2.6 直角三角形课时达标检测（含解析）

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浙教版2021年八年级上册数学同步练习卷
2.6 直角三角形
一、单选题
1．下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．5，12.13
2．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，则∠A=
A．44° B．34° C．54° D．64°
3．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M、C两点间的距离为（ ）
A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km
4．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）
A．125° B．120° C．140° D．130°
5．在直角三角形中，其中一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的角是
A．15° B．30° C．60° D．90°
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中直角三角形有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为（　　）
A．100度 B．120度 C．135度 D．140度
9．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）
A．20 B．12 C．14 D．13
10．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD＝3，则BD的长为( )
A．1.5 B．3 C．6 D．9
11．如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（　　）
A． B．10 C． D．12
12．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是（　　）
A．21 B．18 C．13 D．15
二、填空题
13．在△ABC中，∠A＝36°，∠C是直角，则∠B＝________.
14．在直角三角形中，斜边及其中线长之和为3，那么该三角形的斜边长为___．
15．如图，△ABC中，∠C=90?，BD平分∠ABC交AC于D，DE是AB的垂直平分线，DE=BD，且DE=1.5cm，则AC等于________.
16．直角三角形中两个锐角的差为，则较大锐角的度数为________．
17．如图所示，∠ABC＝36°40′，DE∥BC，DF⊥AB于点F，则∠D＝__________．
18．如图，∠BAC=120°，AB=AC，AB=14，则AD=________．

三、解答题
19．如图，已知：，求的度数．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，且DE⊥AB于E，AC＝AE.求证：AD平分∠BAC.
21．如图ABC中，AD是高，CE为中线，DC=BE，DG⊥CE于G点，求证：
（1）G为CE的中点．
（2）∠B=2∠BCE．
22．（1）完成下面的填空：已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于E，交BC于F，求证：∠CEF=∠CFE
证明：∵∠ACB=90°（已知），∴∠CAF+∠　　=90°（　　）．
∵CD⊥AB（已知），∴∠FAB+∠　　=90°（　　）
∵AF平分∠CAB（　　），∴∠CAF=∠FAB（　　）
∴∠　　=∠　　（　　），
∵∠CEF=∠　　（　　），∴∠CEF=∠CFE（　　）
（2）请用不同于（1）的方法给予证明．
23．如图，在Rt△ABC的场地上，∠B＝90°，AB＝BC，∠CAB的平分线AE交BC于点E.甲、乙两人同时从A处出发，以相同的速度分别沿AC和A→B→E线路前进，甲的目的地为C，乙的目的地为E.请你判断一下，甲、乙两人谁先到达各自的目的地？并说明理由．
参考答案
1．A
【详解】
A.?1.52+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
B.?72+242=252，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C.?62+82=102，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D.?52+122=132，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意.
2．A
【解析】
解：∵∠C=90°，∠B=46°，∴∠A=90°﹣46°=44°．故选A．
3．D
【详解】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得距离为1.2km.
4．D
【详解】
如图，∵EF∥GH，∴∠FCD=∠2．
∵∠FCD=∠1+∠A，∠1=40°，∠A=90°．
∴∠2=∠FCD=130°．
故选D．
5．B
【解析】
解：设较小的锐角是x°，则另一个锐角是2x°．
由题意得：x+2x=90，解得x=30．
即此三角形中最小的角是30°．
故选B．
6．D
【解析】
∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴△ADC、△BDC、△ACB都是直角三角形，即图中共有3个直角三角形.
故选D.
7．C
【详解】
解：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴与∠A互余的角有2个，
8．C
【解析】
解：如图，∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=180°﹣90°=90°．
∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的平分线，∴∠OAB+∠OBA=×90°=45°，
∴∠AOB=180°﹣（∠OAB+∠OBA）=180°﹣45°=135°．故选C．
9．C
【详解】
解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，
∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，
∵点E为AC的中点，
∴DE=CE=AC=5，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．
10．C
【详解】
∵∠C＝90°，∠CAB＝60°，
∴∠B＝30°，
∵∠C＝90°，
∴BC⊥AC，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DE＝CD=3，
∴BD=2DE=6，
11．B
【详解】
本题考查直角三角形斜边上的中线与斜边的关系和等腰三角形的特性．因为AE平分∠BAC交BC于点E，所以BE=4,又因为点D为AB的中点，所以DE=BD=3,故△BDE的周长是3+3+4=10，B选项正确．
12．C
【详解】
解：∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，
∴在Rt△BCE中，EM=BC=4，
在Rt△BCF中，FM=BC=4，
∴△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13，
13．54°
【解析】试题解析：根据直角三角形的两个锐角互余得：
∠B=90°-∠A=90°-36°=54°．
14．2
【解析】
设斜边上的中线长为.
∵在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，
∴斜边长为，
由题意可得：，解得，
∴斜边长为：.
15．4.5
【解析】
∵∠C=90?，BD平分∠ABC交AC于D，
∴DE=CD=1.5，
又∵DE=BD，
∴BD=3.
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD=AD=3.
∴AC=4.5，
故答案为4.5.
16．
【详解】
假设较大锐角为x度，则另一个锐角的度数是x－20度，则有x＋x－20＝90，解得x＝55，故较大锐角的度数为55°.
17．53°20′
【详解】
∵DE∥BC，
∴∠ABC=∠DAF=36°40′，
又∵DF⊥AB，
∴∠D=90°-∠DAF=53°20′．
18．7
【解析】
分析：根据等腰三角形两底角相等的性质求出∠B＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
详解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝（180°?∠BAC）＝（180°?120°）＝30°，
∴AD＝AB＝×14＝7．
19．90°
【详解】
，
，
，
在中，.
20．见解析
【解析】
试题分析：证明Rt△ACD≌Rt△AED，利用全等三角形的性质即可得.
试题解析：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴∠CAD=∠EAD，
即AD平分∠BAC.
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【详解】
证明：（1）连接，
，是的中点，
是斜边上的中线，即；
；
又，
，
，
是的中点．
（2）由（1）知：；
，；
．
22．（1）CFA，直角三角形的两个锐角互余，AED，直角三角形的两个锐角互余，已知，角平分线定义，CFA，AED，等角的余角相等，AED，对顶角相等，等量代换；（2）见解析
【详解】
（1）∵∠ACB=90°（已知），∴∠CAF+∠CFA=90°（直角三角形的两个锐角互余）．
∵CD⊥AB（已知），∴∠FAB+∠AED=90°（直角三角形的两个锐角互余）
∵AF平分∠CAB（已知），∴∠CAF=∠FAB（角平分线定义）
∴∠CFA=∠AED（等角的余角相等），
∵∠CEF=∠AED（对顶角相等），∴∠CEF=∠CFE（等量代换）．
答案为：CFA；直角三角形的两个锐角互余；AED；直角三角形的两个锐角互余；已知；角平分线定义；CFA；AED；等角的余角相等；AED；对顶角相等；等量代换．
（2）∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠B=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠CAB+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B．
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAB．
∵∠CEF=∠CAF+∠ACD，∠CFE=∠FAB+∠B，
∴∠CEF=∠CFE．
23．同时到达
【解析】
试题分析：
由题意可知：这里是要比较AB+BE与AC的大小关系.
如图，过点E作EF⊥AC于点F，则由角平分线的性质可得BE=EF，证△EFC是等腰直角三角形可得EF=EC，从而可得BE=FC；再证△ABE≌△AFE可得AB=AF，从而可得AB+BE=AC，说明甲、乙二人会同时达到目的地.
试题解析：
甲、乙会同时到达目的地．理由如下：
过点E作EF⊥AC于点F，∵AE平分∠CAB，∠B=90°，
∴EF＝EB，∠CAE=∠BAE，
∵AB＝BC，∠B＝90°，
∴∠C＝.
∵EF⊥AC，
∴∠EFC＝90°，
∴∠CEF＝90°－∠C＝45°＝∠C，
∴EF＝CF.
∴BE=CF，
在△AEF和△AEB中， ,
∴△AEF≌△AEB，
∴AF＝AB，
∴AB＋BE＝AF＋CF＝AC，故甲、乙同时到达目的地．
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