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3.7正多边形
学案
课题
3.7正多边形
单元
第三单元
学科
数学
年级
九年级上册
学习目标
1．掌握正多边形的概念及正多边形的内角计算；2．理解正多边形的外接圆、圆内接正多边形的概念；3．了解正多边形的尺规作图，能用正多边形设计图案．
重点
正多形的概念和与圆的关系.
难点
正六边形的尺规作图是本节教学的难点.
教学过程
导入新课
【引入思考】
观察下面多边形，它们的边，角有什么特点？边：
；角：
。归纳：正多边形的概念
。说一说回顾之前所学正多边形的性质有哪些？
新知讲解
提炼概念正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.典例精讲
例1
已知一个正多边形的内角为176.4°，这个正多边形是几边形？有没有内角为100°的正多边形？圆内接多边形：
。多边形外接圆：
。例2
如图，已知⊙O，用直尺和圆规作⊙O的内接正六边形.
课堂练习
巩固训练1．如果正多边形的一个外角等于45°，那么它的边数为
(
)A．6
B．7C．8
D．92．一个正多边形它的一个外角等于内角的，则这个多边形是
(
)A．正十二边形
B．正十边形?C．正八边形
D．正六边形3.圆的内接正四边形的边长与半径的比为
(
)A．2∶1 B.∶1 C.∶1 D．3∶1如图，五边形ABCDE内接于⊙O，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E.求证：五边形ABCDE是正五边形．
5.如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P，CF＝DM.(1)求证：△BCF≌△CDM.(2)求∠BPM的度数．答案：引入思考定义：各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.说一说：1.正多边形的各边相等2.正多边形的各个内角相等3.正n边形的每个内角度数4.正n边形的每一个外角度数：提炼概念典例精讲
例1
解：设正多边形的边数为n，由内角为176.4°得解得n=100所以内角为176.4°的正多边形是100边形.设正n边形的内角为100°
，则解得n=4.5因为n是正整数，所以不存在内角为100°的正多边形.义正多边形的外接圆
我们把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫做圆内接正多边形.例2
作法：1.在⊙O上任取一点A.从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙O上依次截取点B，C，D，E，F.2.依次连结AB，BC，CD，DE，EF，FA.所得的六边形ABCDEF就是所求作的⊙O的内接正六边形.很明显，AB=BC=CD=DE=EF=60°.
∴
FA=360°-5×60°=60°=AB.所以点A，B，C，D，E，F把⊙O六等分，即六边形ABCDEF是圆内接正六边形.巩固训练
1.答案：C2.答案：B3.答案： C4.证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，∠A对着，∠B对着，∴＝，∴－＝－，即＝，∴BC＝AE.同理可证其余各边都相等，∴五边形ABCDE是正五边形.5.解：(1)∵五边形ABCDE是正五边形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠CDM，在△BCF和△CDM中，∴△BCF≌△CDM(SAS)．(2)∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BCF＝＝108°，∴∠CBF＋∠CFB＝180°－∠BCF＝72°，∵△BCF≌△CDM，∴∠MCD＝∠CBF，∴∠MCD＋∠CFB＝72°，∴∠BPM＝∠CPF＝180°－(∠MCD＋∠CFB)＝108°.
课堂小结
．正多边形的概念定义：各边________、各_________也相等的多边形叫做正多边形；特殊：正三角形、正方形、正五边形、正六边形．2．正多边形的外接圆正多边形的外接圆：经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个_______________________；圆内接正多边形：这个正多边形叫做_____________
_______．相等，内角，正多边形的外接圆，圆内接正多边形。
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3.7正多边形
浙教版
九年级上
新知导入
情境引入
说一说以下两个图形的特点？
合作学习
想一想
什么样的图形是正多边形？
定义：各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.
根据正多边形的边数不同，它们有不同的叫法.
正三角形
正五边形
正方形
正六边形
正八边形
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说一说
回顾之前所学正多边形的性质有哪些？
1.正多边形的各边相等
2.正多边形的各个内角相等
3.正n边形的每个内角度数
4.正n边形的每一个外角度数：
思考：菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
提炼概念
正n边形：
正多边形：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.
典例精讲
新知讲解
例1
已知一个正多边形的内角为176.4°，这个正多边形是几边形？有没有内角为100°的正多边形？
解：设正多边形的边数为n，由内角为176.4°得
解得n=100
所以内角为176.4°的正多边形是100边形.
设正n边形的内角为100°
，则
解得n=4.5
因为n是正整数，所以不存在内角为100°的正多边形.
画一画：如图,已知正方形,用直尺和圆规作它的外接圆.
你知道正多边形与圆的关系吗？
正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.
正多边形的外接圆
我们把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫做圆内接正多边形.
定义
思考：如何作出一个圆的内接正多边形？
多边形是正多边形
弧相等
圆周角相等（多边形的角相等）
弦相等（多边形的边相等）
任何正多边形都有一个外接圆.
把圆分成n(n≥3)等份；依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
A
B
C
D
例2
如图，已知⊙O，用直尺和圆规作⊙O的内接正六边形.
作法：1.在⊙O上任取一点A.从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙O上依次截取点B，C，D，E，F.
2.依次连结AB，BC，CD，DE，EF，FA.
所得的六边形ABCDEF就是所求作的⊙O的内接正六边形.
很明显，AB=BC=CD=DE=EF=60°.
∴
FA=360°-5×60°=60°=AB.
所以点A，B，C，D，E，F把⊙O六等分，即六边形ABCDEF是圆内接正六边形.
A
B
C
E
F
·
D
你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有什么数量关系？为什么？
正六边形的半径与边长数量关系是相等.
正五边形
正六边形
正七边形
正八边形
正n边形
中心对称
轴对称
对称轴条数
正多边形的对称性
√
5
√
√
6
√
√
√
7
8
n为偶数是
√
n
归纳：
1、正多边形都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴.
2、如果一个正多边形有偶数条边，那么它又是中心对称图形.
问题探究
课堂练习
1．如果正多边形的一个外角等于45°，那么它的边数为
(
)
A．6
B．7
C．8
D．9
C
B
A．正十二边形
B．正十边形
?C．正八边形
D．正六边形
3.圆的内接正四边形的边长与半径的比为
(
)
C
4.如图，五边形ABCDE内接于⊙O，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E.求证：五边形ABCDE是正五边形．
5.如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P，CF＝DM.
(1)求证：△BCF≌△CDM.
(2)求∠BPM的度数．
课堂小结
1．正多边形的概念
定义：各边________、各_________也相等的多边形叫做正多边形；
特殊：正三角形、正方形、正五边形、正六边形．
2．正多边形的外接圆
正多边形的外接圆：经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个_______________________；
圆内接正多边形：这个正多边形叫做_____________
.
相等
内角
正多边形的外接圆
圆内接正多
边形
注意：任何正多边形都有一个外接圆．
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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3.7正多边形
教案
课题
3.7正多边形
单元
第三单元
学科
数学
年级
九年级（上）
学习目标
1．掌握正多边形的概念及正多边形的内角计算；2．理解正多边形的外接圆、圆内接正多边形的概念；3．了解正多边形的尺规作图，能用正多边形设计图案．
重点
正多形的概念和与圆的关系.
难点
正六边形的尺规作图是本节教学的难点.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题说一说以下两个图形的特点？想一想：什么样的图形是正多边形？定义：各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.根据正多边形的边数不同，它们有不同的叫法.说一说回顾之前所学正多边形的性质有哪些？1.正多边形的各边相等2.正多边形的各个内角相等3.正n边形的每个内角度数4.正n边形的每一个外角度数：思考：菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？二、提炼概念正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.
思考自议正确地理解正多边形的含义，它要求从边和角的角度理解；
思考回顾正多边形的概念以及性质。
讲授新课
三、典例精讲
例1
已知一个正多边形的内角为176.4°，这个正多边形是几边形？有没有内角为100°的正多边形？解：设正多边形的边数为n，由内角为176.4°得解得n=100所以内角为176.4°的正多边形是100边形.设正n边形的内角为100°
，则解得n=4.5因为n是正整数，所以不存在内角为100°的正多边形.你知道正多边形与圆的关系吗？画一画：如图,已知正方形,用直尺和圆规作它的外接圆.
正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.定义正多边形的外接圆
我们把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫做圆内接正多边形.思考：如何作出一个圆的内接正多边形？例2
如图，已知⊙O，用直尺和圆规作⊙O的内接正六边形.作法：1.在⊙O上任取一点A.从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙O上依次截取点B，C，D，E，F.2.依次连结AB，BC，CD，DE，EF，FA.所得的六边形ABCDEF就是所求作的⊙O的内接正六边形.很明显，AB=BC=CD=DE=EF=60°.
∴
FA=360°-5×60°=60°=AB.所以点A，B，C，D，E，F把⊙O六等分，即六边形ABCDEF是圆内接正六边形.你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有什么数量关系？为什么？正六边形的半径与边长数量关系是相等.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)归纳：正多边形都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴.如果一个正多边形有偶数条边，那么它又是中心对称图形.
总结正多边形的外接圆的概念以及如何画圆内接正多边形。
学生自主解答，教师适时的进行提示，并总结方法。
课堂检测
巩固训练1．如果正多边形的一个外角等于45°，那么它的边数为
(
)A．6
B．7C．8
D．9答案：C2．一个正多边形它的一个外角等于内角的，则这个多边形是
(
)A．正十二边形
B．正十边形?C．正八边形
D．正六边形答案：B3.圆的内接正四边形的边长与半径的比为
(
)A．2∶1 B.∶1 C.∶1 D．3∶1答案： C如图，五边形ABCDE内接于⊙O，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E.求证：五边形ABCDE是正五边形．
证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，∠A对着，∠B对着，∴＝，∴－＝－，即＝，∴BC＝AE.同理可证其余各边都相等，∴五边形ABCDE是正五边形.5.如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P，CF＝DM.(1)求证：△BCF≌△CDM.(2)求∠BPM的度数．解：(1)∵五边形ABCDE是正五边形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠CDM，在△BCF和△CDM中，∴△BCF≌△CDM(SAS)．(2)∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BCF＝＝108°，∴∠CBF＋∠CFB＝180°－∠BCF＝72°，∵△BCF≌△CDM，∴∠MCD＝∠CBF，∴∠MCD＋∠CFB＝72°，∴∠BPM＝∠CPF＝180°－(∠MCD＋∠CFB)＝108°.
课堂小结
1．正多边形的概念定义：各边________、各_________也相等的多边形叫做正多边形；特殊：正三角形、正方形、正五边形、正六边形．2．正多边形的外接圆正多边形的外接圆：经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个_______________________；圆内接正多边形：这个正多边形叫做_____________
_______．相等，内角，正多边形的外接圆，圆内接正多边形。
正三角形
正五边形
正四方形
正六边形
正八边形
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