，顶角的度数为30°或90°或150° ，
故答案为： 30°或90°或150° .
【分析】△ABC为等腰三角形，分三种情况讨论，即①当AB=AC时，②当AC=BC，③当AB=BC时，根据含30°角的直角三角形的性质，直角三角形斜边直线等于斜边一半，以及三角形内角和定理等分别求出顶角即可.
16．（2021八下·贺兰期中）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到△A B C ，连接A C，则△A B C的周长为 ．
【答案】12
【知识点】等边三角形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】解：由题意得: BB' = 2，
∴ B'C= BC- BB'=4，
由平移的性质可知： A'B'= AB= 4，∠A'B'C'=∠ABC = 60°，
∴A'B'= B'C，且∠A'B'C = 60°
△A' B' C为等边三角形，
△A' B' C的周长=3A'B'= 12，
故答案为：12.
【分析】 根据平移的性质得BB′=2，A′B′=AB=4，∠A′B′C′=∠B=60°，则可计算出B′C=BC-BB′=4，则A′B′=B′C，可判断△A′B′C为等边三角形，于是得到△A′B′C的周长=3B′C=12．
三、计算题
17．（2021八上·崇川期末）如图， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长.
【答案】（1）证明：∵ ，
∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
即∠DAE=∠BAC，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA）；
（2）解：由（1）得△ABC≌△ADE，
∴AE=AC，
∵∠CAE=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE=CE=5.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据角的和差关系推出∠DAE=∠BAC，然后结合已知条件利用ASA证明△ABC≌△ADE 即可；
（2）根据全等三角形的性质可得AE=AC，进而推出△ACE是等边三角形，接下来根据等边三角形的性质解答即可.
四、解答题
18．（2021·杭州）在①AD=AE，②∠ABE=∠ACD，③FB=FC 这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答。
问题：如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在AB边上（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连结BE，CD，BE与CD相交于点F。若_▲_，求证：BE=CD 。
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分。
【答案】解：选择条件①的证明：
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ≌ ，
∴ .
选择条件②的证明：
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ≌ ，
∴ .
选择条件③的证明：
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ≌ ，
∴
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】选择条件①，利用等角对等边可证得AB=AC，利用SAS可证得△ABE≌△ACD，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论；选择条件②，利用等角对等边，可证得AB=AC，再利用ASA可证得△ABE≌△ACD，利用全等三角形的性质，可证得结论；选择条件③，利用等边对等角可证得∠FBC=∠FCB，再利用ASA可证得△CBE≌△BCD，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
五、综合题
19．（2021·台州）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10 .
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数.
【答案】（1）证明：在△ABC和△ADC中，
∵
∴△ABC≌△ADC（SSS）.
（2）解：连接BD，交AC于点O，
∵△ABC≌△ADC，
∴AB=AD，BC=DC，
∴AC垂直平分BD，即：∠AOB=∠BOC=90°，
又∵∠BCA＝45°，
∴ 是等腰直角三角形，
∴BO=BC÷ =10 ÷ =10，
∴BD=2BO=20，
∵AB＝AD＝20，
∴ 是等边三角形，
∴∠BAD=60°.
【知识点】等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1）图中隐含公共边AC=AC；再利用SSS可证得结论.
（2）连接BD，交AC于点O，利用全等三角形的性质可证得AB=AD，BC=DC，可推出AC垂直平分BD，可证得△BOC是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质及解直角三角形可求出BO的长，即可得到BD的长；再证明△ABD是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到∠BAD=60°.
20．（2021八上·武汉期末）如图
（1）问题发现：如图1，如果 和 均为等边三角形 等边三角形的三条边都相等，三个角都是 ，点B、E、D三点在同一直线上，连接 则CD与BE的数量关系为 ； 的度数为 度．
（2）探究：如图2，若 为三边互不相等的三角形，以它的边AB、AC为边分别向外作等边 与等边 ，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，则CD与BE还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理由：并请求出 的度数？
【答案】（1）相等；60
（2）解： 以AB、AC为边分别向外做等边 和等边 ，
， ， ，
，
，
在 和 中，
，
≌
， ，
，
又 ，
．
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1） 和 均为等边三角形，
， ， ，
．
在 和 中，
，
≌ ，
，
≌ ，
，
为等边三角形，
，
点B，D，E在同一直线上，
，
，
，
故答案为：相等，60；
【分析】（1）由条件 和 均为等边三角形，易证 ≌ ，从而得到对应边相等，即 ；由 ≌ ，可得 ，由点B，D，E在同一直线上，可求出 ，从而可以求出 的度数；（2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质得出 ， ，进而解答即可．
21．（2021八上·宜城期末）如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB， ，垂足E在 CD的延长线上. 求证∶ .
（1）观察分析∶延长 BE，CA，交于点 F.可证明△ _ △ ，依据是 ； 从而得到 ；再证 .
（2）类比探究∶如图②，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点 D在线段 BC上， ，垂足为E，DE与AB相交于点F. 试探究BE与DF的数量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）ABF；ACD；ASA；BF＝CD；解：延长BE交AC的延长线与点F， ,CD平分 为等腰三角形， 在 和 中
（2）解：BE＝ FD，证明如下：过点D作DG∥CA，与BE的延长线交于点G，与AB交于点H
则∠BDG＝∠C，
DE平分
为等腰三角形
BE＝ BG，
结合（1）的证明方法，可证
∴BG＝FD .
∵BE＝ BG，
∴BE＝ FD .
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）延长BE交AC的延长线与点F，结合已知可证 为等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一得出BE=BF，再根据ASA证明△ABF≌△ACD，根据全等三角形对应边相等得出BF=CD，即可得到答案；
（2）过点D作DG∥CA，交BE的延长线与点G，与AE交于点H，证明∠DHF=∠A=90°，BH=DH，∠BDE=∠EDG= ∠BDG，结合题意可证△BDG 为等腰三角形，于是与（1）同理可证BE＝ FD.
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