初中数学浙教版八年级上册2.6 直角三角形 同步练习
一、单选题
1．（2021·宁波）如图，在 中， 于点D， .若E，F分别为 ， 的中点，则 的长为（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2021·梓潼模拟）如图，在 中， ， ， ，则 的度数为（ ）
A．12° B．13° C．14° D．15°
3．（2021·海口模拟）一副三角板如图方式摆放，点D在直线EF上，且AB//EF，则∠ADE的度数是（ ）
A．105° B．75° C．60° D．45°
4．（2021·福建模拟）如图所示，在正五边形 中，过顶点A作 ，垂足为点F，连接对角线 ，则 的度数是（ ）
A．16° B．18° C．24° D．28°
5．（2021·江川模拟）如图，在RtABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB+BC＝9cm，则AB的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
6．（2021·官渡模拟）学校研究性学习小组的同学测量旗杆的高度．如图，在教学楼一楼地面C处测得旗杆顶部的仰角为 ，在教学楼三楼地面D处测得旗杆顶部的仰角为 ，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知教学楼每层楼的高度约为3.3米，则旗杆 的高度最接近（ ）
A．8米 B．9米 C．10米 D．11米
7．（2021·宣城模拟）如图，在 中， ， ，DE垂直平分AB，交BC于点E， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2021·枣庄模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD ，则BD的长是（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
9．（2021·市南模拟）如图，在 中，点O是边 和 的垂直平分线 、 的交点，若 ，则这两条垂直平分线相交所成锐角 的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·长春模拟）如图： ．按下列步骤作图：①在射线 上取一点C，以点O为圆心， 长为半径作圆弧 ，交射线 于点F．连结 ；②以点F为圆心， 长为半径作圆弧，交弧 于点G；③连结 、 ．作射线 ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A． B． 垂直平分
C． D．
11．（2021·三明模拟）如图，在等边△ABC中，点D和点B关于直线AC对称，连接CD，过D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，若CE＝5，则BE的长为（ ）
A．10 B．15 C． D．
12．（2021七下·孝义期中）如图， ，将一个含 角的直角三角尺按如图所示的方式放置，若 的度数为 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·平谷模拟）如图，Rt△ABC中， 于点D则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2021八下·罗湖期中）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（ ）
A．1﹣ B．1﹣ C． D．
15．（2021九下·海淀月考）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题
16．（2021·扬州）如图，在 中，点E在 上，且 平分 ，若 ， ，则 的面积为 .
17．（2021·武威）如图，在矩形 中， 是 边上一点， 是 边的中点， ，则 .
18．（2021·柳州模拟）如图，已知直线a∥b，c⊥d，∠1=36°，则∠2的度数是 .
19．（2021·吉林模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=40°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB'C'，且点C'落在AB上，则∠B'BC的度数为
20．（2021·福田模拟）如图，AB是一座办公大楼，一架无人机从C处测得楼顶部B的仰角为60°，测得楼底部A的俯角为37°，测得与大楼的水平距离为40米，则该办公大楼的高度是 米．（结果保留整数，参考数据： ≈1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
21．（2021八下·兴业期中）将一副三角尺按图所示的方式叠放在一起，如果AF= ，那么AB= ．
22．（2021八下·兴业期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．CD为AB边上的中线，若∠A =55°，则∠BCD的度数为 ．
23．（2021七下·海淀期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，AD＝3，则BC＝ ．
24．（2021八下·中原期中）如图等边三角形ABC中，点O是△ABC的∠B和∠C的角平分线的交点，∠FOG=120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于点D、E两点，连接DE，若OA=2，则△ODE周长最小值为 .
25．（2021·宣城模拟）如图，在 中， ， ， ，过B作 ，过 作 ，得阴影 ；再过 作 ，过 作 ，得阴影 ；…如此下去．请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为 ．
三、计算题
26．（2019·重庆）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.
（1）若∠C=42°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.
求证：AE=FE.
四、解答题
27．（2021七下·浦东期中）如图，已知∠AGH=∠B, ∠CGH=∠BEF，EF⊥AB于F，试说明CG⊥AB.
28．（2021八下·贺兰期中）在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．
五、综合题
29．（2021·瑶海模拟）如图1，在 中， ， ，点 是 的中点，连接 ，点 是 上一点，连接 并延长交 于点 ．
（1）若点 是 中点，求证： ；
（2）如图2，若 ．
①求证： ；
②猜想 的值并写出计算过程．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AD垂直BC，
则△ABD和△ACD都是直角三角形，
又因为
∴AD= ，
∵sin∠C= ，
∴AC=2，
∵EF为△ABC的中位线，
∴EF= =1，
故答案为：C.
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出AD，再根据含30°直角三角形的特点求出AC，然后根据三角形的中位线定理即可解答.
2．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过C作CE⊥AD于E，过D作DF⊥BC于F.
∵∠CAD=30°，
∴∠ACE=60°，且CE= AC，
∵AC=AD，∠CAD=30°，
∴∠ACD=75°，
∴∠FCD=90°-∠ACD=15°，∠ECD=∠ACD-∠ACE=15°，
在△CED和△CFD中，
，
∴△CED≌△CFD（AAS），
∴CF=CE= AC= BC，
∴CF=BF，
∵DF⊥BC，
∴BD=CD，
∴∠DCB=∠CBD=15°，
故答案为：D.
【分析】可过C作CE⊥AD于E，过D作DE⊥BC于F，依据题意可得∠FCD=∠ECD，进而得到△CED≌△CFD，得到CF=BF，再利用等腰三角形的判定可得出结论.
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∠ADE=∠DAC+∠CAB=45°+30°=75°.
故答案为：B.
【分析】根据三角板自带角的度数以及平行的性质可得.
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；正多边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解： 五边形 是正五边形，
， ，
，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】先根据正五边形的内角和公式可得 和 的度数，再根据等腰三角形的性质可得 的度数，从而可得 的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得.
5．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：在RtABC中， ， ，
设 ，由 ，得到 ，
则 ，即 ，
解得： ．
则 ．
故答案为： ．
【分析】先求出 ，再求出，最后计算求解即可。
6．【答案】C
【知识点】矩形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：
则四边形ACDE为矩形，
∴AE＝CD＝2×3.3＝6.6（米），AC＝DE，
设BE＝x米，
在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠BDE＝30°，
∴DE＝ BE＝ x（米），
∴AC＝DE＝ x（米），
在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，
∴AB＝ AC＝ × x＝3x（米），
∵AB﹣BE＝AE，
∴3x﹣x＝6.6，
∴x＝3.3，
AB＝3×3.3＝9.9（米），
即旗杆AB的高度为9.9米，
∴旗杆AB的高度最接近10米，
故答案为：C．
【分析】根据矩形以及直角三角形的性质，计算得到答案即可。
7．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解： 垂直平分 ，
，
，
，
(cm) ，
故答案为：D．
【分析】根据垂直平分线的性质得出EB=EA，由等边对等角可得，利用三角形外角的性质可得∠AEC=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得.
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；角平分线的定义
【解析】【解答】解：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC=60°
∵AD为∠BAC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD=∠B=30°
∴AD=BD
在△ACD中，∠CAD=30°，CD=
∴AD=2CD=
∴BD=AD=
故答案为：B
【分析】本题考查角平分线的定义、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及三角形内角和的计算，先利用三角形内角和与角平分线的定义确定∠B=∠BAD=30°，得到等腰三角形ABD，AD=BD ，再在△ACD中利用30°角所对的直角边是斜边的一半，计算出AD的长，从而得到BD的长。
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连结AO，DO交AC于F，
∵边 和 的垂直平分线 、 ，
∴AO=BO=OC，
∴∠OBA=∠OAB，∠OAC=∠OCA，
∴∠BAC=∠OBA+∠OAC =∠OAB+∠OCA，
∵ ，
∴∠OBC+∠OCB=180°- ，
∴∠BAC+∠ABO+∠ACO=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-80°=100°，
∴∠BAC+∠ABO+∠ACO=∠BAC +∠BAC =2∠BAC =100°，
∴∠BAC=50°，
∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴∠DAF+∠DFA=90°，∠EOF+∠OFE=90°，∠DFA=∠OFE，
∴∠EOF=∠DAF=∠BAC=50°，
∴这两条垂直平分线相交所成锐角 =∠BAC=50°．
故答案为：C．
【分析】连结AO，DO交AC于F，根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，可求出∠BAC=∠OBA+∠OAC =∠OAB+∠OCA，由，利用三角形的内角和可求出∠BAC=50°，由OE⊥AC，OD⊥AB，利用余角的性质可求出∠EOF=∠DAF=∠BAC=50°，从而得出结论.
10．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：由作法得OC=OF= OG，FG= FC，则OF垂直平分CG，
所以B选项的结论不符合题意；
∵C点与G点关于OF对称
∴∠FOG=∠FOC=30°，
∴∠AOG =60°，
所以A选项的结论不符合题意；
∴△OCG为等边三角形，
OG = CG，
所以C选项的结论不符合题意；
在Rt△OCM中，∵∠COM =30°
∴OC = 2CM，
∵CF > CM， FC= FG，
∴OC ≠2FG，
所以D选项的结论符合题意
故答案为：D.
【分析】由尺规作图可得OC=OF= OG，FG= FC，根据线段垂直平分线的判定可得OF垂直平分CG，据此判断B；由C点与G点关于OF对称，可得∠FOG=∠FOC=30°，据此判断A；可得△OCG是等边三角形，可得OG=CG，据此判断C；在Rt△OCM中，∠COM =30°，可得OC = 2CM，在Rt△CMF中，CF＞CM，据此判断D即可.
11．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】∵点D和点B关于直线AC对称 ，△ABC是等边三角形，
∴BC=CD，∠ACB=∠ACD=60°，
∴∠DCE=60°，
∵DE⊥BC，CE=5，
∴∠CDE=90°-∠DCE=30°，
∴CD=2CE=10，
∴BC=10，
∴BE=BC+CE=10+5=15.
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形及轴对称的性质得出BC=CD，∠ACB=∠ACD=60°，从而得出∠DCE=60°，根据垂直的定义及直角三角形的定义可求出∠CDE=30°，从而得出CD=2CE=10，即得BC=10，利用BE=BC+CE计算即得结论.
12．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】如图，过三角板60°角的顶点作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠3=∠1，∠4=∠2，
∵∠3+∠4=60°，
∴∠1+∠2=60°，
∵∠1=25°，
∴∠2=35°，
故答案为：A．
【分析】作直线EF∥AB，由AB∥CD，得EF∥CD，∠3=∠1，∠4=∠2，由∠3+∠4=60°，得∠1+∠2=60°，由此得出∠2的度数。
13．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠3+∠4=90°，∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠2+∠4=90°，
A.∵∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，故A成立，不选A；
B.∵∠3+∠4=90°，∠2+∠4=90°，∴∠2=∠3， 故B成立，不选B；
C.∵∠2+∠4=90°，∠1+∠2=90°，∴ ，故C成立，不选C；
D.∵∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，∠1=90°-∠2不一定等于30°，故D不一定成立.
故答案为：D.
【分析】先求出∠2+∠4=90°，再对每个选项一一判断求解即可。
14．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：设CD与B′C′相交于点O，连接OA．
根据旋转的性质，得∠BAB′＝30°，则∠DAB′＝60°．
在Rt△ADO和Rt△AB′O中，AD＝AB′，AO＝AO，
∴Rt△ADO≌Rt△AB′O．
∴∠OAD＝∠OAB′＝30°．
又∵AD＝1，
∴OD＝AD tan∠OAD＝ ．
∴公共部分的面积＝2× × ×1＝1× ＝ ．
故答案为：D．
【分析】只需把公共部分分割成两个三角形，根据旋转发现两个三角形全等，从而求得直角三角形的边，再进一步计算其面积。
15．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，
∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∵∠AFB＝90°，EF＝2，
∴AE＝2EF＝4，
∵点E为AD的中点，
∴DE＝AE＝4，
∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠EBD＝30°，
∴BE＝2DE＝8，
∴BF＝BE＋EF＝8＋2＝10，
故答案为：D．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠DAC＝30°和∠EBD＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得出AE＝2EF，BE＝2DE，代入求出即可．
16．【答案】50
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵∠EBC=30°，BE=10，
∴EF= BE=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC=10，
∴四边形ABCD的面积= = =50，
故答案为：50.
【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，由含30°角的直角三角形的性质得出EF= BE=5，根据平行四边形的性质及角平分线的定义得出∠BCE=∠BEC，从而可得BE=BC=10，由平行四边形ABCD的面积= ，据此计算即可.
17．【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解： 是 边的中点， ，
矩形 ，
故答案为：6
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得出 从而求出利用矩形的性质得出利用即可求出结论.
18．【答案】126°
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵a∥b，
∴∠3=∠1=36°，
∵c⊥d，
∴∠4=90°，
∵∠2=∠3+∠4，
∴∠2=126°，
故答案为：126°.
【分析】根据两直线平行，同位角相等，求得∠3=36°，根据垂直的定义，求得∠4=90°，利用∠2=∠3+∠4求解即可
19．【答案】120
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：由折叠性质得： AB'=AB，∠B'AB=∠BAC=40°，
∴∠ABB'=∠AB'B=，
∵ ∠C=90°，∠BAC=40°，
∴∠ABC=50°，
∴ ∠B'BC= ∠ABC+∠ABB'=50°+70°=120°.
【分析】根据折叠的性质得出AB'=AB，∠B'AB=∠BAC=40°，再根据等腰三角形的性质得出∠ABB'=70°，再根据直角三角形两个锐角互余得出∠ABC=50°，利用∠B'BC= ∠ABC+∠ABB'，即可得出答案.
20．【答案】99
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得，∠BCD=60°，∠ACD=37°，CD⊥AB，CD=40
在直角三角形BCD中，tan∠BCD=
∴BD=CD×tan∠BCD=40≈69.2
在直角三角形ACD中tan∠ACD=
∴AD=CD×tan∠ACD≈40×0.75=30
∴AB=BD+AD≈69.2+30=99
【分析】根据直角三角形的性质以及应用，计算得到答案即可。
21．【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵BC⊥AE，DE⊥AE
∴BC∥DE
∴∠AFC=∠D=45°
∴△AFC为等腰直角三角形
∴AC=FC
设AC=FC=x，则，解得x=1，即AC=FC=1
在Rt△ABC中，∠B=30°
∴AB=2AC=2。
【分析】考查等腰直角三角形与含30°角的直角三角形的性质，先根据平行线的性质确定∠AFC为45°，判定△AFC为等腰直角三角形，然后利用勾股定理计算出AC，再在△ABC中利用30°的角所对的直角边是斜边的一半，计算出AB。
22．【答案】35°
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°．CD为AB边上的中线，∠A =55°
∴CD=AD=BD
∴∠DCA=∠A=55°
∴∠BCD=90°-55°=35°。
故答案为：35°.
【分析】考查直角三角形斜边中线的性质以及等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，判定出△ACD和△BCD都是等腰三角形，然后再利用三角形内角和计算即可。
23．【答案】9
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝90°，又∠C＝30°，
∴CD＝2AD＝6，
∵∠BAC＝120°，∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝30°，
∴∠DAB＝∠B，
∴BD＝AD＝3，
∴BC＝BD+CD＝9，
故答案为：9．
【分析】先求出∠B＝∠C＝30°，再求出∠DAB＝∠B，最后计算求解即可。
24．【答案】
【知识点】垂线段最短；等边三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】如图，过点O作OM⊥AB，垂足为M，连接AO并延长交BC于点N，
∵点O是等边△ABC的∠B和∠C的角平分线的交点，
∴ON⊥BC，OM=ON，∠MAO=30°，∠MOA=60°，
∴∠DOM+∠DON=120°，
∵∠DOE=120°，
∴∠NOE+∠DON=120°，
∴∠DOM=∠NOE，
∴Rt△DOM≌Rt△NOE，
∴DO=OE，∠ODE=30°，
过点O作OH⊥DE，垂足为H，
∴OH= ，DH=HE= ，
∴△ODE的周长为2DO+ DO=（ ）DO，
∴△ODE的周长要想取最小值，只需DO最小，
根据垂线段最短，当OD=OM时，DO最小，周长最小，
∵∠MAO=30°，OA=2，
∴OM=1，
∴△ODE的周长最小为 .
故答案为： .
【分析】过点O作OM⊥AB，垂足为M，连接AO并延长交BC于点N，过点O作OH⊥DE，垂足为H，由已知易证Rt△DOM≌Rt△NOE，则DO=OE，∠ODE=30°，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得OH=OD，由等腰三角形三线合一可得DH=HE，因为△ODE的周长=DO+EO+DE=2DO+2DH=（2+）DO，所以要使三角形ODE的周长最小，只需DO最小即可，根据垂线段最短，当OD=OM时，DO最小，周长最小可求解.
25．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠BA1A=∠A1B1B=90°，
∴∠ABA1=∠BA1B1
∴ ，
则相似比为 ，
那么阴影部分面积与空白部分面积之比为 ，
同理可得到其他三角形之间也是这个情况，
那么所有的阴影部分面积之和应等于 ．
故答案为： ．
【分析】利用勾股定理求出AC=5，从而得出sinA=，证明，则相似比为 ，那么阴影部分面积与空白部分面积之比为 ，同理可得到其他三角形之间也是这个情况，那么所有的阴影部分面积之和即可求得.
26．【答案】（1）解：∵AB=AC，AD⊥BC于点D
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°，又∠C=42°.
∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°
（2）证明：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD
∵EF∥AC，
∴∠F=∠CAD
∴∠BAD=∠F，∴AE=FE
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD＝∠CAD，再根据直角三角的两锐角互余即可得出∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°；
（2）根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD＝∠CAD，根据二直线平行内错角相等得到∠F＝∠CAD，由等量代换得到∠BAD＝∠F，根据等角对等边得出结论。
27．【答案】解：∵ EF⊥AB于F，
∴ ∠B+∠BEF=90°，
∵ ∠AGH=∠B， ∠CGH=∠BEF，
∴ ∠AGH+∠CGH =90°，
即∠CGA =90°，
∴ CG⊥AB.
【知识点】垂线；直角三角形的性质
【解析】【分析】根据垂直的定义得出∠B+∠BEF=90°，再根据题意得出∠AGH+∠CGH =90°，即可得出CG⊥AB.
28．【答案】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB= 60° ,
∵DE∥AB，
∴ ∠EDC=∠B= 60°,
∴△EDC是等边三角形，
∴DE= DC= 2 ，
在Rt△DEF中，∠DEF= 90° ,
∵DE=2，∠F= 30°,
∴DF= 2DE= 4，
∴ EF=== 2，
故答案为：2.
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】先证明△DEC为等边三角形，再在Rt△DEC中根据含30°角的等腰直角三角形的性质求出DF，最后由勾股定理求出EF即可.
29．【答案】（1）证明： ，
，
点 是 的中点，点 是 中点，
， ，
，
，
（2）解：①证明：连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
， ；
设 ，则 ， ，
， ，
；
②猜想： ，
理由如下：
，
，
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出 ，证明 ，可得
，从而得出∠ABE=∠BAE；
（2）①连接 ，证明，可得 ，设 ，则 ， ，可得 ， ，据此即得结论；
②由①得出AF、CF的值，化简的比值即可.
1 / 1初中数学浙教版八年级上册2.6 直角三角形 同步练习
一、单选题
1．（2021·宁波）如图，在 中， 于点D， .若E，F分别为 ， 的中点，则 的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AD垂直BC，
则△ABD和△ACD都是直角三角形，
又因为
∴AD= ，
∵sin∠C= ，
∴AC=2，
∵EF为△ABC的中位线，
∴EF= =1，
故答案为：C.
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出AD，再根据含30°直角三角形的特点求出AC，然后根据三角形的中位线定理即可解答.
2．（2021·梓潼模拟）如图，在 中， ， ， ，则 的度数为（ ）
A．12° B．13° C．14° D．15°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过C作CE⊥AD于E，过D作DF⊥BC于F.
∵∠CAD=30°，
∴∠ACE=60°，且CE= AC，
∵AC=AD，∠CAD=30°，
∴∠ACD=75°，
∴∠FCD=90°-∠ACD=15°，∠ECD=∠ACD-∠ACE=15°，
在△CED和△CFD中，
，
∴△CED≌△CFD（AAS），
∴CF=CE= AC= BC，
∴CF=BF，
∵DF⊥BC，
∴BD=CD，
∴∠DCB=∠CBD=15°，
故答案为：D.
【分析】可过C作CE⊥AD于E，过D作DE⊥BC于F，依据题意可得∠FCD=∠ECD，进而得到△CED≌△CFD，得到CF=BF，再利用等腰三角形的判定可得出结论.
3．（2021·海口模拟）一副三角板如图方式摆放，点D在直线EF上，且AB//EF，则∠ADE的度数是（ ）
A．105° B．75° C．60° D．45°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∠ADE=∠DAC+∠CAB=45°+30°=75°.
故答案为：B.
【分析】根据三角板自带角的度数以及平行的性质可得.
4．（2021·福建模拟）如图所示，在正五边形 中，过顶点A作 ，垂足为点F，连接对角线 ，则 的度数是（ ）
A．16° B．18° C．24° D．28°
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；正多边形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解： 五边形 是正五边形，
， ，
，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】先根据正五边形的内角和公式可得 和 的度数，再根据等腰三角形的性质可得 的度数，从而可得 的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得.
5．（2021·江川模拟）如图，在RtABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB+BC＝9cm，则AB的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：在RtABC中， ， ，
设 ，由 ，得到 ，
则 ，即 ，
解得： ．
则 ．
故答案为： ．
【分析】先求出 ，再求出，最后计算求解即可。
6．（2021·官渡模拟）学校研究性学习小组的同学测量旗杆的高度．如图，在教学楼一楼地面C处测得旗杆顶部的仰角为 ，在教学楼三楼地面D处测得旗杆顶部的仰角为 ，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知教学楼每层楼的高度约为3.3米，则旗杆 的高度最接近（ ）
A．8米 B．9米 C．10米 D．11米
【答案】C
【知识点】矩形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：
则四边形ACDE为矩形，
∴AE＝CD＝2×3.3＝6.6（米），AC＝DE，
设BE＝x米，
在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠BDE＝30°，
∴DE＝ BE＝ x（米），
∴AC＝DE＝ x（米），
在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，
∴AB＝ AC＝ × x＝3x（米），
∵AB﹣BE＝AE，
∴3x﹣x＝6.6，
∴x＝3.3，
AB＝3×3.3＝9.9（米），
即旗杆AB的高度为9.9米，
∴旗杆AB的高度最接近10米，
故答案为：C．
【分析】根据矩形以及直角三角形的性质，计算得到答案即可。
7．（2021·宣城模拟）如图，在 中， ， ，DE垂直平分AB，交BC于点E， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解： 垂直平分 ，
，
，
，
(cm) ，
故答案为：D．
【分析】根据垂直平分线的性质得出EB=EA，由等边对等角可得，利用三角形外角的性质可得∠AEC=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得.
8．（2021·枣庄模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD ，则BD的长是（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；角平分线的定义
【解析】【解答】解：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC=60°
∵AD为∠BAC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD=∠B=30°
∴AD=BD
在△ACD中，∠CAD=30°，CD=
∴AD=2CD=
∴BD=AD=
故答案为：B
【分析】本题考查角平分线的定义、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及三角形内角和的计算，先利用三角形内角和与角平分线的定义确定∠B=∠BAD=30°，得到等腰三角形ABD，AD=BD ，再在△ACD中利用30°角所对的直角边是斜边的一半，计算出AD的长，从而得到BD的长。
9．（2021·市南模拟）如图，在 中，点O是边 和 的垂直平分线 、 的交点，若 ，则这两条垂直平分线相交所成锐角 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：连结AO，DO交AC于F，
∵边 和 的垂直平分线 、 ，
∴AO=BO=OC，
∴∠OBA=∠OAB，∠OAC=∠OCA，
∴∠BAC=∠OBA+∠OAC =∠OAB+∠OCA，
∵ ，
∴∠OBC+∠OCB=180°- ，
∴∠BAC+∠ABO+∠ACO=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-80°=100°，
∴∠BAC+∠ABO+∠ACO=∠BAC +∠BAC =2∠BAC =100°，
∴∠BAC=50°，
∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴∠DAF+∠DFA=90°，∠EOF+∠OFE=90°，∠DFA=∠OFE，
∴∠EOF=∠DAF=∠BAC=50°，
∴这两条垂直平分线相交所成锐角 =∠BAC=50°．
故答案为：C．
【分析】连结AO，DO交AC于F，根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，可求出∠BAC=∠OBA+∠OAC =∠OAB+∠OCA，由，利用三角形的内角和可求出∠BAC=50°，由OE⊥AC，OD⊥AB，利用余角的性质可求出∠EOF=∠DAF=∠BAC=50°，从而得出结论.
10．（2021·长春模拟）如图： ．按下列步骤作图：①在射线 上取一点C，以点O为圆心， 长为半径作圆弧 ，交射线 于点F．连结 ；②以点F为圆心， 长为半径作圆弧，交弧 于点G；③连结 、 ．作射线 ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A． B． 垂直平分
C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：由作法得OC=OF= OG，FG= FC，则OF垂直平分CG，
所以B选项的结论不符合题意；
∵C点与G点关于OF对称
∴∠FOG=∠FOC=30°，
∴∠AOG =60°，
所以A选项的结论不符合题意；
∴△OCG为等边三角形，
OG = CG，
所以C选项的结论不符合题意；
在Rt△OCM中，∵∠COM =30°
∴OC = 2CM，
∵CF > CM， FC= FG，
∴OC ≠2FG，
所以D选项的结论符合题意
故答案为：D.
【分析】由尺规作图可得OC=OF= OG，FG= FC，根据线段垂直平分线的判定可得OF垂直平分CG，据此判断B；由C点与G点关于OF对称，可得∠FOG=∠FOC=30°，据此判断A；可得△OCG是等边三角形，可得OG=CG，据此判断C；在Rt△OCM中，∠COM =30°，可得OC = 2CM，在Rt△CMF中，CF＞CM，据此判断D即可.
11．（2021·三明模拟）如图，在等边△ABC中，点D和点B关于直线AC对称，连接CD，过D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，若CE＝5，则BE的长为（ ）
A．10 B．15 C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】∵点D和点B关于直线AC对称 ，△ABC是等边三角形，
∴BC=CD，∠ACB=∠ACD=60°，
∴∠DCE=60°，
∵DE⊥BC，CE=5，
∴∠CDE=90°-∠DCE=30°，
∴CD=2CE=10，
∴BC=10，
∴BE=BC+CE=10+5=15.
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形及轴对称的性质得出BC=CD，∠ACB=∠ACD=60°，从而得出∠DCE=60°，根据垂直的定义及直角三角形的定义可求出∠CDE=30°，从而得出CD=2CE=10，即得BC=10，利用BE=BC+CE计算即得结论.
12．（2021七下·孝义期中）如图， ，将一个含 角的直角三角尺按如图所示的方式放置，若 的度数为 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】如图，过三角板60°角的顶点作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠3=∠1，∠4=∠2，
∵∠3+∠4=60°，
∴∠1+∠2=60°，
∵∠1=25°，
∴∠2=35°，
故答案为：A．
【分析】作直线EF∥AB，由AB∥CD，得EF∥CD，∠3=∠1，∠4=∠2，由∠3+∠4=60°，得∠1+∠2=60°，由此得出∠2的度数。
13．（2021·平谷模拟）如图，Rt△ABC中， 于点D则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠3+∠4=90°，∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠2+∠4=90°，
A.∵∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，故A成立，不选A；
B.∵∠3+∠4=90°，∠2+∠4=90°，∴∠2=∠3， 故B成立，不选B；
C.∵∠2+∠4=90°，∠1+∠2=90°，∴ ，故C成立，不选C；
D.∵∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，∠1=90°-∠2不一定等于30°，故D不一定成立.
故答案为：D.
【分析】先求出∠2+∠4=90°，再对每个选项一一判断求解即可。
14．（2021八下·罗湖期中）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（ ）
A．1﹣ B．1﹣ C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：设CD与B′C′相交于点O，连接OA．
根据旋转的性质，得∠BAB′＝30°，则∠DAB′＝60°．
在Rt△ADO和Rt△AB′O中，AD＝AB′，AO＝AO，
∴Rt△ADO≌Rt△AB′O．
∴∠OAD＝∠OAB′＝30°．
又∵AD＝1，
∴OD＝AD tan∠OAD＝ ．
∴公共部分的面积＝2× × ×1＝1× ＝ ．
故答案为：D．
【分析】只需把公共部分分割成两个三角形，根据旋转发现两个三角形全等，从而求得直角三角形的边，再进一步计算其面积。
15．（2021九下·海淀月考）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，
∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∵∠AFB＝90°，EF＝2，
∴AE＝2EF＝4，
∵点E为AD的中点，
∴DE＝AE＝4，
∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠EBD＝30°，
∴BE＝2DE＝8，
∴BF＝BE＋EF＝8＋2＝10，
故答案为：D．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠DAC＝30°和∠EBD＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得出AE＝2EF，BE＝2DE，代入求出即可．
二、填空题
16．（2021·扬州）如图，在 中，点E在 上，且 平分 ，若 ， ，则 的面积为 .
【答案】50
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵∠EBC=30°，BE=10，
∴EF= BE=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC=10，
∴四边形ABCD的面积= = =50，
故答案为：50.
【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，由含30°角的直角三角形的性质得出EF= BE=5，根据平行四边形的性质及角平分线的定义得出∠BCE=∠BEC，从而可得BE=BC=10，由平行四边形ABCD的面积= ，据此计算即可.
17．（2021·武威）如图，在矩形 中， 是 边上一点， 是 边的中点， ，则 .
【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解： 是 边的中点， ，
矩形 ，
故答案为：6
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得出 从而求出利用矩形的性质得出利用即可求出结论.
18．（2021·柳州模拟）如图，已知直线a∥b，c⊥d，∠1=36°，则∠2的度数是 .
【答案】126°
【知识点】平行线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵a∥b，
∴∠3=∠1=36°，
∵c⊥d，
∴∠4=90°，
∵∠2=∠3+∠4，
∴∠2=126°，
故答案为：126°.
【分析】根据两直线平行，同位角相等，求得∠3=36°，根据垂直的定义，求得∠4=90°，利用∠2=∠3+∠4求解即可
19．（2021·吉林模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=40°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB'C'，且点C'落在AB上，则∠B'BC的度数为
【答案】120
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：由折叠性质得： AB'=AB，∠B'AB=∠BAC=40°，
∴∠ABB'=∠AB'B=，
∵ ∠C=90°，∠BAC=40°，
∴∠ABC=50°，
∴ ∠B'BC= ∠ABC+∠ABB'=50°+70°=120°.
【分析】根据折叠的性质得出AB'=AB，∠B'AB=∠BAC=40°，再根据等腰三角形的性质得出∠ABB'=70°，再根据直角三角形两个锐角互余得出∠ABC=50°，利用∠B'BC= ∠ABC+∠ABB'，即可得出答案.
20．（2021·福田模拟）如图，AB是一座办公大楼，一架无人机从C处测得楼顶部B的仰角为60°，测得楼底部A的俯角为37°，测得与大楼的水平距离为40米，则该办公大楼的高度是 米．（结果保留整数，参考数据： ≈1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【答案】99
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得，∠BCD=60°，∠ACD=37°，CD⊥AB，CD=40
在直角三角形BCD中，tan∠BCD=
∴BD=CD×tan∠BCD=40≈69.2
在直角三角形ACD中tan∠ACD=
∴AD=CD×tan∠ACD≈40×0.75=30
∴AB=BD+AD≈69.2+30=99
【分析】根据直角三角形的性质以及应用，计算得到答案即可。
21．（2021八下·兴业期中）将一副三角尺按图所示的方式叠放在一起，如果AF= ，那么AB= ．
【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵BC⊥AE，DE⊥AE
∴BC∥DE
∴∠AFC=∠D=45°
∴△AFC为等腰直角三角形
∴AC=FC
设AC=FC=x，则，解得x=1，即AC=FC=1
在Rt△ABC中，∠B=30°
∴AB=2AC=2。
【分析】考查等腰直角三角形与含30°角的直角三角形的性质，先根据平行线的性质确定∠AFC为45°，判定△AFC为等腰直角三角形，然后利用勾股定理计算出AC，再在△ABC中利用30°的角所对的直角边是斜边的一半，计算出AB。
22．（2021八下·兴业期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．CD为AB边上的中线，若∠A =55°，则∠BCD的度数为 ．
【答案】35°
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°．CD为AB边上的中线，∠A =55°
∴CD=AD=BD
∴∠DCA=∠A=55°
∴∠BCD=90°-55°=35°。
故答案为：35°.
【分析】考查直角三角形斜边中线的性质以及等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，判定出△ACD和△BCD都是等腰三角形，然后再利用三角形内角和计算即可。
23．（2021七下·海淀期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，AD＝3，则BC＝ ．
【答案】9
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝90°，又∠C＝30°，
∴CD＝2AD＝6，
∵∠BAC＝120°，∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝30°，
∴∠DAB＝∠B，
∴BD＝AD＝3，
∴BC＝BD+CD＝9，
故答案为：9．
【分析】先求出∠B＝∠C＝30°，再求出∠DAB＝∠B，最后计算求解即可。
24．（2021八下·中原期中）如图等边三角形ABC中，点O是△ABC的∠B和∠C的角平分线的交点，∠FOG=120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于点D、E两点，连接DE，若OA=2，则△ODE周长最小值为 .
【答案】
【知识点】垂线段最短；等边三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】如图，过点O作OM⊥AB，垂足为M，连接AO并延长交BC于点N，
∵点O是等边△ABC的∠B和∠C的角平分线的交点，
∴ON⊥BC，OM=ON，∠MAO=30°，∠MOA=60°，
∴∠DOM+∠DON=120°，
∵∠DOE=120°，
∴∠NOE+∠DON=120°，
∴∠DOM=∠NOE，
∴Rt△DOM≌Rt△NOE，
∴DO=OE，∠ODE=30°，
过点O作OH⊥DE，垂足为H，
∴OH= ，DH=HE= ，
∴△ODE的周长为2DO+ DO=（ ）DO，
∴△ODE的周长要想取最小值，只需DO最小，
根据垂线段最短，当OD=OM时，DO最小，周长最小，
∵∠MAO=30°，OA=2，
∴OM=1，
∴△ODE的周长最小为 .
故答案为： .
【分析】过点O作OM⊥AB，垂足为M，连接AO并延长交BC于点N，过点O作OH⊥DE，垂足为H，由已知易证Rt△DOM≌Rt△NOE，则DO=OE，∠ODE=30°，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得OH=OD，由等腰三角形三线合一可得DH=HE，因为△ODE的周长=DO+EO+DE=2DO+2DH=（2+）DO，所以要使三角形ODE的周长最小，只需DO最小即可，根据垂线段最短，当OD=OM时，DO最小，周长最小可求解.
25．（2021·宣城模拟）如图，在 中， ， ， ，过B作 ，过 作 ，得阴影 ；再过 作 ，过 作 ，得阴影 ；…如此下去．请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠BA1A=∠A1B1B=90°，
∴∠ABA1=∠BA1B1
∴ ，
则相似比为 ，
那么阴影部分面积与空白部分面积之比为 ，
同理可得到其他三角形之间也是这个情况，
那么所有的阴影部分面积之和应等于 ．
故答案为： ．
【分析】利用勾股定理求出AC=5，从而得出sinA=，证明，则相似比为 ，那么阴影部分面积与空白部分面积之比为 ，同理可得到其他三角形之间也是这个情况，那么所有的阴影部分面积之和即可求得.
三、计算题
26．（2019·重庆）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.
（1）若∠C=42°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.
求证：AE=FE.
【答案】（1）解：∵AB=AC，AD⊥BC于点D
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°，又∠C=42°.
∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°
（2）证明：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD
∵EF∥AC，
∴∠F=∠CAD
∴∠BAD=∠F，∴AE=FE
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD＝∠CAD，再根据直角三角的两锐角互余即可得出∠BAD＝∠CAD＝90°﹣42°＝48°；
（2）根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD＝∠CAD，根据二直线平行内错角相等得到∠F＝∠CAD，由等量代换得到∠BAD＝∠F，根据等角对等边得出结论。
四、解答题
27．（2021七下·浦东期中）如图，已知∠AGH=∠B, ∠CGH=∠BEF，EF⊥AB于F，试说明CG⊥AB.
【答案】解：∵ EF⊥AB于F，
∴ ∠B+∠BEF=90°，
∵ ∠AGH=∠B， ∠CGH=∠BEF，
∴ ∠AGH+∠CGH =90°，
即∠CGA =90°，
∴ CG⊥AB.
【知识点】垂线；直角三角形的性质
【解析】【分析】根据垂直的定义得出∠B+∠BEF=90°，再根据题意得出∠AGH+∠CGH =90°，即可得出CG⊥AB.
28．（2021八下·贺兰期中）在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．
【答案】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB= 60° ,
∵DE∥AB，
∴ ∠EDC=∠B= 60°,
∴△EDC是等边三角形，
∴DE= DC= 2 ，
在Rt△DEF中，∠DEF= 90° ,
∵DE=2，∠F= 30°,
∴DF= 2DE= 4，
∴ EF=== 2，
故答案为：2.
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】先证明△DEC为等边三角形，再在Rt△DEC中根据含30°角的等腰直角三角形的性质求出DF，最后由勾股定理求出EF即可.
五、综合题
29．（2021·瑶海模拟）如图1，在 中， ， ，点 是 的中点，连接 ，点 是 上一点，连接 并延长交 于点 ．
（1）若点 是 中点，求证： ；
（2）如图2，若 ．
①求证： ；
②猜想 的值并写出计算过程．
【答案】（1）证明： ，
，
点 是 的中点，点 是 中点，
， ，
，
，
（2）解：①证明：连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
， ；
设 ，则 ， ，
， ，
；
②猜想： ，
理由如下：
，
，
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出 ，证明 ，可得
，从而得出∠ABE=∠BAE；
（2）①连接 ，证明，可得 ，设 ，则 ， ，可得 ， ，据此即得结论；
②由①得出AF、CF的值，化简的比值即可.
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