3.5 圆周角 同步练习（含解析）
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浙教版九年级上
3.5圆周角同步练习
一．选择题
1．（2021?宜昌）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（ ）
A．85°
B．75°
C．70°
D．65°
2．（2021?溧阳市一模）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝42°，∠B＝34°，则∠APD的度数是（ ）
A．66°
B．76°
C．75°
D．67°
3．（2021?南充）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（ ）
A．15°
B．22.5°
C．30°
D．45°
4．（2021?聊城）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（ ）
A．95°
B．100°
C．105°
D．110°
5．（2021?福州模拟）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上异于A，B的一点，D为中点，延长DC交AB的延长线于点E，若∠CAE＝14°，则∠E的度数是（ ）
A．14°
B．20°
C．21°
D．24°
6．（2021?裕华区校级模拟）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠CBD＝α，∠AOD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180°
B．2α+β＝90°
C．2α+β＝180°
D．2α﹣β＝90°
7．（2021?宁波模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点D是弧BC的中点，DE⊥AB于点E，交BC于点F，已知AC＝2，⊙O的半径为2，则BF的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2021?眉山）如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，＝3，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G．若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为（ ）
A．18°
B．21°
C．22.5°
D．30°
9．（2021?碑林区校级四模）如图，在⊙O中，∠AOB+∠COD＝180°，弦CD＝6，OE⊥AB于点E．则OE的长为（ ）
A．3
B．2
C．3
D．6
10．（2021?萧山区一模）如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC，OC交于点D，E．设∠A＝α，∠C＝β（ ）
A．若α+β＝70°，则＝20°
B．若α+β＝70°，则＝40°
C．若α﹣β＝70°，则＝20°
D．若α﹣β＝70°，则＝40°
二．填空题
11．（2021?贺兰县校级一模）在⊙O中，弦AB的长等于半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是
．
12．（2021?宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝
．
13．（2021?温州一模）如图，半圆的直径AB＝6，C为半圆上一点，连接AC，BC，D为BC上一点，连接OD，交BC于点E，连接AE，若四边形ACDE为平行四边形，则AE的长为
．
14．（2019秋?余杭区期中）已知⊙O的半径OA＝r，弦AB，AC的长分别是r，r，则∠BAC的度数为
．
15．（2021?宁波模拟）如图，AB为半圆的直径，AB＝10，点O到弦AC的距离为4，点P从B出发沿BA方向向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接CP，经过
秒后，△APC为等腰三角形．
三．解答题
16．（2021?贺兰县校级一模）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E．若⊙O的半径为5，∠BAC＝60°，求DE的长．
17．（2021?蜀山区一模）如图，AB是半圆O的直径，D是的中点，DE⊥AB于点E，AC交DE于点F．
（1）求证：∠DAF＝∠ADF；
（2）若CD＝2，半圆O的半径为5，求BC的长．
18．（2021?临沂）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC；
（2）四边形BCDE为菱形．
19．（2021?余杭区模拟）如图所示，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求CD的长．
答案与解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021?宜昌）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（ ）
A．85°
B．75°
C．70°
D．65°
【解析】解：连接OC，如图，
∵∠ABC＝25°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×25°＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝30°，
∴．
故选：D．
2．（2021?溧阳市一模）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝42°，∠B＝34°，则∠APD的度数是（ ）
A．66°
B．76°
C．75°
D．67°
【解析】解：∵∠D＝∠A＝42°，
∴∠APD＝∠B+∠D＝34°+42°＝76°，
故选：B．
3．（2021?南充）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（ ）
A．15°
B．22.5°
C．30°
D．45°
【解析】解：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CD＝2ED＝2CE，
∵CD＝2OE，
∴DE＝OE，
∵CD⊥AB，
∴∠DOE＝∠ODE＝45°，
∴∠BCD＝∠DOE＝22.5°．
故选：B．
4．（2021?聊城）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（ ）
A．95°
B．100°
C．105°
D．110°
【解析】解：如图，
连接OB、OC，过点O作OD⊥AB，垂足为D，
则有：OA═OB═OC═1，AD═BD═AB═，
在Rt△OAD中，OD2═OA2﹣AD2，
∴OD══，
∴△OAD是等腰直角三角形，
∴∠OAD═45°，
∴∠OBA═∠OAD═45°，
∵∠BAC═30°，
∴∠COB═2∠BAC═60°，
∴△OBC是等边三角形，∠OBC═60°，
∴∠ABC═∠OBA+∠OBC═45°+60°═105°，
故选：C．
5．（2021?福州模拟）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上异于A，B的一点，D为中点，延长DC交AB的延长线于点E，若∠CAE＝14°，则∠E的度数是（ ）
A．14°
B．20°
C．21°
D．24°
【解析】解：连接BC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAE＝14°，
∴∠ABC＝76°，
∵D为中点，
∴∠DCA＝∠DAC＝∠ABC＝38°，
∴∠E＝∠DCA﹣∠CAE＝24°．
故选：D．
6．（2021?裕华区校级模拟）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠CBD＝α，∠AOD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180°
B．2α+β＝90°
C．2α+β＝180°
D．2α﹣β＝90°
【解析】解：∵OA⊥BC，
∴∠AOC＝90°，
∵∠COD＝2∠DBC＝2α，
∵∠AOD+∠COD＝90°，
∴β+2α＝90°，
故选：B．
7．（2021?宁波模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点D是弧BC的中点，DE⊥AB于点E，交BC于点F，已知AC＝2，⊙O的半径为2，则BF的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：延长DE交圆O于点G，连接BD、OD，如图所示：
∵，
∴∠DBC＝∠BDF，
∴DF＝BF，
∵AB为⊙O的直径，⊙O的半径为2，
∴AB＝4，
∴∠ACB＝90°，OB＝OD＝2，
∴BC＝＝＝2，
∵AB为⊙O的直径，DE⊥AB，
∴DE＝GE，，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∴BC＝DG＝2DE；
即：DE＝BC＝，
∵DE⊥AB，
∴OE＝＝＝1，
∴BE＝OB﹣OE＝1，
设DF＝BF＝a，则EF＝﹣a，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：12+（﹣a）2＝a2，
解得：a＝，
∴DF＝，
故选：A．
8．（2021?眉山）如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，＝3，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G．若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为（ ）
A．18°
B．21°
C．22.5°
D．30°
【解析】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠CAB＝90°，
∵＝3，
∴∠CAB＝3∠ABC，
∴∠ABC＝22.5°，∠CAB＝67.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACE＝22.5°，
∵点H是AG的中点，∠ACB＝90°，
∴AH＝CH＝HG，
∴∠CAH＝∠ACE＝22.5°，
∵∠CAF＝∠CBF，
∴∠CBF＝22.5°，
故选：C．
9．（2021?碑林区校级四模）如图，在⊙O中，∠AOB+∠COD＝180°，弦CD＝6，OE⊥AB于点E．则OE的长为（ ）
A．3
B．2
C．3
D．6
【解析】解：延长BO交⊙O于F，连接AF，
∵∠AOB+∠COD＝180°，∠AOB+∠AOF＝180°，
∴∠COD＝∠AOF，
∴CD＝AF＝6，
∵OE⊥AB，
∴∠OEB＝∠FAB＝90°，
∴OE∥AF，
∵O是BF中点，
∴OE是AF中点，
∴OE＝，
故选：A．
10．（2021?萧山区一模）如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC，OC交于点D，E．设∠A＝α，∠C＝β（ ）
A．若α+β＝70°，则＝20°
B．若α+β＝70°，则＝40°
C．若α﹣β＝70°，则＝20°
D．若α﹣β＝70°，则＝40°
【解析】解：连接BE，设的度数为θ，
则∠EBD＝，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
∵∠A＝α，
∴∠AEB＝90﹣α，
∵∠C＝β，∠AEB＝∠C+∠EBC＝β+，
∴90°﹣α＝β+，
解得：θ＝180°﹣2（α+β），
即的度数为180°﹣2（α+β），
A、当α+β＝70°时，的度数是180°﹣140°＝40°，故本选项错误；
B、当α+β＝70°时，的度数是180°﹣140°＝40°，故本选项正确；
C、当α﹣β＝70°时，即α＝70°+β，的度数是180°﹣2（70°+β+β）＝40°﹣4β，故本选项错误；
D、当α﹣β＝70°时，即α＝70°+β，的度数是40°﹣4β，故本选项错误；
故选：B．
二．填空题
11．（2021?贺兰县校级一模）在⊙O中，弦AB的长等于半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是 30°或150° ．
【解析】解：如图，连接OA、OB，∠ACB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝∠AOB＝30°，
∵∠ADB+∠ACB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣30°＝150°，
∴弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°．
故答案为30°或150°．
12．（2021?宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝ 13° ．
【解析】解：如图，连接DC，
∵∠DBC＝90°，
∴DC是⊙O的直径，
∵点B是的中点，
∴∠BCD＝∠BDC＝45°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，
∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，
故答案为：13°．
13．（2021?温州一模）如图，半圆的直径AB＝6，C为半圆上一点，连接AC，BC，D为BC上一点，连接OD，交BC于点E，连接AE，若四边形ACDE为平行四边形，则AE的长为 2 ．
【解析】解：如图，连接OC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AC＝DE，CD＝AE，AC∥DE，
∴∠ACE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥BC，
∴EC＝EB，
∵OA＝OB，
∴AC＝2OE＝DE，
∵OD＝OC＝3，
∴OE＝1，DE＝2，
∴CE2＝OC2﹣OE2＝CD2﹣DE2，
∴32﹣12＝CD2﹣22，
∴CD＝2或﹣2（舍弃）．
故答案为：2．
14．（2019秋?余杭区期中）已知⊙O的半径OA＝r，弦AB，AC的长分别是r，r，则∠BAC的度数为 15°或75° ．
【解析】解：过点O作OM⊥AC于M，
在直角△AOM中，OA＝r．根据OM⊥AC，则AM＝AC＝r，
所以cos∠OAM＝，则∠OAM＝30°，
同理可以求出∠OAB＝45°，
当AB，AC位于圆心的同侧时，∠BAC的度数为45°﹣30°＝15°；
当AB，AC位于圆心的异侧时，∠BAC的度数为45°+30°＝75°．
故答案为15°或75°．
15．（2021?宁波模拟）如图，AB为半圆的直径，AB＝10，点O到弦AC的距离为4，点P从B出发沿BA方向向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接CP，经过 或4或5 秒后，△APC为等腰三角形．
【解析】解：作OD⊥AC于D，如图，
∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
在Rt△ADO中，∵OA＝5，OD＝4，
∴AD＝＝3，
∴AC＝2AD＝6，
当CP＝CA时，作CE⊥AB于E，连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝8，
∴CE?AB＝AC?BC，
∴CE＝＝，
在Rt△ACE中，AE＝＝，
∵AE＝PE，
∴BP＝AB﹣2AE＝，
∴t＝（s）；
当PA＝PC时，则点P在AC的垂直平分线上，所以点P与点O重合，PB＝5，此时t＝5（s）；
当AP＝AC＝6时，PB＝AB﹣AP＝4，此时t＝4（s），
综上所述，t＝s或4s或5s．
故答案为或4或5．
三．解答题
16．（2021?贺兰县校级一模）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E．若⊙O的半径为5，∠BAC＝60°，求DE的长．
【分析】（1）连接AD，证明AD垂直平分线段BC即可；
（2）证明△ABC是等边三角形，求出CD即可解决问题．
【解析】解：（1）证明：连接AD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，又BD＝CD
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵⊙O的半径为5，
∴AB＝BC＝10，CD＝BC＝5，
又∵∠C＝60°，
∴DE＝CD?sin60°＝．
17．（2021?蜀山区一模）如图，AB是半圆O的直径，D是的中点，DE⊥AB于点E，AC交DE于点F．
（1）求证：∠DAF＝∠ADF；
（2）若CD＝2，半圆O的半径为5，求BC的长．
【解析】（1）证明：连接BD，
∵D为的中点，
∴＝，
∴∠DAC＝∠ABD，
∵AB为半圆O的直径，DE⊥AB，
∴∠DEA＝∠ADB＝90°，
∴∠ADF+∠DAE＝∠DAE+∠ABD＝90°，
∴∠ADF＝∠ABD，
∴∠DAF＝∠ADF；
（2）解：连接OD交AC于H，
∵＝，OD过O，
∴OD⊥AC，AD＝CD＝2，
在Rt△AOH中，AH2＝OA2﹣OH2，
在Rt△ADH中，AH2＝AD2﹣DH2，
∴OA2﹣OH2＝AD2﹣DH2，
即52﹣OH2＝（2）2﹣（5﹣OH）2，
解得：OH＝3，
∵D为的中点，OD过O，
∴AH＝CH，
∵AO＝BO，
∴OH＝BC，
∴BC＝2OH＝6．
18．（2021?临沂）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC；
（2）四边形BCDE为菱形．
【解析】解：（1）连接BD，
∵，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）连接CD，
∵AD∥BC，
∴∠EDF＝∠CBF，
∵，
∴BC＝CD，
∴BF＝DF，又∠DFE＝∠BFC，
∴△DEF≌△BCF（ASA），
∴DE＝BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，又BC＝CD，
∴四边形BCDE是菱形．
19．（2021?余杭区模拟）如图所示，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求CD的长．
【解析】（1）证明：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
由圆周角定理得，∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD，
∴DA＝DB，即△ABD是等腰三角形；
（2）解：作AE⊥CD于E，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝AB＝5，
∵AE⊥CD，∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝AC＝3，
在Rt△AED中，DE＝＝4，
∴CD＝CE+DE＝3+4＝7．
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浙教版九年级上
3.5圆周角同步练习
一．选择题
1．（2021?宜昌）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（ ）
A．85°
B．75°
C．70°
D．65°
2．（2021?溧阳市一模）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝42°，∠B＝34°，则∠APD的度数是（ ）
A．66°
B．76°
C．75°
D．67°
3．（2021?南充）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（ ）
A．15°
B．22.5°
C．30°
D．45°
4．（2021?聊城）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（ ）
A．95°
B．100°
C．105°
D．110°
5．（2021?福州模拟）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上异于A，B的一点，D为中点，延长DC交AB的延长线于点E，若∠CAE＝14°，则∠E的度数是（ ）
A．14°
B．20°
C．21°
D．24°
6．（2021?裕华区校级模拟）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠CBD＝α，∠AOD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180°
B．2α+β＝90°
C．2α+β＝180°
D．2α﹣β＝90°
7．（2021?宁波模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点D是弧BC的中点，DE⊥AB于点E，交BC于点F，已知AC＝2，⊙O的半径为2，则BF的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2021?眉山）如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，＝3，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G．若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为（ ）
A．18°
B．21°
C．22.5°
D．30°
9．（2021?碑林区校级四模）如图，在⊙O中，∠AOB+∠COD＝180°，弦CD＝6，OE⊥AB于点E．则OE的长为（ ）
A．3
B．2
C．3
D．6
10．（2021?萧山区一模）如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC，OC交于点D，E．设∠A＝α，∠C＝β（ ）
A．若α+β＝70°，则＝20°
B．若α+β＝70°，则＝40°
C．若α﹣β＝70°，则＝20°
D．若α﹣β＝70°，则＝40°
二．填空题
11．（2021?贺兰县校级一模）在⊙O中，弦AB的长等于半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是
．
12．（2021?宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝
．
13．（2021?温州一模）如图，半圆的直径AB＝6，C为半圆上一点，连接AC，BC，D为BC上一点，连接OD，交BC于点E，连接AE，若四边形ACDE为平行四边形，则AE的长为
．
14．（2019秋?余杭区期中）已知⊙O的半径OA＝r，弦AB，AC的长分别是r，r，则∠BAC的度数为
．
15．（2021?宁波模拟）如图，AB为半圆的直径，AB＝10，点O到弦AC的距离为4，点P从B出发沿BA方向向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接CP，经过
秒后，△APC为等腰三角形．
三．解答题
16．（2021?贺兰县校级一模）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E．若⊙O的半径为5，∠BAC＝60°，求DE的长．
17．（2021?蜀山区一模）如图，AB是半圆O的直径，D是的中点，DE⊥AB于点E，AC交DE于点F．
（1）求证：∠DAF＝∠ADF；
（2）若CD＝2，半圆O的半径为5，求BC的长．
18．（2021?临沂）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC；
（2）四边形BCDE为菱形．
19．（2021?余杭区模拟）如图所示，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求CD的长．
答案与解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021?宜昌）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（ ）
A．85°
B．75°
C．70°
D．65°
【解析】解：连接OC，如图，
∵∠ABC＝25°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×25°＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝30°，
∴．
故选：D．
2．（2021?溧阳市一模）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝42°，∠B＝34°，则∠APD的度数是（ ）
A．66°
B．76°
C．75°
D．67°
【解析】解：∵∠D＝∠A＝42°，
∴∠APD＝∠B+∠D＝34°+42°＝76°，
故选：B．
3．（2021?南充）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（ ）
A．15°
B．22.5°
C．30°
D．45°
【解析】解：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CD＝2ED＝2CE，
∵CD＝2OE，
∴DE＝OE，
∵CD⊥AB，
∴∠DOE＝∠ODE＝45°，
∴∠BCD＝∠DOE＝22.5°．
故选：B．
4．（2021?聊城）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（ ）
A．95°
B．100°
C．105°
D．110°
【解析】解：如图，
连接OB、OC，过点O作OD⊥AB，垂足为D，
则有：OA═OB═OC═1，AD═BD═AB═，
在Rt△OAD中，OD2═OA2﹣AD2，
∴OD══，
∴△OAD是等腰直角三角形，
∴∠OAD═45°，
∴∠OBA═∠OAD═45°，
∵∠BAC═30°，
∴∠COB═2∠BAC═60°，
∴△OBC是等边三角形，∠OBC═60°，
∴∠ABC═∠OBA+∠OBC═45°+60°═105°，
故选：C．
5．（2021?福州模拟）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上异于A，B的一点，D为中点，延长DC交AB的延长线于点E，若∠CAE＝14°，则∠E的度数是（ ）
A．14°
B．20°
C．21°
D．24°
【解析】解：连接BC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAE＝14°，
∴∠ABC＝76°，
∵D为中点，
∴∠DCA＝∠DAC＝∠ABC＝38°，
∴∠E＝∠DCA﹣∠CAE＝24°．
故选：D．
6．（2021?裕华区校级模拟）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠CBD＝α，∠AOD＝β，则（ ）
A．3α+β＝180°
B．2α+β＝90°
C．2α+β＝180°
D．2α﹣β＝90°
【解析】解：∵OA⊥BC，
∴∠AOC＝90°，
∵∠COD＝2∠DBC＝2α，
∵∠AOD+∠COD＝90°，
∴β+2α＝90°，
故选：B．
7．（2021?宁波模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点D是弧BC的中点，DE⊥AB于点E，交BC于点F，已知AC＝2，⊙O的半径为2，则BF的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：延长DE交圆O于点G，连接BD、OD，如图所示：
∵，
∴∠DBC＝∠BDF，
∴DF＝BF，
∵AB为⊙O的直径，⊙O的半径为2，
∴AB＝4，
∴∠ACB＝90°，OB＝OD＝2，
∴BC＝＝＝2，
∵AB为⊙O的直径，DE⊥AB，
∴DE＝GE，，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∴BC＝DG＝2DE；
即：DE＝BC＝，
∵DE⊥AB，
∴OE＝＝＝1，
∴BE＝OB﹣OE＝1，
设DF＝BF＝a，则EF＝﹣a，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：12+（﹣a）2＝a2，
解得：a＝，
∴DF＝，
故选：A．
8．（2021?眉山）如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，＝3，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G．若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为（ ）
A．18°
B．21°
C．22.5°
D．30°
【解析】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠CAB＝90°，
∵＝3，
∴∠CAB＝3∠ABC，
∴∠ABC＝22.5°，∠CAB＝67.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACE＝22.5°，
∵点H是AG的中点，∠ACB＝90°，
∴AH＝CH＝HG，
∴∠CAH＝∠ACE＝22.5°，
∵∠CAF＝∠CBF，
∴∠CBF＝22.5°，
故选：C．
9．（2021?碑林区校级四模）如图，在⊙O中，∠AOB+∠COD＝180°，弦CD＝6，OE⊥AB于点E．则OE的长为（ ）
A．3
B．2
C．3
D．6
【解析】解：延长BO交⊙O于F，连接AF，
∵∠AOB+∠COD＝180°，∠AOB+∠AOF＝180°，
∴∠COD＝∠AOF，
∴CD＝AF＝6，
∵OE⊥AB，
∴∠OEB＝∠FAB＝90°，
∴OE∥AF，
∵O是BF中点，
∴OE是AF中点，
∴OE＝，
故选：A．
10．（2021?萧山区一模）如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC，OC交于点D，E．设∠A＝α，∠C＝β（ ）
A．若α+β＝70°，则＝20°
B．若α+β＝70°，则＝40°
C．若α﹣β＝70°，则＝20°
D．若α﹣β＝70°，则＝40°
【解析】解：连接BE，设的度数为θ，
则∠EBD＝，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
∵∠A＝α，
∴∠AEB＝90﹣α，
∵∠C＝β，∠AEB＝∠C+∠EBC＝β+，
∴90°﹣α＝β+，
解得：θ＝180°﹣2（α+β），
即的度数为180°﹣2（α+β），
A、当α+β＝70°时，的度数是180°﹣140°＝40°，故本选项错误；
B、当α+β＝70°时，的度数是180°﹣140°＝40°，故本选项正确；
C、当α﹣β＝70°时，即α＝70°+β，的度数是180°﹣2（70°+β+β）＝40°﹣4β，故本选项错误；
D、当α﹣β＝70°时，即α＝70°+β，的度数是40°﹣4β，故本选项错误；
故选：B．
二．填空题
11．（2021?贺兰县校级一模）在⊙O中，弦AB的长等于半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是 30°或150° ．
【解析】解：如图，连接OA、OB，∠ACB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝∠AOB＝30°，
∵∠ADB+∠ACB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣30°＝150°，
∴弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°．
故答案为30°或150°．
12．（2021?宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝ 13° ．
【解析】解：如图，连接DC，
∵∠DBC＝90°，
∴DC是⊙O的直径，
∵点B是的中点，
∴∠BCD＝∠BDC＝45°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，
∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，
故答案为：13°．
13．（2021?温州一模）如图，半圆的直径AB＝6，C为半圆上一点，连接AC，BC，D为BC上一点，连接OD，交BC于点E，连接AE，若四边形ACDE为平行四边形，则AE的长为 2 ．
【解析】解：如图，连接OC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AC＝DE，CD＝AE，AC∥DE，
∴∠ACE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥BC，
∴EC＝EB，
∵OA＝OB，
∴AC＝2OE＝DE，
∵OD＝OC＝3，
∴OE＝1，DE＝2，
∴CE2＝OC2﹣OE2＝CD2﹣DE2，
∴32﹣12＝CD2﹣22，
∴CD＝2或﹣2（舍弃）．
故答案为：2．
14．（2019秋?余杭区期中）已知⊙O的半径OA＝r，弦AB，AC的长分别是r，r，则∠BAC的度数为 15°或75° ．
【解析】解：过点O作OM⊥AC于M，
在直角△AOM中，OA＝r．根据OM⊥AC，则AM＝AC＝r，
所以cos∠OAM＝，则∠OAM＝30°，
同理可以求出∠OAB＝45°，
当AB，AC位于圆心的同侧时，∠BAC的度数为45°﹣30°＝15°；
当AB，AC位于圆心的异侧时，∠BAC的度数为45°+30°＝75°．
故答案为15°或75°．
15．（2021?宁波模拟）如图，AB为半圆的直径，AB＝10，点O到弦AC的距离为4，点P从B出发沿BA方向向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接CP，经过 或4或5 秒后，△APC为等腰三角形．
【解析】解：作OD⊥AC于D，如图，
∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
在Rt△ADO中，∵OA＝5，OD＝4，
∴AD＝＝3，
∴AC＝2AD＝6，
当CP＝CA时，作CE⊥AB于E，连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝8，
∴CE?AB＝AC?BC，
∴CE＝＝，
在Rt△ACE中，AE＝＝，
∵AE＝PE，
∴BP＝AB﹣2AE＝，
∴t＝（s）；
当PA＝PC时，则点P在AC的垂直平分线上，所以点P与点O重合，PB＝5，此时t＝5（s）；
当AP＝AC＝6时，PB＝AB﹣AP＝4，此时t＝4（s），
综上所述，t＝s或4s或5s．
故答案为或4或5．
三．解答题
16．（2021?贺兰县校级一模）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E．若⊙O的半径为5，∠BAC＝60°，求DE的长．
【分析】（1）连接AD，证明AD垂直平分线段BC即可；
（2）证明△ABC是等边三角形，求出CD即可解决问题．
【解析】解：（1）证明：连接AD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，又BD＝CD
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵⊙O的半径为5，
∴AB＝BC＝10，CD＝BC＝5，
又∵∠C＝60°，
∴DE＝CD?sin60°＝．
17．（2021?蜀山区一模）如图，AB是半圆O的直径，D是的中点，DE⊥AB于点E，AC交DE于点F．
（1）求证：∠DAF＝∠ADF；
（2）若CD＝2，半圆O的半径为5，求BC的长．
【解析】（1）证明：连接BD，
∵D为的中点，
∴＝，
∴∠DAC＝∠ABD，
∵AB为半圆O的直径，DE⊥AB，
∴∠DEA＝∠ADB＝90°，
∴∠ADF+∠DAE＝∠DAE+∠ABD＝90°，
∴∠ADF＝∠ABD，
∴∠DAF＝∠ADF；
（2）解：连接OD交AC于H，
∵＝，OD过O，
∴OD⊥AC，AD＝CD＝2，
在Rt△AOH中，AH2＝OA2﹣OH2，
在Rt△ADH中，AH2＝AD2﹣DH2，
∴OA2﹣OH2＝AD2﹣DH2，
即52﹣OH2＝（2）2﹣（5﹣OH）2，
解得：OH＝3，
∵D为的中点，OD过O，
∴AH＝CH，
∵AO＝BO，
∴OH＝BC，
∴BC＝2OH＝6．
18．（2021?临沂）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC；
（2）四边形BCDE为菱形．
【解析】解：（1）连接BD，
∵，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）连接CD，
∵AD∥BC，
∴∠EDF＝∠CBF，
∵，
∴BC＝CD，
∴BF＝DF，又∠DFE＝∠BFC，
∴△DEF≌△BCF（ASA），
∴DE＝BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，又BC＝CD，
∴四边形BCDE是菱形．
19．（2021?余杭区模拟）如图所示，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）求CD的长．
【解析】（1）证明：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
由圆周角定理得，∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD，
∴DA＝DB，即△ABD是等腰三角形；
（2）解：作AE⊥CD于E，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝AB＝5，
∵AE⊥CD，∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝AC＝3，
在Rt△AED中，DE＝＝4，
∴CD＝CE+DE＝3+4＝7．
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