3.3 垂径定理 同步练习（含解析）

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浙教版九年级上
3.3垂径定理同步练习
一．选择题
1．（2021?凉山州）点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（　　）
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
2．（2021?南岗区模拟）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD＝6，则直径AB的长为（　　）
A．2
B．6
C．4
D．6
3．（2021?青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（　　）
A．1.0厘米/分
B．0.8厘米/分
C．1.2厘米/分
D．1.4厘米/分
4．（2020秋?吴兴区期末）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝4，以点A为圆心，AB为半径作圆，交BC的延长线于点D，则CD长为（　　）
A．10
B．9
C．4
D．8
5．（2021?宁波模拟）⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（　　）
A．4
B．6
C．6
D．8
6．（2021?松桃县模拟）已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（　　）
A．36cm或64cm
B．60cm或80cm
C．80cm
D．60cm
二．填空题
7．（2021?房山区二模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连结OC，若OC＝5，AE＝2，则CD＝　
　．
8．（2020秋?泗水县期末）⊙O的直径为10cm，弦AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB和CD的距离是　
　cm．
9．（2020?杭州模拟）如图，射线PB，PD分别交圆O于点A，B和点C，D，且AB＝CD＝8．已知圆O半径等于5，OA∥PC，则OP的长度为　
　．
10．（2021?丹江口市一模）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝2m，水面宽AB＝2.4m，某天下雨后，水管水面上升了0.4m，则此时排水管水面宽CD等于　
　m．
11．（2021?开福区模拟）如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为　
　．
12.（2019?下城区二模）已知C是优弧AB的中点，若∠AOC＝4∠B，OC＝4，则AB＝　　．
13．（2020秋?道里区期末）AB是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足为M，连接OA．若△AOM中有一个角是30°，OM＝3，则弦AB的长为　
　．
三．解答题
14．（2020秋?渝中区期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．
15．（2021春?萧山区月考）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，＝．
（1）求证：OD∥BC；
（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．
16．（2020秋?鄂州期末）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC＝3．
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．
17．（2020秋?江门期末）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．
答案与解析
一．选择题
1．（2021?凉山州）点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（　　）
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
【解析】解：如图所示，CD⊥AB于点P．
根据题意，得
AB＝10cm，CD＝6cm．
∵CD⊥AB，
∴CP＝CD＝3cm．
根据勾股定理，得OP＝＝＝4（cm）．
故选：B．
2．（2021?南岗区模拟）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD＝6，则直径AB的长为（　　）
A．2
B．6
C．4
D．6
【解析】解：连接OD，设⊙O的半径为R，
则OP＝R，
∵AB⊥CD，CD＝6，
∴DP＝CP＝3，
在Rt△OPD中，由勾股定理得：OD2＝OP2+DP2，
R2＝（R）2+32，
解得：R＝2（负值舍去），
即⊙O的直径AB＝4，
故选：C．
3．（2021?青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（　　）
A．1.0厘米/分
B．0.8厘米/分
C．1.2厘米/分
D．1.4厘米/分
【解析】解：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于D，如图所示：
∵AB＝16厘米，
∴AD＝AB＝8（厘米），
∵OA＝10厘米，
∴OD＝＝＝6（厘米），
∴海平线以下部分的高度＝OA+OD＝10+6＝16（厘米），
∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，
∴“图上”太阳升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/秒），
故选：A．
4．（2020秋?吴兴区期末）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝4，以点A为圆心，AB为半径作圆，交BC的延长线于点D，则CD长为（　　）
A．10
B．9
C．4
D．8
【解析】解：过A作AE⊥BC于E，如图：
Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
而AB＝10，BC＝4，
∴AE2＝102﹣（4+CE）2＝84﹣CE2﹣8CE，
Rt△ACE中，AE2＝AC2﹣CE2，
而AC＝8，
∴AE2＝64﹣CE2，
∴84﹣CE2﹣8CE＝64﹣CE2，
解得CE＝2.5，
∴BE＝6.5，
∴BD＝2BE＝13，
∴CD＝9，
故选：B．
5．（2021?宁波模拟）⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（　　）
A．4
B．6
C．6
D．8
【解析】解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，则∠OCA＝90°，
∵MO＝6，∠OMA＝30°，
∴OC＝MO＝3，
在Rt△OCA中，由勾股定理得：AC＝＝＝4，
∵OC⊥AB，OC过O，
∴BC＝AC，
即AB＝2AC＝2×4＝8，
故选：D．
6．（2021?松桃县模拟）已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（　　）
A．36cm或64cm
B．60cm或80cm
C．80cm
D．60cm
【解析】解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝100cm，AB⊥CD，AB＝96cm，
∴AM＝AB＝×96＝48（cm），OD＝OC＝50（cm），
如图1，∵OA＝50cm，AM＝48cm，CD⊥AB，
∴OM＝＝＝14（cm），
∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm），
∴AC＝＝＝80（cm）；
如图2，同理可得，OM＝14cm，
∵OC＝50cm，
∴MC＝50﹣14＝36（cm），
在Rt△AMC中，AC＝＝60（cm）；
综上所述，AC的长为80cm或60cm，
故选：B．
二．填空题
7．（2021?房山区二模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连结OC，若OC＝5，AE＝2，则CD＝　8　．
【解析】解：∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，
∴CD＝2CE，
∵OC＝5，AE＝2，
∴OA＝5，
∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3，
∴CE＝．
∴CD＝2CE＝8．
故答案为：8．
8．（2020秋?泗水县期末）⊙O的直径为10cm，弦AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB和CD的距离是　7或1　cm．
【解析】解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
过O作OF⊥AB，交AB于点F，交CD于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥CD，
∴F、E分别为AB、CD的中点，
∴AF＝BF＝AB＝4，CE＝DE＝CD＝3，
在Rt△COE中，
∵OC＝5，CE＝3，
∴OE＝＝4，
在Rt△AOF中，OA＝5，AF＝4，
∴OF＝＝3，
∴EF＝OE﹣OF＝4﹣3＝1；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得EF＝4+3＝7，
综上，弦AB与CD的距离为7或1．
故答案为：7或1．
9．（2020?杭州模拟）如图，射线PB，PD分别交圆O于点A，B和点C，D，且AB＝CD＝8．已知圆O半径等于5，OA∥PC，则OP的长度为　3　．
【解析】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OP，如图，
∵AB＝CD，
∴OE＝OF，
而OE⊥AB，OF⊥CD，
∴PO平分∠BPD，
∴∠APO＝∠OPC，
∵OA∥PC，
∴∠AOP＝∠OPC，
∴∠APO＝∠AOP，
∴PA＝AO＝5，
∵OE⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝4，
在Rt△AOE中，OE＝＝3，
在Rt△POE中，PO＝＝3．
故答案为3．
10．（2021?丹江口市一模）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝2m，水面宽AB＝2.4m，某天下雨后，水管水面上升了0.4m，则此时排水管水面宽CD等于　3.2　m．
【解析】解：过O作OE⊥AB于E，交OD于F，连接OC，如图所示：
则AE＝BE＝AB＝1.2（m），OF⊥CD，
∴CF＝DF＝CD，
∴OE＝＝＝1.6（m），
∵水管水面上升了0.4m，
∴OF＝OE﹣OF＝1.6﹣0.4＝1.2（m），
∴CF＝＝＝1.6（m），
∴CD＝2CF＝3.2（m）
故答案为：3.2．
11．（2021?开福区模拟）如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为　2　．
【解析】解：作OD⊥AB于D，连接OA．
∵OD⊥AB，OA＝2，
∴OD＝OA＝1，
在Rt△OAD中
AD＝＝＝，
∴AB＝2AD＝2．
故答案为：2．
12.（2019?下城区二模）已知C是优弧AB的中点，若∠AOC＝4∠B，OC＝4，则AB＝　　．
【解析】解：如图，连接CO，延长CO交AB于H．
∵＝，
∴CH⊥AB，AH＝BH，
∴∠AHO＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∵∠AOC＝90°+∠A＝4∠B，
∴∠A＝30°，
∵OA＝OC＝4，
∴OH＝OA＝2，
∴AH＝2，
∴AB＝4，
故答案为4．
13．（2020秋?道里区期末）AB是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足为M，连接OA．若△AOM中有一个角是30°，OM＝3，则弦AB的长为　6或2　．
【解析】解：∵OM⊥AB，
∴AM＝BM，
若∠OAM＝30°，
则tan∠OAM＝，
∴AM＝3，
∴AB＝2AM＝6；
若∠AOM＝30°，
则tan∠AOM＝，
∴AM＝，
∴AB＝2AM＝2．
故答案为：6或2．
三．解答题
14．（2020秋?渝中区期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
（1）求证：AC＝BD；
（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．
【解析】（1）证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示：
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，AH＝BH，
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴AC＝BD；
（2）解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示：
则CH＝DH＝CD，
∵OC＝OD，∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝4，
∴CH＝2，
∴OH＝＝＝2，
∴AH＝＝＝2，
∴AC＝AH﹣CH＝2﹣2．
15．（2021春?萧山区月考）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，＝．
（1）求证：OD∥BC；
（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．
【解析】解：（1）∵＝，
∴OD⊥AC，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
∴：OD∥BC．
（2）∵AD＝CD，
∴OD⊥AC于点E且AE＝CE，
又∵AC＝10，
∴，
∵DE＝4，
设⊙O半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣4，
在Rt△AOE中，
OA2＝OE2+AE2，即R2＝（R﹣4）2+52，
∴，
又∵O，E为AB，AC的中点，
∴OE＝，OE∥BC，
∴BC＝2OE＝．
16．（2020秋?鄂州期末）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC＝3．
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．
【解析】解：（1）连接AC，如图，
∵CD⊥AB，
∴AF＝BF，即CD垂直平分AB，
∴CA＝CB＝3，
∵AO⊥BC，
∴CE＝BE，即AE垂直平分BC，
∴AB＝AC＝3；
（2）∵AB＝AC＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，即∠OAF＝30°，
在Rt△OAF中，∵OF＝AF＝×＝，
∴OA＝2OF＝，
即⊙O的半径为．
17．（2020秋?江门期末）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．
【解析】解：（1）如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝12m，
∴BD＝AB＝6m．
又∵CD＝4m，
设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，
解得r＝6.5．
（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.4m，
∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），
∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），
在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44，
∴EN＝（m）．
∴MN＝2EN＝2×≈5.4m＞5m．
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
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精品试卷·第
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