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3.8弧长及扇形的面积（2）
浙教版
九年级上
新知导入
情境引入
在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长3m的绳子,绳子的另一端拴着一只狗.
问题：如果这只狗只能绕柱子转过270°的角,那么它的最大活动区域是什么图形？
合作学习
21cnjy.com
如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。
扇形的定义
半径
半径
圆心角
弧
O
B
A
O
B
A
扇形
（当圆半径一定时）扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢？
圆心角是
的扇形面积是多少？
2700
1个圆面积
个圆面积
个圆面积
个圆面积
扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢？
圆半径
在半径为R
的圆中,n°的圆心角所对的扇形面积的计算公式为
圆心角
扇形的面积计算
no
提炼概念
问题
扇形的面积与哪些因素有关？
O
●
A
B
D
C
E
F
O
●
A
B
C
D
大小不变时，对应的扇形面积与
有关，
越长，面积越大.
圆心角
半径
半径
圆的
不变时，扇形面积与
有关，
越大，面积越大.
圆心角
半径
圆心角
l
弧
＝
πR
180
n
S扇形＝
360
n
πR2
问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
想一想
:扇形的面积公式与什么公式类似？
在两个公式中，存在l、R、n、S四个量，我们只要知道其中两个就可以求得其他两个。
典例精讲
新知讲解
例1、如图，有一把折扇和一把团扇。已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120
°，问哪一把扇子扇面的面积大？
解：设折扇的骨柄长为a，由于折扇扇面面积为两个扇形面积之差，
所以两把扇子扇面的面积一样大.
a
a
O
弓形是一个什么样的图形？
想一想
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
例4
我国著名的引滦工程的主干线输水管的直径为2.5m，设计流量为12.73m2/s.如果水管截面中水面面积如图所示，其中∠A0B=45°，那么水的流速应达到多少m/s（精确到0.01m/s）？
课堂练习
1．扇形的弧长为4π，扇形的半径为3，则其面积为
(
)
A．12π
B．6π
C．7π
D．1.5π
B
2．
如图所示，已知扇形的半径为3
cm，圆心角为120°，则扇形的面积为________
cm2(结果保留π)．
3π
3. 如图所示，圆心角为60°的扇形的半径为10
cm，求这个扇形的面积和周长．(π≈3.14)
【点悟】
扇形周长＝弧长＋2×半径．
【点悟】
该题利用同底等高的两个三角形面积相等把△PCD的面积转化为△CDO的面积．把阴影部分的面积转化为扇形面积体现了转化思想．
5.所示，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点C，D，OF⊥AC于点F.
(1)请写出三条与BC有关的正确结论；
(2)当∠D＝30°，BC＝1时，求图中阴影部分的面积．
解：(1)答案不唯一，只要合理均可，
例如：①BC＝BD；②OF∥BC；③∠BCD＝∠A；④BC2＝CE2＋BE2；⑤△ABC是直角三角形；⑥△BCD是等腰三角形．
课堂小结
扇形的面积计算公式
说明：扇形的半径为R，圆心角为n°，扇形的弧长为l，扇形面积为S.
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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3.8弧长及扇形的面积（2）
学案
课题
3.8弧长及扇形的面积（2）
单元
第三单元
学科
数学
年级
九年级上册
学习目标
1．扇形的面积公式的理解与运用；2．弓形面积的计算．
重点
扇形面积计算公式.
难点
例4涉及弓形面积的计算和流量与流速关系等实际背景，较为复杂，是本节教学的难点.
教学过程
导入新课
【引入思考】
在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长3m的绳子,绳子的另一端拴着一只狗.
(?http:?/??/?gbjc..cn?/?resource?/?pic?/?08?/?2005?/?10?/?01?/?zs9bkbp130.jpg?)问题：如果这只狗只能绕柱子转过270°的角,那么它的最大活动区域是什么图形？如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。
如果圆的半径为R，则圆的面积为l°的圆心角对应的扇形面积为n0的圆心角对应的扇形面积为
扇形的面积计算在半径为R
的圆中,n°的圆心角所对的扇形面积的计算公式为：
。弧长计算公式：
，扇形的面积公式：
。在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n°、半径R有关系，因此l
和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗?
。
新知讲解
提炼概念典例精讲
例3、如图，有一把折扇和一把团扇。已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120°，问哪一把扇子扇面的面积大？例4、我国著名的引滦工程的主干线输水管的直径为2.5m，设计流量为12.73??/?.如果水管截面中水面面积如图所示，其中∠AOB=45°,那么水的流速应达到每秒多少米(精确到0.01m/s)？归纳：弓形面积公式：
；
。
课堂练习
巩固训练1．扇形的弧长为4π，扇形的半径为3，则其面积为
(
)A．12π
B．6πC．7π
D．1.5π2．
如图所示，已知扇形的半径为3
cm，圆心角为120°，则扇形的面积为________
cm2(结果保留π)．3.如图所示，圆心角为60°的扇形的半径为10
cm，求这个扇形的面积和周长．(π≈3.14)4．如图所示，半圆的直径AB＝10，P为AB上一点，点C，D为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于_________.5.所示，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点C，D，OF⊥AC于点F.(1)请写出三条与BC有关的正确结论；(2)当∠D＝30°，BC＝1时，求图中阴影部分的面积．答案：引入思考1.扇形的面积计算在两个公式中，存在l、R、n、S四个量，我们只要知道其中两个就可以求得其他两个。提炼概念典例精讲
例1设折扇的骨柄长为a，由于折扇扇面面积为两个扇形面积之差，所以两把扇子扇面的面积一样大.例2巩固训练
1.答案：D2.答案3π3.解：因为n＝60°，R＝10
cm所以扇形面积为S＝＝≈52.33(cm2)；扇形的周长为l＝＋2R＝＋20≈30.47(cm)．4.【解析】
连结OC，OD，CD.∵C，D为半圆的三等分点，∴∠COD＝60°，CD∥AB，∴S△CDO＝S△CDP，∴S阴＝S扇COD＝＝＝π.解：(1)答案不唯一，只要合理均可，例如：①BC＝BD；②OF∥BC；③∠BCD＝∠A；④BC2＝CE2＋BE2；⑤△ABC是直角三角形；⑥△BCD是等腰三角形．(2)如图所示，连结OC，则OC＝OA＝OB，∵∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°，∴∠AOC＝120°.∵AB为圆O的直径，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，BC＝1，∴AB＝2，AC＝.∵OF⊥AC，∴AF＝CF.∵OA＝OB，∴OF是△ABC的中位线，∴OF＝BC＝，∴S△AOC＝AC·OF＝××＝，S扇形AOC＝π×12＝，∴S阴影＝S扇形AOC－S△AOC＝－.
课堂小结
扇形的面积计算公式公式1：圆心角为n°的扇形面积S＝___________.公式2：用弧长表示的扇形面积S＝________.，
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3.8弧长及扇形的面积（2）
教案
课题
3.8弧长及扇形的面积（2）
单元
第三单元
学科
数学
年级
九年级（上）
学习目标
1．扇形的面积公式的理解与运用；2．弓形面积的计算．
重点
扇形面积计算公式.
难点
例4涉及弓形面积的计算和流量与流速关系等实际背景，较为复杂，是本节教学的难点.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长3m的绳子,绳子的另一端拴着一只狗.
(?http:?/??/?gbjc..cn?/?resource?/?pic?/?08?/?2005?/?10?/?01?/?zs9bkbp130.jpg?)问题：如果这只狗只能绕柱子转过270°的角,那么它的最大活动区域是什么图形？扇形的定义
如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。
如
何
求
扇
形
的
面
积
？问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
在两个公式中，存在l、R、n、S四个量，我们只要知道其中两个就可以求得其他两个。二、提炼概念1.扇形的面积计算2.
思考自议在计算面积时，要注意观察和分析图形，把图形分解与组合，明确要计算的图形的面积；
掌握求图形的面积的常用方法，如割补法、几何变换法等；
讲授新课
三、典例精讲例1、如图，有一把折扇和一把团扇。已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120
°，问哪一把扇子扇面的面积大？解：设折扇的骨柄长为a，由于折扇扇面面积为两个扇形面积之差，所以两把扇子扇面的面积一样大.想一想弓形是一个什么样的图形？弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．例4
我国著名的引滦工程的主干线输水管的直径为2.5m，设计流量为12.73m2/s.如果水管截面中水面面积如图所示，其中∠A0B=45°，那么水的流速应达到多少m/s（精确到0.01m/s）？
求阴影部分面积的问题，常用的方法有：直接运用公式法、和差法、割补法、等积代换法，把不规则的图形转化为规则图形．
思想方法：转化思想，把弓形的面积转化为扇形与三角形的面积的和(差).
课堂检测
巩固训练1．扇形的弧长为4π，扇形的半径为3，则其面积为
(
)A．12π
B．6πC．7π
D．1.5π答案：D2．
如图所示，已知扇形的半径为3
cm，圆心角为120°，则扇形的面积为________
cm2(结果保留π)．3π3.如图所示，圆心角为60°的扇形的半径为10
cm，求这个扇形的面积和周长．(π≈3.14)解：因为n＝60°，R＝10
cm所以扇形面积为S＝＝≈52.33(cm2)；扇形的周长为l＝＋2R＝＋20≈30.47(cm)．4．如图所示，半圆的直径AB＝10，P为AB上一点，点C，D为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于_________.【解析】
连结OC，OD，CD.∵C，D为半圆的三等分点，∴∠COD＝60°，CD∥AB，∴S△CDO＝S△CDP，∴S阴＝S扇COD＝＝＝π.5.所示，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点C，D，OF⊥AC于点F.(1)请写出三条与BC有关的正确结论；(2)当∠D＝30°，BC＝1时，求图中阴影部分的面积．解：(1)答案不唯一，只要合理均可，例如：①BC＝BD；②OF∥BC；③∠BCD＝∠A；④BC2＝CE2＋BE2；⑤△ABC是直角三角形；⑥△BCD是等腰三角形．(2)如图所示，连结OC，则OC＝OA＝OB，∵∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°，∴∠AOC＝120°.∵AB为圆O的直径，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，BC＝1，∴AB＝2，AC＝.∵OF⊥AC，∴AF＝CF.∵OA＝OB，∴OF是△ABC的中位线，∴OF＝BC＝，∴S△AOC＝AC·OF＝××＝，S扇形AOC＝π×12＝，∴S阴影＝S扇形AOC－S△AOC＝－.
课堂小结
扇形的面积计算公式公式1：圆心角为n°的扇形面积S＝___________.公式2：用弧长表示的扇形面积S＝________.，
O
B
A
扇形
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