2.7 探索勾股定理课时达标检测（含解析）

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浙教版2021年八年级上册数学同步练习卷
2.7 探索勾股定理
一、单选题
1．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
2．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是有（ ）
A．三内角之比为3：4：5 B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为3：4：5 D．三内角比为1：2：3
3．已知直角三角形的周长为，斜边为4，则该三角形的面积为（ ）
A． B．3 C．1 D．2
4．已知a、b、c为的三边，且满足，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
5．如图，等边中，，，，则（　　　）
A． B． C． D．
6．一个三角形三边之比为，它的周长为60，则它的面积是（ ）．
A．144 B．120 C．196 D．60
7．将一根长为17cm的筷子，置于内半径为3cm、高为8cm的圆柱形水杯中．设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，点在上，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线,AD=20,则BC的长是　　(　　)
?
A．20 B．20 C．30 D．10?
11．已知ΔABC的三边分别长为a，b，c，且满足+|b-15|+-16c+64=0，则ΔABC是（ ）
A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形
12．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（　　）
A．6?? B．8 C．10 D．12
二、填空题
13．若三角形三边长分别为15，12，9，则这个三角形最长边上的高是____.
14．已知三角形的三边长分别为、、，则这个三角形是______．
15．边长为6的等边三角形的面积是__________．
16．如图，在四边形ABCD中，，，，，，那么四边形ABCD的面积是___________．
17．如图，铁路MN和公路PQ在O点处交汇，公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，如果火车行驶时，周围两百米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向，以144千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是_______s
18．如图一只蚂蚁从长为5cm，宽为3cm，高为4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它爬行的最短距离是__________cm．
三、解答题
19． 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AB=10，BC=6，求AC的长．
20．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝3，CD＝8，AD＝10.
(1)求∠BCD的度数；
(2)求四边形ABCD的面积．
21．如图所示，湖的两岸有两点A，B，在与AB成直角的BC方向上的点C处测得AC＝50米，BC＝40米．
求：（1）A，B两点间的距离；
点B到直线AC的距离．
22．如图，在锐角三角形ABC中，AB=13，AC =15，点D是BC边上一点，BD =5，AD=12．
（1）求证：△ADB是直角三角形．
（2）求BC的长度．
23．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是边BC上的两点，AD＝AE，点E关于直线AC的对称点是点M，连接AM，DM；
（1）如图1，当∠BAC＝60°时；
①依题意补全图形；
②若∠BAD＝，则∠AEB＝ ；（用含的式子表示）；
③求证：DA＝DM；
（2）如图2，当∠BAC＝90°时，依题意补全图形，用等式表示线段DC，EC，AM之间的数量关系，并证明．
参考答案
1．C
【详解】
解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、32+42=52，能构成直角三角形，故符合题意；
D、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意．
2．A
【详解】
A、设三个内角的度数为，根据三角形内角和公式，求得，所以各角分别为45°，60°，75°，故此三角形不是直角三角形；
B、三边符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
C、设三条边为，则有，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
D、设三个内角的度数为，根据三角形内角和公式，求得，所以各角分别为30°，60°，90°，所以此三角形是直角三角形；
3．D
【详解】
设直角三角形两直角边为a,b
∵直角三角形的周长为，斜边为4
∴
由勾股定理得
∴
∴
∴
故选：D．
4．D
【详解】
解：∵
∴或，即
∴该三角形为等腰三角形或直角三角形
5．C
【详解】
解：是等边三角形，
∴，，
∵，所以，，
又∵，所以，
∴，
∴，
6．B
【详解】
解：，
，
，
三角形的三个边是10，24，26，
∵，
∴这是个直角三角形，
∴．
故选：B．
7．B
【详解】
如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，此时；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短在中，，，所以，则，此时，所以的取值范围是．故选B．
8．D
【详解】
∵∠C＝90°，AC＝3，
∴CD＝，
∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B＋∠BAD，
∴∠B＝∠BAD，
∴DB＝，
∴BC＝BD＋CD＝
9．D
【详解】
解：如图，根据题意，，，
设折断处离地面的高度是x尺，即，
根据勾股定理，，即．
故选：D．
10．D
【详解】
在Rt△ABC中
∵∠A=30°,
∴∠ABC=60°；
∵BD是∠ABC的角平分中线,
∴∠ABD=∠DBC=30°,
∴三角形ADB为等腰三角形,
∴BD=AD=20
∴在直角三角形DCB中,DC=BD
∵,BD?=DC?+BC?=(BD)?+BC?,
∴BC=10
11．A
【详解】
∵(a-17)2+|b-15|+c2-16c+64=0，
∴(a-17)2+|b-15|+(c-8)2=0，
∴a-17=0，b-15=0，c-8=0，
∴a=17，b=15，c=8，
∵82+152=172，
∴△ABC是以a为斜边的直角三角形；
12．B
【详解】
过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝4，连接A′B，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接AM，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，如图，∵AA′⊥a，MN⊥a，∴AA′∥MN．
又∵AA′＝MN＝4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM＝A′N．
由于AM+MN+NB要最小，且MN固定为4，所以AM+NB最小．
由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为A′B．
∵AE＝2+3+4＝9，AB，∴BE．
∵A′E＝AE﹣AA′＝9﹣4＝5，∴A′B8．
所以AM+NB的最小值为8．
故选B．
13．
【详解】
因为，所以此三角形是直角三角形，
设最长边上的高为，
所以该三角形的面积为，解得.
故答案为.
14．直角三角形
【详解】
∵,
∴三边长分别为、、的三角形是直角三角形.
故答案是：直角三角形.
15．
【详解】
如图，在中，作，
故答案为：．
16．+24
【详解】
解：连结BD，
∵，
∴，
∵，，
∴BD=6，
∵BD2=36，CD2=64，BC2=100，
BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
S△ABD=，
S△BDC=，
四边形ABCD的面积是= S△ABD+ S△BDC=+24
故答案为：+24．
17．8
【详解】
解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，
∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵144千米/小时=40米/秒，
∴影响时间应是：320÷40=8秒．
18．
【详解】
解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面右面由勾股定理得;
（2）展开前面上面由勾股定理得;
（3）展开左面上面由勾股定理得;
所以最短路径的长为;
故答案为：.
19．见详解
【详解】
解：△ABC中，∠ACB=90°
AB=10，BC=6
20．(1)∠BCD＝135°；(2) S四边形ABCD＝33.
【详解】
(1)连接AC， 在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝3，
根据勾股定理，得AC＝＝6，∠ACB＝45°，
∵CD＝8，AD＝10,
∴＝＋,
∴△ACD为直角三角形，即∠ACD＝90°，
则∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝135°；
(2)根据题意，得S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD
＝×3×3＋×6×8
＝9＋24
＝33.
故答案为(1)∠BCD＝135°；(2) S四边形ABCD＝33.
21．（1）30米；（2）24米．
【详解】
解：由图可知，三角形是直角三角形
，，
；
（2）过点作于点，
，即
，
即点到直线的距离是24米．
22．（1）详见解析；（2）BC长为14．
【详解】
（1）证明：在△ABD中，
∵BD=5，AD=12，AB=13
∴BD?=25，AD?=144，AB?=169.
25+144=169
∴BD?+AD?=AB?
∴△ABD是直角三角形.
（2）解： ∵△ABD是直角三角形. ．
∴∠ADB=90°
∴∠ADC=90°
在Rt△ADC中，CD=
∴BC=BD+CD=5+9=14．
23．（1）①见解析；② 60°＋；③见解析；（2）；见解析
【详解】
（1）解：①由题意可得如图所示：
②解：∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵AD=AE，∠BAD＝，
∴∠ADE=∠AEB=60°＋
故答案为60°＋；
③证明：由②可得∠BAD=∠EAC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAD+∠DAC=60°，
∵点E关于直线AC的对称点是点M，
∴AC垂直平分EM，
∴AE=AM，∠EAC=∠MAC，
∴∠MAC=∠BAD，DA＝MA，
∴∠MAC+∠DAC=60°，∠DAM＝60°，
∴△ADM是等边三角形，
∴DA＝DM；
（2）由题意可得如图所示：

线段DC，EC，AM之间的数量关系：
证明：∵点E关于直线AC的对称点是点M，
∴AC垂直平分EM，
∴AE=AM，∠EAC=∠MAC，
∴∠MAC=∠BAD，DA＝MA，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAM=90°，
∴△DAM是等腰直角三角形，
∴，
∵AC垂直平分EM，
∴EC=CM，
∵∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠ACM=45°，
∴∠MCD=90°，
∴在Rt△DMC中，，
∴．
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