初中数学浙教版八年级上册1.6 尺规作图 同步练习
一、单选题
1．（2016·漳州）下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2016·丽水）用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示的作图痕迹作的是（ ）
A．线段的垂直平分线 B．过一点作已知直线的垂线
C．一个角的平分线 D．作一个角等于已知角
4．（2020·长春模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2017·随州）如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（ ）
A．以点F为圆心，OE长为半径画弧 B．以点F为圆心，EF长为半径画弧
C．以点E为圆心，OE长为半径画弧 D．以点E为圆心，EF长为半径画弧
6．（2017·深圳）如图，已知线段 ，分别以 为圆心，大于 为半径作弧，连接弧的交点得到直线 ，在直线 上取一点 ，使得 ，延长 至 ，求 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2017·石景山模拟）用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下：
①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；
②分别以点D，E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
③作射线OC．
则射线OC为∠AOB的平分线．
由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
8．（2017·承德模拟）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
9．（2017·虞城模拟）在一次数学活动课上小芳，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=8，AB=30，请你帮助她算一下△ABD的面积是（ ）
A．150 B．130 C．240 D．120
10．（2017·路北模拟）如图，△ABC中，BC＞AB＞AC．甲、乙两人想在BC上取一点P，使得∠APC=2∠ABC，其作法如下：
（甲）作AB的中垂线，交BC于P点，则P即为所求
（乙）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于P点，则P即为所求
对于两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
11．（2017·襄城模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点，过M，N两点的直线交AC于点E，若AC=8，BC=6，则AE的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
12．（2016·龙湾模拟）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PB=BC，则下列四种不同方法的作图中，作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知：∠AOB，求作∠AOB的平分线；如图所示，填写作法：
① ．
② ．
③ ．
14．（2017·浙江模拟）如图，AB∥CD，以点B为圆心，小于DB长为半径作圆弧，分别交BA、BD于点E、F，再分别以点E、F，为圆心，大于 长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交CD于点H。若∠D=116°，则∠DHB的大小为 °。
15．（2017七上·扬州期末）如图，已知 OD 是∠AOB 的角平分线，C 为 OD 上一点．
⑴过点 C 画直线 CE∥OB，交 OA 于 E；
⑵过点 C 画直线 CF∥OA，交 OB 于 F；
⑶过点 C 画线段 CG⊥OA，垂足为 G．
根据画图回答问题：
①线段 的长度就是点C到OA的距离；
②比较大小：CE CG（填“＞”或“=”或“＜”）；
③通过度量比较∠AOD与∠ECO的关系是：∠AOD ∠ECO（填“＞”或“=”或“＜”）；
16．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为
17．如图，在△ABC中，∠ACB=80°，∠ABC=60°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC于点D．则∠ADB的度数为 °．
18．如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=70°，分别以点A、C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，分别交AC、BC于点D、E，连结AE，则∠AED的度数是 °．
19．数学活动课上，同学们围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”其中一位同学作出了如图所示的图形．你认为他的作法的理由有 ．
20．如图，用直尺和圆规画∠AOB的平分线OE，其理论依据是 ．
21．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点；
②作直线MN交BC于点D，连接AD，
若∠C=28°，AB=BD，则∠B的度数为 ．
22．用直尺和圆规作一个角等于已知角得到两个角相等的依据是 ．
23．如图，在△ABC中，∠C=90，∠CAB=60°，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q；②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E．若BE=6，则线段CE的长为 ．
三、解答题
24．（2019·三明模拟）如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC．
（Ⅰ）请用尺规作图的方法在边AC上确定点P，使得点P到边BC的距离等于PA的长；（保留作图痕迹，不写作法）
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：BC＝AB+AP．
25．如图，已知点E在直线AB外，请用三角板与直尺画图，并回答第（3）题：
①过E作直线CD，使CD∥AB；
②过E作直线EF，使EF⊥AB，垂足为F；
③请判断直线CD与EF的位置关系，并说明理由．
四、作图题
26．（2020·韶关期末）如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°。
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线DE，分别与AC、AB交于点D、E；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）连结BD，求证：△ABC∽△BDC。
27．（2020七下·泗辖期中）作图分析题
已知：∠AOB，点P在OA上，请以P为顶点，PA为一边作∠APC=∠O（不写作法，但必须保留作图痕迹）．
28．（2020·潮南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）用尺在边AB上求作一点P，使PC＝PB，并连接PC；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）当AC＝3，BC＝4时，△ACP的周长＝ ；
29．（2020七下·宝安期中）如图，在三角形 中，用直尺和圆规在 的内部作射线 ，使 ．（不要求写作法，保留作图痕迹）
30．（2020八下·惠东期中）如图，已知:在 中， ， ．
（1）按下列步骤用尺规作图（保留作图痕迹，不写出作法）：作 的平分线AD，交BC于D；
（2）在（1）中，过点D作 ，交AB于点E，若CD=4，则BC的长为 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为D，
故选B．
【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求．本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．
2．【答案】D
【知识点】作图-垂线
【解析】【解答】解：A、根据垂径定理作图的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
C、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
D、无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，符合题意．
故选：D．
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．考查了作图﹣复杂作图，关键是熟练掌握作过直线外一点作已知直线的垂线的方法．
3．【答案】B
【知识点】作图-垂线
【解析】【解答】观察作图痕迹发现该基本作图为：过直线外一点作已知直线的垂线
选：B．
【分析】根据图形发现此基本作图为过直线外一点作已知直线的垂线，据此求解.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；作图-垂线
【解析】【解答】解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A.CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；
B.CD不与AB垂直，不符合题意；
C.CD是AB的垂线，符合题意；
D.CD不与AB垂直，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】如果 ∽ ，可得 ，即CD是AB的垂线，根据作图痕迹判断即可．
5．【答案】D
【知识点】作图-角
【解析】【解答】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，
第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．
故选D．
【分析】根据作一个角等于一直角的作法即可得出结论．
6．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：依题可得：l是AB的垂直平分线，
∴CA=CB，
∵∠CAB=25°，
∴∠CAB=∠CBA=25°
∴∠BCM=25°+25°=50°.
故答案为B.
【分析】依题可得l是AB的垂直平分线，再由垂直平分线上的点到两端点的距离相等，从而得到△CAB为等腰三角形，在根据三角形的外角即可得出答案.
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：在△OEC和△ODC中，
∵ ，
∴△OEC≌△ODC（SSS），
故选D．
【分析】根据作图得出符合全等三角形的判定定理SSS，即可得出答案．
8．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意可得：MN垂直平分BC，
则DC=BD，
故∠DCB=∠DBC=25°，
则∠CDA=25°+25°=50°，
∵CD=AC，
∴∠A=∠CDA=50°，
∴∠ACB=180°﹣50°﹣25°=105°．
故选：D．
【分析】利用线段垂直平分线的性质得出DC=BD，再利用三角形外角的性质以及三角形内角和定理得出即可．
9．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C=90°，由作法可知AP是∠BAC的平分线，
∴CD=DE=8，
∴S△ABD= AB DE= ×30×8=120．
故选D．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由作法可知AP是∠BAC的平分线，故可得出CD=DE=4，再由三角形的面积公式即可得出结论．
10．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：甲：如图1，∵MN是AB的垂直平分线，
∴AP=BP，
∴∠B=∠BAP，
∵∠APC=∠B+∠BAP，
∴∠APC=2∠ABC，
∴甲正确；
乙：如图2，∵AB=BP，
∴∠BAP=∠APB，
∵∠APC=∠BAP+∠B，
∴∠APC≠2∠ABC，
∴乙错误；
故选C．
【分析】根据甲乙两人作图的作法即可证出结论．
11．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵由题意可知直线MN是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE．
设AE=BE=x，则CE=AC﹣x=8﹣x，
在Rt△BCE中，
∵BC2+CE2=BE2，即62+（8﹣x）2=x2，解得x= ．
故选D．
【分析】根据题意可知直线MN是线段AB的垂直平分线，故可得出AE=BE，设AE=BE=x，则CE=AC﹣x=8﹣x，在Rt△BCE中利用勾股定理求出x的值即可．
12．【答案】B
【知识点】作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：用尺规在BC上确定一点P，使PA+PB=BC，如图所示：
先做出AB的垂直平分线，即可得出AP=PC，即可得出PC+BP=PA+PB=BC．
故答案为：B．
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质作出AB的垂直平分线进而得出答案．
13．【答案】以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N；别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；画射线OC，射线OC即为所求
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【解答】解：①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N．
②分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
③画射线OC，射线OC即为所求．
14．【答案】32
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：∵ABCD，
∴D+ABD=180，
又∵D=116，
∴ABD=64，
由作法知，BH是ABD的平分线，
∴DHB=ABD=32.
故答案为32.
【分析】根据ABCD，D=116，得出ABD=64，再根据BH是ABD的平分线，即可得出DHB的度数.
15．【答案】CG；＞；=
【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：①线段CG长就是点C到OA的距离；
②比较大小：CE＞CG（填“＞”或“=”或“＜”）；
③通过度量比较∠AOD与∠ECO的关系是：
∠AOD=∠ECO．
【分析】根据已知条件画出图形，然后根据图形即可得到结论.
16．【答案】17
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．
∴MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，
∵AB=7，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17．
故答案为17．
【分析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，再根据△ADC的周长为10可得AC+BC=10，又由条件AB=7可得△ABC的周长．
17．【答案】100
【知识点】三角形内角和定理；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，
∵∠ACB=80°，∠ABC=60°，
∴∠CAB=40°，
∴∠BAD=20°；
在△ADC中，∠B=60°，∠CAD=20°，
∴∠ADB=100°，
故答案是：100．
【分析】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质解答即可．
18．【答案】50
【知识点】等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴CE=AE，
∴∠C=∠CAE，
∵AC=BC，∠B=70°，
∴∠C=40°，
∴∠AED=50°，
故答案为：50．
【分析】由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，故可得出结论．
19．【答案】到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线
【知识点】作图-垂线
【解析】【解答】解：他的作法的理由有到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．
故答案为到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．
【分析】把过一点作已知直线的垂线转化为作已知线段的垂直平分线．
20．【答案】全等三角形，对应角相等
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：连接CE、DE，
在△OCE和△ODE中，
，
∴△OCE≌△ODE（SSS），
∴∠AOE=∠BOE．
因此画∠AOB的平分线OE，其理论依据是：全等三角形，对应角相等．
【分析】首先连接CE、DE，然后证明△OCE≌△ODE，根据全等三角形的性质可得∠AOE=∠BOE．
21．【答案】68°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD=DC，故∠C=∠DAC，
∵∠C=28°，
∴∠DAC=28°，
∴∠ADB=56°，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA=56°，
∴∠B=180°﹣56°﹣56°=68°．
故答案为：68°．
【分析】利用线段垂直平分线的性质得出AD=DC，再利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出答案．
22．【答案】SSS
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角
【解析】【解答】解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
在△OCD与△O′C′D′，
，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′=∠AOB，
故答案为SSS．
【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS．
23．【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：连结AE，如图，
∵∠C=90，∠CAB=60°，
∴∠B=30°，
由作法得PQ垂直平分AB，则EA=EB=6，
∴∠EAB=∠B=30°，
∴∠CAE=30°，
∴CE=AE=×6=3．
故答案为3．
【分析】连结AE，如图，利用互余可计算出∠B=30°，再由作法得PQ垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得EA=EB=6，所以∠EAB=∠B=30°，则∠CAE=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到CE=3．
24．【答案】解：（Ⅰ）如图，点P即为所求． （Ⅱ）过点P作PD⊥BC于点D， 由（Ⅰ）知PA＝PD． 又∵∠A＝90°，PD⊥BC，BP＝BP， ∴Rt△ABP≌Rt△DBP（HL）， ∴AB＝DB， ∵∠A＝90°，AB＝AC， ∴∠C＝45°． ∴∠1＝90°﹣45°＝45°， ∴∠1＝∠C， ∴DP＝DC， ∴DC＝AP， ∴BC＝BD+DC＝AB+AP
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；作图-角的平分线
【解析】【解答】 解：（Ⅰ）如图，点P即为所求．
（Ⅱ）过点P作PD⊥BC于点D，
由（Ⅰ）知PA＝PD．
又∵∠A＝90°，PD⊥BC，BP＝BP，
∴Rt△ABP≌Rt△DBP（HL），
∴AB＝DB，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠C＝45°．
∴∠1＝90°﹣45°＝45°，
∴∠1＝∠C，
∴DP＝DC，
∴DC＝AP，
∴BC＝BD+DC＝AB+AP
【分析】（1）根据尺规作图的方法，作∠ABC的平分线.
（2） 过点P作PD⊥BC于点D， 易证Rt△ABP≌Rt△DBP，根据全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质即可解决问题.
25．【答案】解：①、②如图所示：
③CD⊥EF．
理由：∵CD∥AB，
∴∠CEF=∠EFB，
∵EF⊥AB，
∴∠EFB=90°，
∴∠CEF=90°，
∴CD⊥EF．
【知识点】平行线的性质；作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】①根据题意直接作出CD∥AB；②过点E利用三角尺作出EF⊥AB；③利用平行线的性质，进而得出直线CD与EF的位置关系．
26．【答案】（1）解：如图，直线DE为所作
（2）证明：∵DE垂直平分AB ∴DA=DB ∵∠ABC=80°，∠A=40° ∴∠ABD=∠A=40° ∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=80°-40°=40° ∴∠CBD=∠A 又∵∠C=∠C ∴△ABC∽△BDC
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径，分别画弧，两弧交于一点，过两点画出直线即得；
（2）根据垂直平分线的性质可得DA=DB，利用等边对等角可得∠ABD=∠A=40° ，从而可得∠CBD=∠ABC-∠ABD=40° ，继而可得∠CBD=∠A，根据两角分别相等可证△ABC∽△BDC .
27．【答案】解：如图即为所求：
【知识点】作图-角
【解析】【分析】以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交∠AOB的两边于两点；以点P为圆心，刚才的半径为半径，交射线PA于一点，以这点为圆心，∠AOB两边上两点的距离为半径画弧，交前弧于一点，过这点作射线PC，∠APC就是所求的角．
28．【答案】（1）如图所示，点P为所求作．
（2）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°． AC=3，BC=4， ∴AB=5， ∴△ACP的周长为:AC+AP+PC=AC+AP+PB=AC+AB=3+5=8.
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】（1）利用垂直平分线的定义，用圆规作图找出该点。
（2）根据PC=PB，可换算得出三角形的周长。
【分析】根据三角形的基本概念，利用尺规组图，以及等腰三角形的性质可解答。
29．【答案】如图，射线 即为所求，
．
【知识点】作图-角
【解析】【分析】分别以B，C为圆心，以相同的半径长画弧，交AB于点G，交BC于点E，交AC于点F，再以G为圆心，EF长为半径画弧，两条弧的交点为H，然后连接点B和点H并延长，即为射线BM．
30．【答案】（1）如图，AD为所作；
（2）4＋4
【知识点】角平分线的性质；等腰直角三角形；作图-角的平分线
【解析】【解答】（2）∵AD平分∠BAC，AC⊥CD，CE⊥AB，
∴DC＝DE＝4，
设AC＝BC＝x，则BD＝x 4，
∵△ACB为等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴BD＝ = DE，即x 4＝4 ，
∴x＝4＋4 ，
即AC的长为4＋4 ．
【分析】（1）利用基本作图作AD平分∠BAC；（2）根据角平分线的性质得DC＝DE＝4，设AC＝BC＝x，则BD＝x 4，利用等腰直角三角形的性质得到BD＝ DE，即x 4＝4 ，然后解方程求出x即可．
1 / 1初中数学浙教版八年级上册1.6 尺规作图 同步练习
一、单选题
1．（2016·漳州）下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为D，
故选B．
【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求．本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．
2．（2016·丽水）用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】作图-垂线
【解析】【解答】解：A、根据垂径定理作图的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
C、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意；
D、无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，符合题意．
故选：D．
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．考查了作图﹣复杂作图，关键是熟练掌握作过直线外一点作已知直线的垂线的方法．
3．如图所示的作图痕迹作的是（ ）
A．线段的垂直平分线 B．过一点作已知直线的垂线
C．一个角的平分线 D．作一个角等于已知角
【答案】B
【知识点】作图-垂线
【解析】【解答】观察作图痕迹发现该基本作图为：过直线外一点作已知直线的垂线
选：B．
【分析】根据图形发现此基本作图为过直线外一点作已知直线的垂线，据此求解.
4．（2020·长春模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；作图-垂线
【解析】【解答】解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．
∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A.CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；
B.CD不与AB垂直，不符合题意；
C.CD是AB的垂线，符合题意；
D.CD不与AB垂直，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】如果 ∽ ，可得 ，即CD是AB的垂线，根据作图痕迹判断即可．
5．（2017·随州）如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（ ）
A．以点F为圆心，OE长为半径画弧 B．以点F为圆心，EF长为半径画弧
C．以点E为圆心，OE长为半径画弧 D．以点E为圆心，EF长为半径画弧
【答案】D
【知识点】作图-角
【解析】【解答】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，
第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．
故选D．
【分析】根据作一个角等于一直角的作法即可得出结论．
6．（2017·深圳）如图，已知线段 ，分别以 为圆心，大于 为半径作弧，连接弧的交点得到直线 ，在直线 上取一点 ，使得 ，延长 至 ，求 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：依题可得：l是AB的垂直平分线，
∴CA=CB，
∵∠CAB=25°，
∴∠CAB=∠CBA=25°
∴∠BCM=25°+25°=50°.
故答案为B.
【分析】依题可得l是AB的垂直平分线，再由垂直平分线上的点到两端点的距离相等，从而得到△CAB为等腰三角形，在根据三角形的外角即可得出答案.
7．（2017·石景山模拟）用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下：
①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；
②分别以点D，E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
③作射线OC．
则射线OC为∠AOB的平分线．
由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：在△OEC和△ODC中，
∵ ，
∴△OEC≌△ODC（SSS），
故选D．
【分析】根据作图得出符合全等三角形的判定定理SSS，即可得出答案．
8．（2017·承德模拟）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意可得：MN垂直平分BC，
则DC=BD，
故∠DCB=∠DBC=25°，
则∠CDA=25°+25°=50°，
∵CD=AC，
∴∠A=∠CDA=50°，
∴∠ACB=180°﹣50°﹣25°=105°．
故选：D．
【分析】利用线段垂直平分线的性质得出DC=BD，再利用三角形外角的性质以及三角形内角和定理得出即可．
9．（2017·虞城模拟）在一次数学活动课上小芳，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=8，AB=30，请你帮助她算一下△ABD的面积是（ ）
A．150 B．130 C．240 D．120
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C=90°，由作法可知AP是∠BAC的平分线，
∴CD=DE=8，
∴S△ABD= AB DE= ×30×8=120．
故选D．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由作法可知AP是∠BAC的平分线，故可得出CD=DE=4，再由三角形的面积公式即可得出结论．
10．（2017·路北模拟）如图，△ABC中，BC＞AB＞AC．甲、乙两人想在BC上取一点P，使得∠APC=2∠ABC，其作法如下：
（甲）作AB的中垂线，交BC于P点，则P即为所求
（乙）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于P点，则P即为所求
对于两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：甲：如图1，∵MN是AB的垂直平分线，
∴AP=BP，
∴∠B=∠BAP，
∵∠APC=∠B+∠BAP，
∴∠APC=2∠ABC，
∴甲正确；
乙：如图2，∵AB=BP，
∴∠BAP=∠APB，
∵∠APC=∠BAP+∠B，
∴∠APC≠2∠ABC，
∴乙错误；
故选C．
【分析】根据甲乙两人作图的作法即可证出结论．
11．（2017·襄城模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点，过M，N两点的直线交AC于点E，若AC=8，BC=6，则AE的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵由题意可知直线MN是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE．
设AE=BE=x，则CE=AC﹣x=8﹣x，
在Rt△BCE中，
∵BC2+CE2=BE2，即62+（8﹣x）2=x2，解得x= ．
故选D．
【分析】根据题意可知直线MN是线段AB的垂直平分线，故可得出AE=BE，设AE=BE=x，则CE=AC﹣x=8﹣x，在Rt△BCE中利用勾股定理求出x的值即可．
12．（2016·龙湾模拟）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PB=BC，则下列四种不同方法的作图中，作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：用尺规在BC上确定一点P，使PA+PB=BC，如图所示：
先做出AB的垂直平分线，即可得出AP=PC，即可得出PC+BP=PA+PB=BC．
故答案为：B．
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质作出AB的垂直平分线进而得出答案．
二、填空题
13．已知：∠AOB，求作∠AOB的平分线；如图所示，填写作法：
① ．
② ．
③ ．
【答案】以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N；别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；画射线OC，射线OC即为所求
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【解答】解：①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N．
②分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
③画射线OC，射线OC即为所求．
14．（2017·浙江模拟）如图，AB∥CD，以点B为圆心，小于DB长为半径作圆弧，分别交BA、BD于点E、F，再分别以点E、F，为圆心，大于 长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交CD于点H。若∠D=116°，则∠DHB的大小为 °。
【答案】32
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：∵ABCD，
∴D+ABD=180，
又∵D=116，
∴ABD=64，
由作法知，BH是ABD的平分线，
∴DHB=ABD=32.
故答案为32.
【分析】根据ABCD，D=116，得出ABD=64，再根据BH是ABD的平分线，即可得出DHB的度数.
15．（2017七上·扬州期末）如图，已知 OD 是∠AOB 的角平分线，C 为 OD 上一点．
⑴过点 C 画直线 CE∥OB，交 OA 于 E；
⑵过点 C 画直线 CF∥OA，交 OB 于 F；
⑶过点 C 画线段 CG⊥OA，垂足为 G．
根据画图回答问题：
①线段 的长度就是点C到OA的距离；
②比较大小：CE CG（填“＞”或“=”或“＜”）；
③通过度量比较∠AOD与∠ECO的关系是：∠AOD ∠ECO（填“＞”或“=”或“＜”）；
【答案】CG；＞；=
【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：①线段CG长就是点C到OA的距离；
②比较大小：CE＞CG（填“＞”或“=”或“＜”）；
③通过度量比较∠AOD与∠ECO的关系是：
∠AOD=∠ECO．
【分析】根据已知条件画出图形，然后根据图形即可得到结论.
16．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为
【答案】17
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．
∴MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△ADC的周长为10，
∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，
∵AB=7，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17．
故答案为17．
【分析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，再根据△ADC的周长为10可得AC+BC=10，又由条件AB=7可得△ABC的周长．
17．如图，在△ABC中，∠ACB=80°，∠ABC=60°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC于点D．则∠ADB的度数为 °．
【答案】100
【知识点】三角形内角和定理；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，
∵∠ACB=80°，∠ABC=60°，
∴∠CAB=40°，
∴∠BAD=20°；
在△ADC中，∠B=60°，∠CAD=20°，
∴∠ADB=100°，
故答案是：100．
【分析】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质解答即可．
18．如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=70°，分别以点A、C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，分别交AC、BC于点D、E，连结AE，则∠AED的度数是 °．
【答案】50
【知识点】等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴CE=AE，
∴∠C=∠CAE，
∵AC=BC，∠B=70°，
∴∠C=40°，
∴∠AED=50°，
故答案为：50．
【分析】由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，故可得出结论．
19．数学活动课上，同学们围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”其中一位同学作出了如图所示的图形．你认为他的作法的理由有 ．
【答案】到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线
【知识点】作图-垂线
【解析】【解答】解：他的作法的理由有到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．
故答案为到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．
【分析】把过一点作已知直线的垂线转化为作已知线段的垂直平分线．
20．如图，用直尺和圆规画∠AOB的平分线OE，其理论依据是 ．
【答案】全等三角形，对应角相等
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：连接CE、DE，
在△OCE和△ODE中，
，
∴△OCE≌△ODE（SSS），
∴∠AOE=∠BOE．
因此画∠AOB的平分线OE，其理论依据是：全等三角形，对应角相等．
【分析】首先连接CE、DE，然后证明△OCE≌△ODE，根据全等三角形的性质可得∠AOE=∠BOE．
21．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点；
②作直线MN交BC于点D，连接AD，
若∠C=28°，AB=BD，则∠B的度数为 ．
【答案】68°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD=DC，故∠C=∠DAC，
∵∠C=28°，
∴∠DAC=28°，
∴∠ADB=56°，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA=56°，
∴∠B=180°﹣56°﹣56°=68°．
故答案为：68°．
【分析】利用线段垂直平分线的性质得出AD=DC，再利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出答案．
22．用直尺和圆规作一个角等于已知角得到两个角相等的依据是 ．
【答案】SSS
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角
【解析】【解答】解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
在△OCD与△O′C′D′，
，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′=∠AOB，
故答案为SSS．
【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS．
23．如图，在△ABC中，∠C=90，∠CAB=60°，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q；②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E．若BE=6，则线段CE的长为 ．
【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：连结AE，如图，
∵∠C=90，∠CAB=60°，
∴∠B=30°，
由作法得PQ垂直平分AB，则EA=EB=6，
∴∠EAB=∠B=30°，
∴∠CAE=30°，
∴CE=AE=×6=3．
故答案为3．
【分析】连结AE，如图，利用互余可计算出∠B=30°，再由作法得PQ垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得EA=EB=6，所以∠EAB=∠B=30°，则∠CAE=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到CE=3．
三、解答题
24．（2019·三明模拟）如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC．
（Ⅰ）请用尺规作图的方法在边AC上确定点P，使得点P到边BC的距离等于PA的长；（保留作图痕迹，不写作法）
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：BC＝AB+AP．
【答案】解：（Ⅰ）如图，点P即为所求． （Ⅱ）过点P作PD⊥BC于点D， 由（Ⅰ）知PA＝PD． 又∵∠A＝90°，PD⊥BC，BP＝BP， ∴Rt△ABP≌Rt△DBP（HL）， ∴AB＝DB， ∵∠A＝90°，AB＝AC， ∴∠C＝45°． ∴∠1＝90°﹣45°＝45°， ∴∠1＝∠C， ∴DP＝DC， ∴DC＝AP， ∴BC＝BD+DC＝AB+AP
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；作图-角的平分线
【解析】【解答】 解：（Ⅰ）如图，点P即为所求．
（Ⅱ）过点P作PD⊥BC于点D，
由（Ⅰ）知PA＝PD．
又∵∠A＝90°，PD⊥BC，BP＝BP，
∴Rt△ABP≌Rt△DBP（HL），
∴AB＝DB，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠C＝45°．
∴∠1＝90°﹣45°＝45°，
∴∠1＝∠C，
∴DP＝DC，
∴DC＝AP，
∴BC＝BD+DC＝AB+AP
【分析】（1）根据尺规作图的方法，作∠ABC的平分线.
（2） 过点P作PD⊥BC于点D， 易证Rt△ABP≌Rt△DBP，根据全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质即可解决问题.
25．如图，已知点E在直线AB外，请用三角板与直尺画图，并回答第（3）题：
①过E作直线CD，使CD∥AB；
②过E作直线EF，使EF⊥AB，垂足为F；
③请判断直线CD与EF的位置关系，并说明理由．
【答案】解：①、②如图所示：
③CD⊥EF．
理由：∵CD∥AB，
∴∠CEF=∠EFB，
∵EF⊥AB，
∴∠EFB=90°，
∴∠CEF=90°，
∴CD⊥EF．
【知识点】平行线的性质；作图-平行线；作图-垂线
【解析】【分析】①根据题意直接作出CD∥AB；②过点E利用三角尺作出EF⊥AB；③利用平行线的性质，进而得出直线CD与EF的位置关系．
四、作图题
26．（2020·韶关期末）如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°。
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线DE，分别与AC、AB交于点D、E；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）连结BD，求证：△ABC∽△BDC。
【答案】（1）解：如图，直线DE为所作
（2）证明：∵DE垂直平分AB ∴DA=DB ∵∠ABC=80°，∠A=40° ∴∠ABD=∠A=40° ∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=80°-40°=40° ∴∠CBD=∠A 又∵∠C=∠C ∴△ABC∽△BDC
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径，分别画弧，两弧交于一点，过两点画出直线即得；
（2）根据垂直平分线的性质可得DA=DB，利用等边对等角可得∠ABD=∠A=40° ，从而可得∠CBD=∠ABC-∠ABD=40° ，继而可得∠CBD=∠A，根据两角分别相等可证△ABC∽△BDC .
27．（2020七下·泗辖期中）作图分析题
已知：∠AOB，点P在OA上，请以P为顶点，PA为一边作∠APC=∠O（不写作法，但必须保留作图痕迹）．
【答案】解：如图即为所求：
【知识点】作图-角
【解析】【分析】以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交∠AOB的两边于两点；以点P为圆心，刚才的半径为半径，交射线PA于一点，以这点为圆心，∠AOB两边上两点的距离为半径画弧，交前弧于一点，过这点作射线PC，∠APC就是所求的角．
28．（2020·潮南模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）用尺在边AB上求作一点P，使PC＝PB，并连接PC；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）当AC＝3，BC＝4时，△ACP的周长＝ ；
【答案】（1）如图所示，点P为所求作．
（2）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°． AC=3，BC=4， ∴AB=5， ∴△ACP的周长为:AC+AP+PC=AC+AP+PB=AC+AB=3+5=8.
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】（1）利用垂直平分线的定义，用圆规作图找出该点。
（2）根据PC=PB，可换算得出三角形的周长。
【分析】根据三角形的基本概念，利用尺规组图，以及等腰三角形的性质可解答。
29．（2020七下·宝安期中）如图，在三角形 中，用直尺和圆规在 的内部作射线 ，使 ．（不要求写作法，保留作图痕迹）
【答案】如图，射线 即为所求，
．
【知识点】作图-角
【解析】【分析】分别以B，C为圆心，以相同的半径长画弧，交AB于点G，交BC于点E，交AC于点F，再以G为圆心，EF长为半径画弧，两条弧的交点为H，然后连接点B和点H并延长，即为射线BM．
30．（2020八下·惠东期中）如图，已知:在 中， ， ．
（1）按下列步骤用尺规作图（保留作图痕迹，不写出作法）：作 的平分线AD，交BC于D；
（2）在（1）中，过点D作 ，交AB于点E，若CD=4，则BC的长为 ．
【答案】（1）如图，AD为所作；
（2）4＋4
【知识点】角平分线的性质；等腰直角三角形；作图-角的平分线
【解析】【解答】（2）∵AD平分∠BAC，AC⊥CD，CE⊥AB，
∴DC＝DE＝4，
设AC＝BC＝x，则BD＝x 4，
∵△ACB为等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴BD＝ = DE，即x 4＝4 ，
∴x＝4＋4 ，
即AC的长为4＋4 ．
【分析】（1）利用基本作图作AD平分∠BAC；（2）根据角平分线的性质得DC＝DE＝4，设AC＝BC＝x，则BD＝x 4，利用等腰直角三角形的性质得到BD＝ DE，即x 4＝4 ，然后解方程求出x即可．
1 / 1
