初中数学浙教版八年级上册2.8 直角三角形全等的判定 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·铜仁期末）如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，据此可以证明△BAD≌△BCD，证明的依据是 （ ）
A．AAS B．ASA C．SAS D．HL
2．（2021八上·南阳期末）在 中， ，E是AB上一点，且 ，过E作 交AC于D，如果 ，则 等于（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
3．（2020八上·滦州期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均错误
4．（2020八上·永年期末）如图，∠C＝∠D＝90°，若添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则以下给出的条件适合的是（ ）
A．AC＝AD B．AB＝AB
C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD
5．（2020八上·广州期中）如图，在 中， ，在 上取一点E，使 ，过点E作 ，连接 ，使 ，若 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． 平分 D．
6．（2020八上·达拉特旗期中）如图，点P是∠AOB的平分线上的一点，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E．连接DE交OC于点F．则图中共有（ ）个直角
A．4 B．6 C．8 D．10
7．（2020八上·通渭期中）如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是 （填判定三角形全等方法的简称）（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
8．（2020八上·宽城期中）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
C．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
D．斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等
9．（2020八上·临河月考）如图，在 中， ， 于D， ，如果 ，那么 等于（ ）
A． B．3m C． D．4m
10．（2020七下·峡江期末）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D，则图中的全等三角形对数共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
11．（2020八下·丹东期末）如图，在 中， 是AC上一点， 于点E， 连接BD，若AC=8cm，则 等于（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
12．（2020八下·凤县月考）如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等.以下给出的条件适合的是（ ）
A．AC＝AD B．AC＝BC
C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD
13．（2020八上·大余期末）如图， 于 ， 于 ，若 ， 平分 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ，正确的有（ ）个
A． B． C． D．
14．（2020八上·郁南期末）如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（ ）
A．PD＝PE B．OD＝OE
C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OP
15．（2020八上·崇左期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D为BC上一点，且DE⊥AB于E，若DE=CD，AB=8cm，则△DEB的周长为（ ）
A．4cm B．8cm C．10cm D．14cm
二、填空题
16．（2021八上·浦北期末）如图，在△ABC和△BAD中，已知∠C＝∠D＝90°，再添加一个条件，就可以用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△BAD，你添加的条件是 ．
17．（2020八上·平谷期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，连接AD，过D点作DE⊥AB，且DE=DC．若AB=5，AC=3，则EB= ．
18．（2020八上·北部湾月考）如图，在 中， ， ， ，射线 于点A，点E、D分别在线段 和射线 上运动，并始终保持 ，要使 和 全等，则 的长为 .
19．（2020八上·北京期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是
20．（2020八上·襄汾期中）如图， ， ， 于点 ， 于点 ， ， ，则 的长是 ．
21．（2020八上·东台期中）如图，在∠AOB的两边上，分别取OM = ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则△OPM≌△OPN，从而得到OP平分∠AOB，其判定三角形全等的依据是 .
22．（2020八上·镇海期中）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是 （填一个即可）.
23．（2020八上·惠州月考）如图，已知AB⊥BD, AB∥ED，AB=ED，要证明ΔABC≌ΔEDC，若以“SAS”为依据，还要添加的条件为 ；若添加条件AC=EC，则可以用 方法判定全等.
24．（2020八上·南部月考）如图，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，D，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝155°，则∠EDF＝ ．
25．（2020八上·蒙阴月考）已知：如图， 中，AB＝AC，AD是高，则 ≌ ．依据是 ，并且BD＝ ，∠BAD= ．
三、计算题
26．（2020·思茅模拟）如图，AC⊥BD，垂足点E是BD的中点，且AB=CD，求证：AB//CD.
四、解答题
27．（2021·永安模拟）已知：如图， ， ， ，求证： .
28．（2021八上·紫阳期末）如图，在 中， 点 在 上，过点 作 于点 点 是 边上一点，连接 .若 ，求证： 平分 .
29．（2020八上·河西期末）如图，在△ABC中，点D是BC上的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF.求证∠BAD=∠CAD。
五、综合题
30．（2021·三水模拟）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．
（1）求证△AMB≌△CNA；
（2）求证∠BAC＝90°．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴在Rt△BAD和Rt△BCD中，
AB＝CB， BD=BD，
∴Rt△BAD≌Rt△BCD (HL)，
故答案为：D.
【分析】由题意可知，两个直角三角形中有一对相等的直角边，还有一对斜边边BD是公共边，所以可用HL定理证明两个三角形全等.
2．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解： ，
，
在 和 中
，
≌ ，
，
，
故答案为：C.
【分析】本题考查了直角三角形全等的性质和判定，注意：全等三角形的对应边相等，判断直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS， 根据HL证 ≌ ，推出 ，得出 ，代入求出即可.
3．【答案】A
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】如图所示：过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴CE=CF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故答案为：A．
【分析】过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
4．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】根据题意可知∠C=∠D=90°，AB=AB，
然后由AC=AD，可根据HL判定两直角三角形全等，故符合条件；
B.只知道一边一角，不能够判定两三角形全等，故不符合题意；
C.符合AAS，证明两三角形全等，故不符合题意；
D.符合AAS，能证明两三角形全等，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据全等三角形的判定方法对每个选项进行判断即可。
5．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵ ,
∴∠ACB=∠FEC=90°,
∴EF∥BC,
∴∠F=∠FCB,
∴A符合题意,
又 ,
∴△ACB≌△FEC,
∴CE=BC=5cm,AC=EF=12cm,
∴AE=AC-EC=12-5=7cm,
∴B符合题意,
∴ ,
∵∠A+∠B=90°,
∴∠FCB+∠B=90°,
∴
∴D符合题意,
排除法选择C,无法证明.
【分析】根据垂直于同一条直线的两直线平行即可判断A,根据全等三角形的性质即可判断B,根据同角的余角相等即可判断D,排除法即可求解.
6．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴DP=EP，
又∠ODP=∠OEP=90°，OP=OP，
∴Rt△ODP≌Rt△OEP（HL），
∴OD=OE，又DP=EP，
∴OP垂直平分DE，
∴点F处有四个直角，
而点D和点E处分别有两个直角，
∴共有8个直角，
故答案为：C．
【分析】线利用角平分线的性质得到边相等，再利用“HL”证明Rt△ODP≌Rt△OEP，得到OP垂直平分DE，再根据直角的定义求解即可。
7．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的判定
【解析】【解答】解：由题意知∠OMP=∠ONP=90°，
∴在Rt△MOP和Rt△NOP中，
，
∴Rt△MOP≌Rt△NOP（HL），
∴∠MOP=∠NOP，
∴OP平分∠AOB，
故答案为：D.
【分析】由题意知∠OMP=∠ONP=90°，因为OM=ON，OP=OP，可知是根据HL定理证得Rt△MOP≌Rt△NOP，进而证得OP平分∠AOB.
8．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】A、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，符合“SAS”判定方法，故是真命题；
B、两个锐角对应相等的两个直角三角形不全等，因为没有对应边的相等，故是假命题；
C、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，符合“HL”判定方法，故是真命题；
D、斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等，符合“ASA”或“AAS”的判定方法，故是真命题；
故答案为：B．
【分析】根据直角三角形的判定方法SSS，SAS，AAS，ASA，HL，进行逐一判断即可.
9．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵
∴∠BDE=
∵
在 和 中
∴
∴ED=EC
∴
∵
∴
故答案为：B．
【分析】通过HL判定定理可证 ，得到ED=EC，即可求解．
10．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵ED垂直平分AB，
∴AE=BE，ED⊥AB，
∵在Rt△ACB中,∠C=90°，BE平分∠ABC，
∴EC=ED，
在Rt△ECB和Rt△EDB中，
EC=ED，BE=BE，
∴Rt△EBC≌Rt△EBD(HL)，
在Rt△EAD和Rt△EBD中，
AE=BE，DE=DE，
∴Rt△EAD≌Rt△EBD(HL)，
∴△AED≌△BCE.
∴图中的全等三角形对数共有3对.
故答案为：C ．
【分析】由在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB，利用HL易证明Rt△EBC≌Rt△EBD与Rt△EAD≌Rt△EBD，进而可得Rt△AED≌Rt△BCE。
11．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴DC=DE，
又∵AC=8cm，
∴ .
故答案为：C.
【分析】根据已知条件证明 ，证明DC=DE即可；
12．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：A、∵∠C＝∠D＝90°， AC=AD，AB=AB，∴Rt△ABC≌Rt△ABD （HL），符合题意；
B、∵AC和BC在一个三角形中，不是对应边，不能证明全等，不符合题意；
C、 ∵∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD， AB=AB，∴△ABC≌△ABD （AAS），不符合题意；
D、 ∵∠C＝∠D＝90°，∠BAC＝∠BAD， AB=AB，∴△ABC≌△ABD （AAS），不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据斜边直角边定理可知，两个直角三角形，有斜边和一组直角边对应相等则这两三角形全等，据此分别判断即可；角角边定理不是利用斜边直角边定理（HL）证明三角形全等.
13．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵ 平分 ， 于 ， 于 ，
∴ ，DE=DF，故①符合题意；
在Rt△DBE和Rt△DCF中，
∵DE=DF， ，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴∠DBE=∠C，BE=CF，故②符合题意；
∵ ，
∴ ，故③符合题意；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∵DE=DF， ，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
∴ ，故④符合题意；
综上，正确的结论是：①②③④，有4个．
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的性质即可判断①；根据HL可得Rt△DBE≌Rt△DCF，进而可得∠DBE=∠C，BE=CF，于是可判断②；根据平角的定义和等量代换即可判断③；根据HL可得Rt△ADE≌Rt△ADF，于是可得AE=AF，进一步根据线段的和差关系即可判断④，从而可得答案．
14．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE，
∵OP=OP，
∴Rt△POE≌Rt△POD（HL），
∴OD=OE，∠DPO=∠EPO.
∴A、B、C不符合题意，D符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质可得PE=PD，易证Rt△POE≌Rt△POD，即可得到两三角形的对应边相等，从而解决问题.
15．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC=AE，
又∵∠AED=90°，∠B=45°，
可得△EDB为等腰直角三角形，DE=EB=CD，
∴△DEB的周长=DE+ BE +DB
=CD+DB+ BE
=CB+ BE
=AC+BE
=AE+BE
=AB
=8，
故答案为：B.
【分析】首先利用HL可证得△ACD≌△AED，得到AC=AE，再根据△BDE为等腰直角三角形得出DE=BE，从而可得△DEB的周长.
16．【答案】AC＝BD（或者AD＝BC）．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】①条件是AC＝BD，
∵∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△ABD中
∵ ，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
②条件若为AD＝BC，与①同理可证.
故答案为AC＝BD（或者AD＝BC）．
【分析】题设条件中，两个直角三角形斜边为公共边已经相等，所以要根据"HL“定理判断全等，只需要再有一组直角边相等即可.
17．【答案】2
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴△AED和△ACD都是直角三角形，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
DE=DC,AD=AD，
∴△AED≌△ACD（HL），
∴AE=AC=3，
∴BE=AB-AC=5-3=2．
故填：2．
【分析】利用“HL”证明出△AED≌△ACD，利用全等的性质得到AE=AC=3，再利用线段的和差计算即可。
18．【答案】5或12
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：①当AE=CB时，
∵∠B=∠EAP=90°，
在Rt△ABC与Rt△DAE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DAE（HL），
即AE=BC=5；
②当E运动到与B点重合时，AE=AB，
在Rt△CBA与Rt△DAE中，
，
∴Rt△CBA≌Rt△DAE（HL），
即AE=AB=12，
∴当点E与点B重合时，△CBA才能和△DAE全等.
综上所述，AE=5或12.
故答案为：5或12.
【分析】本题要分情况讨论：①Rt△ABC≌Rt△DAE，此时AE=BC=5，可据此求出E点的位置.②Rt△CBA≌Rt△DAE，此时AE=AB=12，E、B重合.
19．【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，故可知PO为角平行线.
【分析】根据角平分线的性质即可证明.
20．【答案】6
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，
∴∠AEC＝∠D＝90°，
在Rt△AEC与Rt△CDB中 ，
∴Rt△AEC≌Rt△CDB（HL），
∴CE＝BD＝4，CD＝AE＝10，
∴DE＝CD CE＝10 4＝6，
故答案为：6．
【分析】先求出∠AEC＝∠D＝90°，再证明Rt△AEC≌Rt△CDB，即可求解。
21．【答案】HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵PM⊥OA，PN⊥OB，
∴在Rt△PMO和Rt△PNO中，
，
∴Rt△PMO≌Rt△PNO（HL）；
故答案为HL.
【分析】根据HL可证Rt△PMO≌Rt△PNO.
22．【答案】AB=CD 或BD=AC
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在Rt△ABC与Rt△DCB中，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
在Rt△ABC与Rt△DCB中，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
∴可以添加AB=CD或BD=AC.
故答案为：AB=CD或BD=AC.
【分析】观察图形中的隐含条件为：BC=BC，因此利用HL可添加两直角边中的任意一边即可。
23．【答案】BC=CD；HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：还要添加的条件为BC=CD；若添加条件AC=EC，则可以用HL方法判定全等.
故答案为BC=CD , HL.
【分析】根据已知条件可得∠D=∠B=90°，由AB=DE，若以“SAS”为依据，只能添加BC=CD；由∠D=∠B=90°，AB=DE，AC=EC，只能利用“HL”来判定，据此填空即可.
24．【答案】65°
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵
∴
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴
在△BDE和△CFD中，
∵
∴△BDE≌△CFD(HL)，
∴
∴
故答案为65°.
【分析】由∠AFD=155°，知∠DFC=25°，根据“AAS”证△BDE≌△CFD得∠BDE=∠CFD=25°，从而由∠EDF=180°-∠FDC-∠BDE可得答案．
25．【答案】△ADB；HL；CD；∠CAD
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：
故答案为： ， ，
【分析】由 可得 结合 利用斜边直角边判定两个三角形全等，再利用全等三角形的性质可得结论．
26．【答案】解：∵点E是 的中点
∴ .
∵
∴ .
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】先求出
，再证明
，最后求解即可。
27．【答案】证明：连接AC,如下图
∵AB⊥BC,AD⊥DC,
∴ ∠B=∠D=90°,
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC (HL) ,
∴BC=BD
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】 连接AC，由垂直的概念可得∠B=∠D=90°，然后证明Rt△ABC≌Rt△ADC，根据全等三角形的性质可得结论.
28．【答案】证明：由题意可得，在 和 中，
，
平分 .
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的判定
【解析】【分析】根据HL可证，可得，由根据角平分线的判定即证.
29．【答案】证明：∵D是BC的中点
∴BD=CD，
又∵BE=CF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，
∴点D在∠BAC的平分线上，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的判定
【解析】【分析】由于D是BC的中点，那么BD=CD，而BE=CF，DE⊥AB，DF⊥AC，利用HL易证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得DE=DF，利用角平分线的判定定理可知点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC．
30．【答案】（1）证明：∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，
∴∠AMB＝∠CNA＝90°，
在Rt△AMB和Rt△CNA中，
，
∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；
（2）证明：由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，
∴∠BAM＝∠ACN，
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠CAN+∠BAM＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）由HL可证△AMB≌△CNA即可；
（2）先由全等三角形的性质得∠BAM＝∠ACN，再由余角关系∠CAN+∠ACN＝90°，得∠CAN+∠BAM＝90°，即可得出结论．
1 / 1初中数学浙教版八年级上册2.8 直角三角形全等的判定 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·铜仁期末）如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，据此可以证明△BAD≌△BCD，证明的依据是 （ ）
A．AAS B．ASA C．SAS D．HL
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴在Rt△BAD和Rt△BCD中，
AB＝CB， BD=BD，
∴Rt△BAD≌Rt△BCD (HL)，
故答案为：D.
【分析】由题意可知，两个直角三角形中有一对相等的直角边，还有一对斜边边BD是公共边，所以可用HL定理证明两个三角形全等.
2．（2021八上·南阳期末）在 中， ，E是AB上一点，且 ，过E作 交AC于D，如果 ，则 等于（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解： ，
，
在 和 中
，
≌ ，
，
，
故答案为：C.
【分析】本题考查了直角三角形全等的性质和判定，注意：全等三角形的对应边相等，判断直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS， 根据HL证 ≌ ，推出 ，得出 ，代入求出即可.
3．（2020八上·滦州期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均错误
【答案】A
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】如图所示：过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴CE=CF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故答案为：A．
【分析】过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
4．（2020八上·永年期末）如图，∠C＝∠D＝90°，若添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则以下给出的条件适合的是（ ）
A．AC＝AD B．AB＝AB
C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】根据题意可知∠C=∠D=90°，AB=AB，
然后由AC=AD，可根据HL判定两直角三角形全等，故符合条件；
B.只知道一边一角，不能够判定两三角形全等，故不符合题意；
C.符合AAS，证明两三角形全等，故不符合题意；
D.符合AAS，能证明两三角形全等，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据全等三角形的判定方法对每个选项进行判断即可。
5．（2020八上·广州期中）如图，在 中， ，在 上取一点E，使 ，过点E作 ，连接 ，使 ，若 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． 平分 D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵ ,
∴∠ACB=∠FEC=90°,
∴EF∥BC,
∴∠F=∠FCB,
∴A符合题意,
又 ,
∴△ACB≌△FEC,
∴CE=BC=5cm,AC=EF=12cm,
∴AE=AC-EC=12-5=7cm,
∴B符合题意,
∴ ,
∵∠A+∠B=90°,
∴∠FCB+∠B=90°,
∴
∴D符合题意,
排除法选择C,无法证明.
【分析】根据垂直于同一条直线的两直线平行即可判断A,根据全等三角形的性质即可判断B,根据同角的余角相等即可判断D,排除法即可求解.
6．（2020八上·达拉特旗期中）如图，点P是∠AOB的平分线上的一点，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E．连接DE交OC于点F．则图中共有（ ）个直角
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴DP=EP，
又∠ODP=∠OEP=90°，OP=OP，
∴Rt△ODP≌Rt△OEP（HL），
∴OD=OE，又DP=EP，
∴OP垂直平分DE，
∴点F处有四个直角，
而点D和点E处分别有两个直角，
∴共有8个直角，
故答案为：C．
【分析】线利用角平分线的性质得到边相等，再利用“HL”证明Rt△ODP≌Rt△OEP，得到OP垂直平分DE，再根据直角的定义求解即可。
7．（2020八上·通渭期中）如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是 （填判定三角形全等方法的简称）（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的判定
【解析】【解答】解：由题意知∠OMP=∠ONP=90°，
∴在Rt△MOP和Rt△NOP中，
，
∴Rt△MOP≌Rt△NOP（HL），
∴∠MOP=∠NOP，
∴OP平分∠AOB，
故答案为：D.
【分析】由题意知∠OMP=∠ONP=90°，因为OM=ON，OP=OP，可知是根据HL定理证得Rt△MOP≌Rt△NOP，进而证得OP平分∠AOB.
8．（2020八上·宽城期中）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
C．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
D．斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】A、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，符合“SAS”判定方法，故是真命题；
B、两个锐角对应相等的两个直角三角形不全等，因为没有对应边的相等，故是假命题；
C、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，符合“HL”判定方法，故是真命题；
D、斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等，符合“ASA”或“AAS”的判定方法，故是真命题；
故答案为：B．
【分析】根据直角三角形的判定方法SSS，SAS，AAS，ASA，HL，进行逐一判断即可.
9．（2020八上·临河月考）如图，在 中， ， 于D， ，如果 ，那么 等于（ ）
A． B．3m C． D．4m
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵
∴∠BDE=
∵
在 和 中
∴
∴ED=EC
∴
∵
∴
故答案为：B．
【分析】通过HL判定定理可证 ，得到ED=EC，即可求解．
10．（2020七下·峡江期末）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D，则图中的全等三角形对数共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵ED垂直平分AB，
∴AE=BE，ED⊥AB，
∵在Rt△ACB中,∠C=90°，BE平分∠ABC，
∴EC=ED，
在Rt△ECB和Rt△EDB中，
EC=ED，BE=BE，
∴Rt△EBC≌Rt△EBD(HL)，
在Rt△EAD和Rt△EBD中，
AE=BE，DE=DE，
∴Rt△EAD≌Rt△EBD(HL)，
∴△AED≌△BCE.
∴图中的全等三角形对数共有3对.
故答案为：C ．
【分析】由在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB，利用HL易证明Rt△EBC≌Rt△EBD与Rt△EAD≌Rt△EBD，进而可得Rt△AED≌Rt△BCE。
11．（2020八下·丹东期末）如图，在 中， 是AC上一点， 于点E， 连接BD，若AC=8cm，则 等于（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴DC=DE，
又∵AC=8cm，
∴ .
故答案为：C.
【分析】根据已知条件证明 ，证明DC=DE即可；
12．（2020八下·凤县月考）如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等.以下给出的条件适合的是（ ）
A．AC＝AD B．AC＝BC
C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：A、∵∠C＝∠D＝90°， AC=AD，AB=AB，∴Rt△ABC≌Rt△ABD （HL），符合题意；
B、∵AC和BC在一个三角形中，不是对应边，不能证明全等，不符合题意；
C、 ∵∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD， AB=AB，∴△ABC≌△ABD （AAS），不符合题意；
D、 ∵∠C＝∠D＝90°，∠BAC＝∠BAD， AB=AB，∴△ABC≌△ABD （AAS），不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据斜边直角边定理可知，两个直角三角形，有斜边和一组直角边对应相等则这两三角形全等，据此分别判断即可；角角边定理不是利用斜边直角边定理（HL）证明三角形全等.
13．（2020八上·大余期末）如图， 于 ， 于 ，若 ， 平分 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ，正确的有（ ）个
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵ 平分 ， 于 ， 于 ，
∴ ，DE=DF，故①符合题意；
在Rt△DBE和Rt△DCF中，
∵DE=DF， ，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴∠DBE=∠C，BE=CF，故②符合题意；
∵ ，
∴ ，故③符合题意；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∵DE=DF， ，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
∴ ，故④符合题意；
综上，正确的结论是：①②③④，有4个．
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的性质即可判断①；根据HL可得Rt△DBE≌Rt△DCF，进而可得∠DBE=∠C，BE=CF，于是可判断②；根据平角的定义和等量代换即可判断③；根据HL可得Rt△ADE≌Rt△ADF，于是可得AE=AF，进一步根据线段的和差关系即可判断④，从而可得答案．
14．（2020八上·郁南期末）如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（ ）
A．PD＝PE B．OD＝OE
C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OP
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE，
∵OP=OP，
∴Rt△POE≌Rt△POD（HL），
∴OD=OE，∠DPO=∠EPO.
∴A、B、C不符合题意，D符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质可得PE=PD，易证Rt△POE≌Rt△POD，即可得到两三角形的对应边相等，从而解决问题.
15．（2020八上·崇左期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D为BC上一点，且DE⊥AB于E，若DE=CD，AB=8cm，则△DEB的周长为（ ）
A．4cm B．8cm C．10cm D．14cm
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC=AE，
又∵∠AED=90°，∠B=45°，
可得△EDB为等腰直角三角形，DE=EB=CD，
∴△DEB的周长=DE+ BE +DB
=CD+DB+ BE
=CB+ BE
=AC+BE
=AE+BE
=AB
=8，
故答案为：B.
【分析】首先利用HL可证得△ACD≌△AED，得到AC=AE，再根据△BDE为等腰直角三角形得出DE=BE，从而可得△DEB的周长.
二、填空题
16．（2021八上·浦北期末）如图，在△ABC和△BAD中，已知∠C＝∠D＝90°，再添加一个条件，就可以用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△BAD，你添加的条件是 ．
【答案】AC＝BD（或者AD＝BC）．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】①条件是AC＝BD，
∵∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△ABD中
∵ ，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
②条件若为AD＝BC，与①同理可证.
故答案为AC＝BD（或者AD＝BC）．
【分析】题设条件中，两个直角三角形斜边为公共边已经相等，所以要根据"HL“定理判断全等，只需要再有一组直角边相等即可.
17．（2020八上·平谷期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，连接AD，过D点作DE⊥AB，且DE=DC．若AB=5，AC=3，则EB= ．
【答案】2
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴△AED和△ACD都是直角三角形，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
DE=DC,AD=AD，
∴△AED≌△ACD（HL），
∴AE=AC=3，
∴BE=AB-AC=5-3=2．
故填：2．
【分析】利用“HL”证明出△AED≌△ACD，利用全等的性质得到AE=AC=3，再利用线段的和差计算即可。
18．（2020八上·北部湾月考）如图，在 中， ， ， ，射线 于点A，点E、D分别在线段 和射线 上运动，并始终保持 ，要使 和 全等，则 的长为 .
【答案】5或12
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：①当AE=CB时，
∵∠B=∠EAP=90°，
在Rt△ABC与Rt△DAE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DAE（HL），
即AE=BC=5；
②当E运动到与B点重合时，AE=AB，
在Rt△CBA与Rt△DAE中，
，
∴Rt△CBA≌Rt△DAE（HL），
即AE=AB=12，
∴当点E与点B重合时，△CBA才能和△DAE全等.
综上所述，AE=5或12.
故答案为：5或12.
【分析】本题要分情况讨论：①Rt△ABC≌Rt△DAE，此时AE=BC=5，可据此求出E点的位置.②Rt△CBA≌Rt△DAE，此时AE=AB=12，E、B重合.
19．（2020八上·北京期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是
【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，故可知PO为角平行线.
【分析】根据角平分线的性质即可证明.
20．（2020八上·襄汾期中）如图， ， ， 于点 ， 于点 ， ， ，则 的长是 ．
【答案】6
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，
∴∠AEC＝∠D＝90°，
在Rt△AEC与Rt△CDB中 ，
∴Rt△AEC≌Rt△CDB（HL），
∴CE＝BD＝4，CD＝AE＝10，
∴DE＝CD CE＝10 4＝6，
故答案为：6．
【分析】先求出∠AEC＝∠D＝90°，再证明Rt△AEC≌Rt△CDB，即可求解。
21．（2020八上·东台期中）如图，在∠AOB的两边上，分别取OM = ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则△OPM≌△OPN，从而得到OP平分∠AOB，其判定三角形全等的依据是 .
【答案】HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵PM⊥OA，PN⊥OB，
∴在Rt△PMO和Rt△PNO中，
，
∴Rt△PMO≌Rt△PNO（HL）；
故答案为HL.
【分析】根据HL可证Rt△PMO≌Rt△PNO.
22．（2020八上·镇海期中）如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是 （填一个即可）.
【答案】AB=CD 或BD=AC
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在Rt△ABC与Rt△DCB中，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
在Rt△ABC与Rt△DCB中，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
∴可以添加AB=CD或BD=AC.
故答案为：AB=CD或BD=AC.
【分析】观察图形中的隐含条件为：BC=BC，因此利用HL可添加两直角边中的任意一边即可。
23．（2020八上·惠州月考）如图，已知AB⊥BD, AB∥ED，AB=ED，要证明ΔABC≌ΔEDC，若以“SAS”为依据，还要添加的条件为 ；若添加条件AC=EC，则可以用 方法判定全等.
【答案】BC=CD；HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：还要添加的条件为BC=CD；若添加条件AC=EC，则可以用HL方法判定全等.
故答案为BC=CD , HL.
【分析】根据已知条件可得∠D=∠B=90°，由AB=DE，若以“SAS”为依据，只能添加BC=CD；由∠D=∠B=90°，AB=DE，AC=EC，只能利用“HL”来判定，据此填空即可.
24．（2020八上·南部月考）如图，点D在边BC上，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，D，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝155°，则∠EDF＝ ．
【答案】65°
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】∵
∴
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴
在△BDE和△CFD中，
∵
∴△BDE≌△CFD(HL)，
∴
∴
故答案为65°.
【分析】由∠AFD=155°，知∠DFC=25°，根据“AAS”证△BDE≌△CFD得∠BDE=∠CFD=25°，从而由∠EDF=180°-∠FDC-∠BDE可得答案．
25．（2020八上·蒙阴月考）已知：如图， 中，AB＝AC，AD是高，则 ≌ ．依据是 ，并且BD＝ ，∠BAD= ．
【答案】△ADB；HL；CD；∠CAD
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：
故答案为： ， ，
【分析】由 可得 结合 利用斜边直角边判定两个三角形全等，再利用全等三角形的性质可得结论．
三、计算题
26．（2020·思茅模拟）如图，AC⊥BD，垂足点E是BD的中点，且AB=CD，求证：AB//CD.
【答案】解：∵点E是 的中点
∴ .
∵
∴ .
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】先求出
，再证明
，最后求解即可。
四、解答题
27．（2021·永安模拟）已知：如图， ， ， ，求证： .
【答案】证明：连接AC,如下图
∵AB⊥BC,AD⊥DC,
∴ ∠B=∠D=90°,
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC (HL) ,
∴BC=BD
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】 连接AC，由垂直的概念可得∠B=∠D=90°，然后证明Rt△ABC≌Rt△ADC，根据全等三角形的性质可得结论.
28．（2021八上·紫阳期末）如图，在 中， 点 在 上，过点 作 于点 点 是 边上一点，连接 .若 ，求证： 平分 .
【答案】证明：由题意可得，在 和 中，
，
平分 .
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的判定
【解析】【分析】根据HL可证，可得，由根据角平分线的判定即证.
29．（2020八上·河西期末）如图，在△ABC中，点D是BC上的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF.求证∠BAD=∠CAD。
【答案】证明：∵D是BC的中点
∴BD=CD，
又∵BE=CF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，
∴点D在∠BAC的平分线上，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的判定
【解析】【分析】由于D是BC的中点，那么BD=CD，而BE=CF，DE⊥AB，DF⊥AC，利用HL易证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得DE=DF，利用角平分线的判定定理可知点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC．
五、综合题
30．（2021·三水模拟）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．
（1）求证△AMB≌△CNA；
（2）求证∠BAC＝90°．
【答案】（1）证明：∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，
∴∠AMB＝∠CNA＝90°，
在Rt△AMB和Rt△CNA中，
，
∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；
（2）证明：由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，
∴∠BAM＝∠ACN，
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠CAN+∠BAM＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】（1）由HL可证△AMB≌△CNA即可；
（2）先由全等三角形的性质得∠BAM＝∠ACN，再由余角关系∠CAN+∠ACN＝90°，得∠CAN+∠BAM＝90°，即可得出结论．
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