3.2 图形的旋转 同步练习（含解析）
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浙教版九年级上
3.2图形的旋转同步练习
一．选择题
1．（2021?历城区二模）下列用七巧板拼成的图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2021?苏州）如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是（ ）
A．B．
C．
D．
3．（2021?广安）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（ ）
A．65°
B．70°
C．75°
D．80°
4．（2021?邵阳）如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（ ）
A．1
B．
C．
D．
5．（2021?和平区二模）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），D（6，6），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（ ）
A．（2，0）
B．（4，2）
C．（2，4）
D．（6，0）
6．（2020秋?江城区期末）在方格中，在标有序号①②③④的小正方形中选一个涂黑，使其与图形阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
7．（2021?南沙区一模）已知点A（﹣2，3）经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A先向上平移3个单位，再向左平移4个单位到点B，则点B的坐标为B（2，6）
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B（3，2）
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B（3，﹣2）
D．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B（2，3）
二．填空题
8．（2021?建邺区一模）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0）、B（2，4）、A′（2，6）、B′（6，2），将线段AB绕着某点旋转一个角度可以得到线段A′B′（A与A′，B与B′是对应点），则旋转中心的坐标为
．
9．（2021?南海区四模）如图，将一个含30°角的三角尺ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ADE，使点B的对应点D恰好落在BC边上，若AB＝，则CD的长为
．
10．（2021?越秀区一模）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，若点C落在△ADE的边上，则α的度数是
．
11．（2021春?雁塔区校级期中）将一副三角板中的两块直角三角板的顶点C按如图方式放在一起，其中∠A＝30°，∠E＝∠ECD＝45°，且B、C、D三点在同一直线上．现将三角板CDE绕点C顺时针转动α度（0°＜α＜180°）．在转动过程中，若三角板CDE和三角板ABC有一组边互相平行，则转动的角度α为
．
三．解答题
12．（2021?达州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，4），B（0，2），C（3，2）．
（1）将△ABC以O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为（2，2），求△A1C1C2的面积．
13．（2021?衡阳）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
14．（2021?朝阳区二模）在正方形ABCD中，将线段DA绕点D旋转得到线段DP（不与BC平行），直线DP与直线BC相交于点E，直线AP与直线DC相交于点F．
（1）如图1，当点P在正方形内部，且∠ADP＝60°时，求证：DE+CE＝DF；
（2）当线段DP运动到图2位置时，依题意补全图2，用等式表示线段DE，CE，DF之间的数量关系，并证明．
15．（2021?延庆区一模）在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．
（1）如图1，点E在BC边上．
①依题意补全图1；
②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；
（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．
答案与解析
一．选择题
1．（2021?历城区二模）下列用七巧板拼成的图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：A．此图案不是中心对称图形，不符合题意；
B．此图案不是中心对称图形，不符合题意；
C．此图案是中心对称图形，符合题意；
D．此图案不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
2．（2021?苏州）如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是（ ）
A．B．
C．
D．
【解析】解：A选项是原图形的对称图形，故A不正确；
B选项是Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，故B正确；
C选项旋转后的对应点错误，即形状发生了改变，故C不正确；
D选项是按逆时针方向旋转90°，故D不正确；
故选：B．
3．（2021?广安）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（ ）
A．65°
B．70°
C．75°
D．80°
【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，
∴∠BAD＝55°，∠E＝∠ACB＝70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝20°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝75°．
故选：C．
4．（2021?邵阳）如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【解析】解：由旋转性质可知，OA＝OA'＝1，∠AOA'＝90°，
则△AOA'为等腰直角三角形，
∴AA'＝＝＝．
故选：B．
5．（2021?和平区二模）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），D（6，6），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（ ）
A．（2，0）
B．（4，2）
C．（2，4）
D．（6，0）
【解析】解：观察图象可知，旋转中心P的坐标为（4，2）．
故选：B．
6．（2020秋?江城区期末）在方格中，在标有序号①②③④的小正方形中选一个涂黑，使其与图形阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【解析】解：将②涂黑，使其与图形阴影部分构成中心对称图形，
故选：B．
7．（2021?南沙区一模）已知点A（﹣2，3）经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A先向上平移3个单位，再向左平移4个单位到点B，则点B的坐标为B（2，6）
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B（3，2）
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B（3，﹣2）
D．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B（2，3）
【解析】解：A、点A先向上平移3个单位，再向左平移4个单位到点B，则点B的坐标为B（﹣6，6），错误，本选项不符合题意．
B、点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B（3，2），正确，本选项符合题意．
C、点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B（2，﹣3），错误，本选项不符合题意．
D、点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B（﹣2，﹣3），错误，本选项不符合题意．
故选：B．
二．填空题
8．（2021?建邺区一模）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0）、B（2，4）、A′（2，6）、B′（6，2），将线段AB绕着某点旋转一个角度可以得到线段A′B′（A与A′，B与B′是对应点），则旋转中心的坐标为 （3，1） ．
【解析】解：如图，旋转中心J（3，1）．
故答案为：（3，1）．
9．（2021?南海区四模）如图，将一个含30°角的三角尺ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ADE，使点B的对应点D恰好落在BC边上，若AB＝，则CD的长为 ．
【解析】解：由旋转得：AD＝AB＝，
∵在Rt△ABC中，
∠C＝30°，∠CAB＝90°，
∴∠B＝60°，
∵AD＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝60°，
∵∠DAB+∠ADB+∠B＝180°，
∴∠DAB＝∠ADB＝∠B＝60°，
∴AD＝AB＝DB＝，
在Rt△CAB中，
∠C＝30°，∠CAB＝90°，
∴AB＝BC，
∴BC＝2AB＝2，
∴CD＝BC﹣BD＝2﹣＝．
故CD的长为．
10．（2021?越秀区一模）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，若点C落在△ADE的边上，则α的度数是 30°或45° ．
【解析】解：当点C在边AD上，如图1，
∵∠B＝60°，∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝α＝45°，
如图2，当点C在边DE上，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，
∴AC＝AE，∠E＝∠ACB＝75°，
∴∠E＝∠ACE＝75°，
∴∠EAC＝α＝180°﹣75°﹣75°＝30°．
综合以上可得α的度数是30°或45°．
故答案为：30°或45°．
11．（2021春?雁塔区校级期中）将一副三角板中的两块直角三角板的顶点C按如图方式放在一起，其中∠A＝30°，∠E＝∠ECD＝45°，且B、C、D三点在同一直线上．现将三角板CDE绕点C顺时针转动α度（0°＜α＜180°）．在转动过程中，若三角板CDE和三角板ABC有一组边互相平行，则转动的角度α为 30°或45°或90° ．
【解析】解：若△CDE和△ABC只有一组边互相平行，分三种情况：
①若DE∥AC，则α＝180°﹣45°﹣45°﹣60°＝30°；
②若CE∥AB，则α＝180°﹣45°﹣30°﹣60°＝45°；
③当DE∥BC时，α＝90°，
故答案为：30°或45°或90°．
三．解答题
12．（2021?达州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，4），B（0，2），C（3，2）．
（1）将△ABC以O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为（2，2），求△A1C1C2的面积．
【解析】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．△A1C1C2的面积＝×3×4＝6．
13．（2021?衡阳）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
【解析】解：（1）四边形AFHE是正方形，理由如下：
∵Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴∠AFH＝90°，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠DAF＝∠BAE,
又∵∠DAF+∠FAB＝90°，
∴∠BAE+∠FAB＝90°，
∴∠FAE＝90°，
在四边形AFHE中，∠FAE＝90°，∠AEB＝90°，∠AFH＝90°，
∴四边形AFHE是矩形，
又∵AE＝AF，
∴矩形AFHE是正方形；
（2）设AE＝x．则由（1）以及题意可知：AE＝EH＝FH＝AF＝x,BH＝7,BC＝AB＝13,
在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，
即132＝x2+(x+7)2,
解得：x＝5,
∴BE＝BH+EH＝5+7＝12,
∴DF＝BE＝12,
又∵DH＝DF+FH，
∴DH＝12+5＝17．
14．（2021?朝阳区二模）在正方形ABCD中，将线段DA绕点D旋转得到线段DP（不与BC平行），直线DP与直线BC相交于点E，直线AP与直线DC相交于点F．
（1）如图1，当点P在正方形内部，且∠ADP＝60°时，求证：DE+CE＝DF；
（2）当线段DP运动到图2位置时，依题意补全图2，用等式表示线段DE，CE，DF之间的数量关系，并证明．
【解析】（1）证明：设AB＝a．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB＝a．
∵DA＝DP，∠ADP＝60°，
∴△APD是等边三角形．
∴∠PAD＝60°，
在Rt△ADF中，∠AFD＝30°，
∴DF＝AD＝，
在Rt△DCE中，∠CDE＝30°，
∴CE＝CD＝，DE＝2CE＝，
∴DE+CE＝DF；
（2）解：依题意补全图形，如图2所示：
DE﹣CE＝DF，证明如下：
过D作DH⊥AP交BC于点H，如图3所示：
∵DH⊥AF，
∴∠HDC+∠AFD＝90°，
∵∠HDC+∠DHC＝90°，
∴∠AFD＝∠DHC，
在△ADF和△DCH中，
，
∴△ADF≌△DCH（AAS），
∴DF＝CH，
∵DA＝DP，
∴∠ADH＝∠EDH，
∵AD∥BC，
∴∠ADH＝∠EHD，
∴∠EDH＝∠EHD，
∴ED＝EH，
∴DE﹣CE＝DF．
15．（2021?延庆区一模）在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．
（1）如图1，点E在BC边上．
①依题意补全图1；
②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；
（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．
【解析】解（1）图形如图所示．
过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AB＝6，∠C＝90°，
∵∠DEF＝∠C＝90°，
∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠FEH＝∠EDC，
在△DEC和△EFH中，
，
∴△DEC≌△EFH（AAS），
∴EC＝FH＝2，CD＝BC＝EH＝6，
∴HB＝EC＝2，
∴Rt△FHB中，BF＝＝＝2．
（2）结论：BF+BD＝BE．
理由：过点F作FH⊥CB，交CB于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AB＝6，∠ACB＝90°，
∵∠DEF＝∠ACB＝90°，
∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠FEH＝∠EDC，
在△DEC和△EFH中，
，
∴△DEC≌△EFH（AAS），
∴EC＝FH，CD＝BC＝EH，
∴HB＝EC＝HF，
∴△DCB和△BHF都是等腰直角三角形，
∴BD＝BC＝HE，BF＝BH，
∵HE+BH＝BE，
∴BF+BD＝BE．
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精品试卷·第
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浙教版九年级上
3.2图形的旋转同步练习
一．选择题
1．（2021?历城区二模）下列用七巧板拼成的图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2021?苏州）如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是（ ）
A．B．
C．
D．
3．（2021?广安）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（ ）
A．65°
B．70°
C．75°
D．80°
4．（2021?邵阳）如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（ ）
A．1
B．
C．
D．
5．（2021?和平区二模）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），D（6，6），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（ ）
A．（2，0）
B．（4，2）
C．（2，4）
D．（6，0）
6．（2020秋?江城区期末）在方格中，在标有序号①②③④的小正方形中选一个涂黑，使其与图形阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
7．（2021?南沙区一模）已知点A（﹣2，3）经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A先向上平移3个单位，再向左平移4个单位到点B，则点B的坐标为B（2，6）
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B（3，2）
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B（3，﹣2）
D．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B（2，3）
二．填空题
8．（2021?建邺区一模）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0）、B（2，4）、A′（2，6）、B′（6，2），将线段AB绕着某点旋转一个角度可以得到线段A′B′（A与A′，B与B′是对应点），则旋转中心的坐标为
．
9．（2021?南海区四模）如图，将一个含30°角的三角尺ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ADE，使点B的对应点D恰好落在BC边上，若AB＝，则CD的长为
．
10．（2021?越秀区一模）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，若点C落在△ADE的边上，则α的度数是
．
11．（2021春?雁塔区校级期中）将一副三角板中的两块直角三角板的顶点C按如图方式放在一起，其中∠A＝30°，∠E＝∠ECD＝45°，且B、C、D三点在同一直线上．现将三角板CDE绕点C顺时针转动α度（0°＜α＜180°）．在转动过程中，若三角板CDE和三角板ABC有一组边互相平行，则转动的角度α为
．
三．解答题
12．（2021?达州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，4），B（0，2），C（3，2）．
（1）将△ABC以O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为（2，2），求△A1C1C2的面积．
13．（2021?衡阳）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
14．（2021?朝阳区二模）在正方形ABCD中，将线段DA绕点D旋转得到线段DP（不与BC平行），直线DP与直线BC相交于点E，直线AP与直线DC相交于点F．
（1）如图1，当点P在正方形内部，且∠ADP＝60°时，求证：DE+CE＝DF；
（2）当线段DP运动到图2位置时，依题意补全图2，用等式表示线段DE，CE，DF之间的数量关系，并证明．
15．（2021?延庆区一模）在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．
（1）如图1，点E在BC边上．
①依题意补全图1；
②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；
（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．
答案与解析
一．选择题
1．（2021?历城区二模）下列用七巧板拼成的图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：A．此图案不是中心对称图形，不符合题意；
B．此图案不是中心对称图形，不符合题意；
C．此图案是中心对称图形，符合题意；
D．此图案不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
2．（2021?苏州）如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是（ ）
A．B．
C．
D．
【解析】解：A选项是原图形的对称图形，故A不正确；
B选项是Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，故B正确；
C选项旋转后的对应点错误，即形状发生了改变，故C不正确；
D选项是按逆时针方向旋转90°，故D不正确；
故选：B．
3．（2021?广安）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（ ）
A．65°
B．70°
C．75°
D．80°
【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，
∴∠BAD＝55°，∠E＝∠ACB＝70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝20°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝75°．
故选：C．
4．（2021?邵阳）如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【解析】解：由旋转性质可知，OA＝OA'＝1，∠AOA'＝90°，
则△AOA'为等腰直角三角形，
∴AA'＝＝＝．
故选：B．
5．（2021?和平区二模）如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），D（6，6），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为（ ）
A．（2，0）
B．（4，2）
C．（2，4）
D．（6，0）
【解析】解：观察图象可知，旋转中心P的坐标为（4，2）．
故选：B．
6．（2020秋?江城区期末）在方格中，在标有序号①②③④的小正方形中选一个涂黑，使其与图形阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【解析】解：将②涂黑，使其与图形阴影部分构成中心对称图形，
故选：B．
7．（2021?南沙区一模）已知点A（﹣2，3）经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A先向上平移3个单位，再向左平移4个单位到点B，则点B的坐标为B（2，6）
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B（3，2）
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B（3，﹣2）
D．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B（2，3）
【解析】解：A、点A先向上平移3个单位，再向左平移4个单位到点B，则点B的坐标为B（﹣6，6），错误，本选项不符合题意．
B、点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B（3，2），正确，本选项符合题意．
C、点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B（2，﹣3），错误，本选项不符合题意．
D、点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B（﹣2，﹣3），错误，本选项不符合题意．
故选：B．
二．填空题
8．（2021?建邺区一模）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0）、B（2，4）、A′（2，6）、B′（6，2），将线段AB绕着某点旋转一个角度可以得到线段A′B′（A与A′，B与B′是对应点），则旋转中心的坐标为 （3，1） ．
【解析】解：如图，旋转中心J（3，1）．
故答案为：（3，1）．
9．（2021?南海区四模）如图，将一个含30°角的三角尺ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ADE，使点B的对应点D恰好落在BC边上，若AB＝，则CD的长为 ．
【解析】解：由旋转得：AD＝AB＝，
∵在Rt△ABC中，
∠C＝30°，∠CAB＝90°，
∴∠B＝60°，
∵AD＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝60°，
∵∠DAB+∠ADB+∠B＝180°，
∴∠DAB＝∠ADB＝∠B＝60°，
∴AD＝AB＝DB＝，
在Rt△CAB中，
∠C＝30°，∠CAB＝90°，
∴AB＝BC，
∴BC＝2AB＝2，
∴CD＝BC﹣BD＝2﹣＝．
故CD的长为．
10．（2021?越秀区一模）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，若点C落在△ADE的边上，则α的度数是 30°或45° ．
【解析】解：当点C在边AD上，如图1，
∵∠B＝60°，∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝α＝45°，
如图2，当点C在边DE上，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△ADE，
∴AC＝AE，∠E＝∠ACB＝75°，
∴∠E＝∠ACE＝75°，
∴∠EAC＝α＝180°﹣75°﹣75°＝30°．
综合以上可得α的度数是30°或45°．
故答案为：30°或45°．
11．（2021春?雁塔区校级期中）将一副三角板中的两块直角三角板的顶点C按如图方式放在一起，其中∠A＝30°，∠E＝∠ECD＝45°，且B、C、D三点在同一直线上．现将三角板CDE绕点C顺时针转动α度（0°＜α＜180°）．在转动过程中，若三角板CDE和三角板ABC有一组边互相平行，则转动的角度α为 30°或45°或90° ．
【解析】解：若△CDE和△ABC只有一组边互相平行，分三种情况：
①若DE∥AC，则α＝180°﹣45°﹣45°﹣60°＝30°；
②若CE∥AB，则α＝180°﹣45°﹣30°﹣60°＝45°；
③当DE∥BC时，α＝90°，
故答案为：30°或45°或90°．
三．解答题
12．（2021?达州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，4），B（0，2），C（3，2）．
（1）将△ABC以O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为（2，2），求△A1C1C2的面积．
【解析】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．△A1C1C2的面积＝×3×4＝6．
13．（2021?衡阳）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
【解析】解：（1）四边形AFHE是正方形，理由如下：
∵Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴∠AFH＝90°，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠DAF＝∠BAE,
又∵∠DAF+∠FAB＝90°，
∴∠BAE+∠FAB＝90°，
∴∠FAE＝90°，
在四边形AFHE中，∠FAE＝90°，∠AEB＝90°，∠AFH＝90°，
∴四边形AFHE是矩形，
又∵AE＝AF，
∴矩形AFHE是正方形；
（2）设AE＝x．则由（1）以及题意可知：AE＝EH＝FH＝AF＝x,BH＝7,BC＝AB＝13,
在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，
即132＝x2+(x+7)2,
解得：x＝5,
∴BE＝BH+EH＝5+7＝12,
∴DF＝BE＝12,
又∵DH＝DF+FH，
∴DH＝12+5＝17．
14．（2021?朝阳区二模）在正方形ABCD中，将线段DA绕点D旋转得到线段DP（不与BC平行），直线DP与直线BC相交于点E，直线AP与直线DC相交于点F．
（1）如图1，当点P在正方形内部，且∠ADP＝60°时，求证：DE+CE＝DF；
（2）当线段DP运动到图2位置时，依题意补全图2，用等式表示线段DE，CE，DF之间的数量关系，并证明．
【解析】（1）证明：设AB＝a．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝AB＝a．
∵DA＝DP，∠ADP＝60°，
∴△APD是等边三角形．
∴∠PAD＝60°，
在Rt△ADF中，∠AFD＝30°，
∴DF＝AD＝，
在Rt△DCE中，∠CDE＝30°，
∴CE＝CD＝，DE＝2CE＝，
∴DE+CE＝DF；
（2）解：依题意补全图形，如图2所示：
DE﹣CE＝DF，证明如下：
过D作DH⊥AP交BC于点H，如图3所示：
∵DH⊥AF，
∴∠HDC+∠AFD＝90°，
∵∠HDC+∠DHC＝90°，
∴∠AFD＝∠DHC，
在△ADF和△DCH中，
，
∴△ADF≌△DCH（AAS），
∴DF＝CH，
∵DA＝DP，
∴∠ADH＝∠EDH，
∵AD∥BC，
∴∠ADH＝∠EHD，
∴∠EDH＝∠EHD，
∴ED＝EH，
∴DE﹣CE＝DF．
15．（2021?延庆区一模）在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．
（1）如图1，点E在BC边上．
①依题意补全图1；
②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；
（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．
【解析】解（1）图形如图所示．
过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AB＝6，∠C＝90°，
∵∠DEF＝∠C＝90°，
∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠FEH＝∠EDC，
在△DEC和△EFH中，
，
∴△DEC≌△EFH（AAS），
∴EC＝FH＝2，CD＝BC＝EH＝6，
∴HB＝EC＝2，
∴Rt△FHB中，BF＝＝＝2．
（2）结论：BF+BD＝BE．
理由：过点F作FH⊥CB，交CB于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AB＝6，∠ACB＝90°，
∵∠DEF＝∠ACB＝90°，
∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠FEH＝∠EDC，
在△DEC和△EFH中，
，
∴△DEC≌△EFH（AAS），
∴EC＝FH，CD＝BC＝EH，
∴HB＝EC＝HF，
∴△DCB和△BHF都是等腰直角三角形，
∴BD＝BC＝HE，BF＝BH，
∵HE+BH＝BE，
∴BF+BD＝BE．
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