1.5 全等三角形的判定 同步练习（含详解）

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浙教版八年级上1.5全等三角形的判定同步练习
一．选择题
1．（2021?宁波模拟）如图线段AB、DC相交于点O，已知OC＝OB，添加一个条件使△OCA≌△OBD，下列添加条件中，不正确的是（　　）
A．AC＝DB
B．∠C＝∠B
C．OA＝OD
D．∠A＝∠D
2．（2020秋?慈溪市期中）下列△ABC与△DEF不一定全等的是（　　）
A．∠A＝∠D，BC＝EF，∠B＝∠E
B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DE
C．∠A＝∠D，AB＝DE，BC＝EF
D．∠C＝∠F＝90°，AB＝DE，AC＝DF
3．（2021春?滨江区校级月考）如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙、丁四个三角形中一定和△ABC全等的图形是（　　）
A．甲、丁
B．甲、丙
C．乙、丙
D．乙
4．（2020秋?巩义市期末）如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是（　　）
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
5．（2020春?郏县期末）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（　　）
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．SAS
6．（2020春?泰山区期末）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE、下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．（2020?宁波模拟）如图，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝62°，∠BDE＝75°，则∠AFE的度数等于（　　）
A．148°
B．140°
C．135°
D．128°
8．（2019秋?猇亭区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点H．已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH长为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．（2016秋?宁都县期中）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　）
A．2＜AD＜8
B．0＜AD＜8
C．1＜AD＜4
D．3＜AD＜5
二．填空题
10．（2021春?安丘市月考）如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列结论正确的是　
　．
A．∠1＝∠2；
B．BE＝CF；
C．△CAN≌△ABM；
D．CD＝DN．
11．（2020秋?海珠区期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，若∠A＝40°，则∠FDE＝　
　．
12．（2020春?松北区期末）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝20°，∠2＝25°，则∠3＝　
　．
13．（2020?迁安市二模）如图，在3×3的正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝　
　．
14．（2020秋?雁江区期末）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为　
　时，能够使△BPE与△CQP全等．
三．解答题
15．（2021?瓯海区模拟）如图，在五边形ABCDE中，AB＝CD，∠ABC＝∠BCD，BE，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠A＝80°，∠ABC＝140°时，求∠AED的度数．
16．（2021?宁波模拟）如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在BC的异侧，AB＝CD，BF＝CE，∠B＝∠C．
（1）求证：AE∥DF．
（2）若∠A+∠D＝144°，∠C＝30°，求∠AEC的度数．
17．（2021?龙港市一模）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，∠A＝∠D，AE＝DF．
（1）求证：△ACE≌△DBF．
（2）若BF⊥CE于点H，求∠HBC的度数．
18．（2021?三水区一模）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．
（1）求证△AMB≌△CNA；
（2）求证∠BAC＝90°．
19．（2019秋?瑶海区期末）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
（1）求证：AE＝CD；
（2）求证：AE⊥CD；
（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有　
　（请写序号，少选、错选均不得分）．
20．（2018秋?柯桥区期末）观察发现：
如图1，OP平分∠MON，在OM，ON上分别取OA，OB，使OA＝OB，再在OP上任取一点D，连接AD，BD．请你猜想AD与BD之间的数量关系，并说明理由．
拓展应用：
如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你写出FE与FD之间的数量关系，并说明理由．
21．（2018秋?西湖区校级月考）如图（1）AB＝8cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝6cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
答案与解析
一．选择题
1．（2021?宁波模拟）如图线段AB、DC相交于点O，已知OC＝OB，添加一个条件使△OCA≌△OBD，下列添加条件中，不正确的是（　　）
A．AC＝DB
B．∠C＝∠B
C．OA＝OD
D．∠A＝∠D
【解答】解：根据题意，已知OC＝OB，∠AOC＝∠COB，
∴只需添加对顶角的邻边，即OA＝OD，
或任意一组对应角，即∠C＝∠B，∠A＝∠D；
所以，选项A错误；
故选：A．
2．（2020秋?慈溪市期中）下列△ABC与△DEF不一定全等的是（　　）
A．∠A＝∠D，BC＝EF，∠B＝∠E
B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DE
C．∠A＝∠D，AB＝DE，BC＝EF
D．∠C＝∠F＝90°，AB＝DE，AC＝DF
【解答】解：A、∵∠A＝∠D，BC＝EF，∠B＝∠E，
∴△ABC≌△DEF（AAS），本选项不符合题意；
B、∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEF（ASA），本选项不符合题意；
C、当∠A＝∠D，AB＝DE，BC＝EF时，△ABC与△DEF不一定全等，本选项符合题意；
D、∵∠C＝∠F＝90°，AB＝DE，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF（HL），本选项不符合题意；
故选：C．
3．（2021春?滨江区校级月考）如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙、丁四个三角形中一定和△ABC全等的图形是（　　）
A．甲、丁
B．甲、丙
C．乙、丙
D．乙
【解答】解：A、△ABC和甲两个三角形根据SAS可以判定全等，△ABC与丁三角形根据ASA可以判定全等，故本选项正确；
B、△ABC与丙两个三角形的对应角不一定相等，无法判定它们全等，故本选项错误；
C、△ABC与乙、丙都无法判定全等，故本选项错误；
D、△ABC与乙无法判定全等，故本选项错误；
故选：A．
4．（2020秋?巩义市期末）如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是（　　）
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
【解答】解：由图可知，三角形两角及夹边还存在，
∴根据可以根据三角形两角及夹边作出图形，
所以，依据是ASA．
故选：D．
5．（2020春?郏县期末）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（　　）
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．SAS
【解答】解：在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
即∠QAE＝∠PAE．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的应用；这种设计，用SSS判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意．
6．（2020春?泰山区期末）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE、下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，又∠CDE＝∠BDF，DE＝DF，
∴△BDF≌△CDE，故④正确；
由△BDF≌△CDE，可知CE＝BF，故①正确；
∵AD是△ABC的中线，
∴△ABD和△ACD等底等高，
∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确；
由△BDF≌△CDE，可知∠FBD＝∠ECD
∴BF∥CE，故③正确．
故选：D．
7．（2020?宁波模拟）如图，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝62°，∠BDE＝75°，则∠AFE的度数等于（　　）
A．148°
B．140°
C．135°
D．128°
【解答】解：∵BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C，
∴△ABC≌△EDB（SAS），
∴∠A＝∠E，
∵∠DBE＝62°，∠BDE＝75°，
∴∠E＝180°﹣62°﹣75°＝43°，
∴∠A＝43°，
∵∠BDE+∠ADE＝180°，
∴∠ADE＝105°，
∴∠AFE＝∠ADE+∠A＝105°+43°＝148°．
故选：A．
8．（2019秋?猇亭区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点H．已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH长为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEH＝∠ADB＝90°；
∵∠EAH+∠AHE＝90°，∠DHC+∠BCH＝90°，
∵∠EHA＝∠DHC（对顶角相等），
∴∠EAH＝∠DCH（等量代换）；
在△BCE和△HAE中，
，
∴△AEH≌△CEB（AAS）；
∴AE＝CE；
∵EH＝EB＝3，AE＝4，
∴CH＝CE﹣EH＝AE﹣EH＝4﹣3＝1．
故选：A．
9．（2016秋?宁都县期中）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　）
A．2＜AD＜8
B．0＜AD＜8
C．1＜AD＜4
D．3＜AD＜5
【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC，
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴BE＝AC＝3，
在△AEB中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即5﹣3＜2AD＜5+3，
∴1＜AD＜4，
故选：C．
二．填空题
10．（2021春?安丘市月考）如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列结论正确的是　A，B　．
A．∠1＝∠2；
B．BE＝CF；
C．△CAN≌△ABM；
D．CD＝DN．
【解答】解：如图，
∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ACF（AAS），
∴∠FAC＝∠EAB，BE＝CF，AB＝AC，
∴∠1＝∠2，
故A，B正确；
又∠B＝∠C，∠CAN＝∠BAM，
∴△ACN≌△ABM（ASA），
故C错误；
∵△ACN≌△ABM（ASA），
∴AN＝AM，
∴MC＝BN，
而∠B＝∠C，∠CDM＝∠BDN，
∴△DMC≌△DMB（AAS），
∴DC＝DB，
∴DC≠DN，
故D错误．
故答案为：A，B；
11．（2020秋?海珠区期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，若∠A＝40°，则∠FDE＝　70°　．
【解答】解：在△BFD和△CDE中，
，
∴△BFD≌△CDE（SAS），
∴∠BFD＝∠CDE，
∵∠B＝∠C，∠A＝40°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，
∴∠FDB+∠CDE＝∠FDB+∠BFD＝180°﹣∠B＝110°，
∴∠FDE＝180°﹣（∠FDB+∠EDC）＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°．
12．（2020春?松北区期末）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝20°，∠2＝25°，则∠3＝　45°　．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠2＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+20°＝45°．
故答案为：45°．
13．（2020?迁安市二模）如图，在3×3的正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝　225°　．
【解答】解：观察图形可知∠1与∠5所在的三角形全等，二角互余，∠2与∠4所在的三角形全等，二角互余，∠3＝45°
∴∠1+∠5＝90°，∠2+∠4＝90°，∠3＝45°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝（∠1+∠5）+（∠2+∠4）+∠3＝225°．
故填225°
14．（2020秋?雁江区期末）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为　3厘米/秒或厘米/秒　时，能够使△BPE与△CQP全等．
【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t，
∵∠B＝∠C，
∴①当BE＝CP＝5，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，
此时，5＝8﹣3t，
解得t＝1，
∴BP＝CQ＝3，
此时，点Q的运动速度为3÷1＝3厘米/秒；
②当BE＝CQ＝5，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，
此时，3t＝8﹣3t，
解得t＝，
∴点Q的运动速度为5÷＝厘米/秒；
故答案为：3厘米/秒或厘米/秒．
三．解答题
15．（2021?瓯海区模拟）如图，在五边形ABCDE中，AB＝CD，∠ABC＝∠BCD，BE，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠A＝80°，∠ABC＝140°时，求∠AED的度数．
【解答】（1）证明：∵BE，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线．
∴∠ABE＝∠CBE，∠BCE＝∠DCE，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABE＝∠DCE，∠EBC＝∠ECB，
∴BE＝CE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△DCE，
∴∠A＝∠D＝80°，
∵∠ABC＝140°，
∴∠ABC＝∠BCD＝140°，
∵五边形ABCDE的内角和是540°，
∴∠AED＝540°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC﹣∠BCD＝540°﹣80°﹣80°﹣140°﹣140°＝100°．
16．（2021?宁波模拟）如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在BC的异侧，AB＝CD，BF＝CE，∠B＝∠C．
（1）求证：AE∥DF．
（2）若∠A+∠D＝144°，∠C＝30°，求∠AEC的度数．
【解答】（1）证明：∵BF＝CE，
∴BF+EF＝CE+EF，
即BE＝CF，
在△ABE和△DF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠AEB＝∠DFC，
∴AE∥DF；
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C＝30°，
∵∠A+∠D＝144°，
∴∠A＝72°，
∴∠AEC＝∠A+∠B＝72°+30°＝102°．
17．（2021?龙港市一模）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，∠A＝∠D，AE＝DF．
（1）求证：△ACE≌△DBF．
（2）若BF⊥CE于点H，求∠HBC的度数．
【解答】（1）证明：∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC．
∴AC＝BD．
在△ACE和△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（SAS）；
（2）解：由（1）知△ACE≌△DBF，
∴∠ACE＝∠DBF．
∵BF⊥CE，
∴∠BHC＝90°，
∴∠HBC+∠HCB＝90°，
∴∠HBC＝∠HCB＝45°．
18．（2021?三水区一模）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．
（1）求证△AMB≌△CNA；
（2）求证∠BAC＝90°．
【解答】证明：（1）∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，
∴∠AMB＝∠CNA＝90°，
在Rt△AMB和Rt△CNA中，
，
∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；
（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，
∴∠BAM＝∠ACN，
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠CAN+∠BAM＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．
19．（2019秋?瑶海区期末）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
（1）求证：AE＝CD；
（2）求证：AE⊥CD；
（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有　②　（请写序号，少选、错选均不得分）．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，
即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD，
∴AE＝CD．
（2）∵△ABE≌△CBD，
∴∠BAE＝∠BCD，
∵∠NMC＝180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠ANB，
又∠CNM＝∠ANB，
∵∠ABC＝90°，
∴∠NMC＝90°，
∴AE⊥CD．
（3）结论：②
理由：作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．
∵△ABE≌△CBD，
∴AE＝CD，S△ABE＝S△CDB，
∴?AE?BK＝?CD?BJ，
∴BK＝BJ，∵作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，
∴BM平分∠AMD．
不妨设①成立，则△CBM≌△EBM，则AB＝BD，显然不可能，故①错误．
故答案为②．
20．（2018秋?柯桥区期末）观察发现：
如图1，OP平分∠MON，在OM，ON上分别取OA，OB，使OA＝OB，再在OP上任取一点D，连接AD，BD．请你猜想AD与BD之间的数量关系，并说明理由．
拓展应用：
如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你写出FE与FD之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）只要证明△OAD≌△OBD即可；
（2）如图2，在AC上截取AG＝AE，连接FG，只要证明△AEF≌△AGF，△CFG≌△CFD即可解决问题；
【解答】解：（1）AD＝BD．
理由：∵OP平分∠MON，
∴∠DOA＝∠DOB，
∵OA＝OB，OD＝OD，
∴△OAD≌△OBD，
∴AD＝DB．
（2）FE＝FD．
理由：如图2，在AC上截取AG＝AE，连接FG，
∴△AEF≌△AGF，
∴∠AFE＝∠AFG，FE＝FG．
∵∠ACB是直角，即∠ACB＝90°，
又∵∠B＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∵AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，
∴∠FAC+∠FCA＝15°+45°＝60°＝∠AFE，
∴∠AFE＝∠AFG＝∠CFD＝60°，
∴∠CFG＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠CFG＝∠CFD，
又FC为公共边，
∴△CFG≌△CFD，
∴FG＝FD，
∴FE＝FD．
21．（2018秋?西湖区校级月考）如图（1）AB＝8cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝6cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）△ACP≌△BPQ，
∵AC⊥AB，BD⊥AB
∴∠A＝∠B＝90°
∵AP＝BQ＝2
∴BP＝6
∴BP＝AC，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ，
∴∠C＝∠QPB，
∵∠APC+∠C＝90°，
∴∠APC+∠QPB＝90°，
∴PC⊥PQ；
（2）存在x的值，使得△ACP与△BPQ全等，
①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，可得：6＝8﹣2t，2t＝xt
解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，可得：6＝xt，2t＝8﹣2t
解得：x＝3，t＝2；
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精品试卷·第
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