3.6 圆内接四边形 同步练习（含解析）

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浙教版九年级上
3.6圆内接四边形同步练习
一．选择题
1．（2020秋?滨江区期末）四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C的度数是（　　）
A．60°
B．80°
C．100°
D．120°
2．（2021?龙港市一模）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC，若∠AOC＝116°，则∠ADC的度数是（　　）
A．122°
B．120°
C．117°
D．116°
3．（2020秋?拱墅区期末）若四边形ABCD是圆内接四边形，则它的内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比可能是（　　）
A．3：1：2：5
B．1：2：2：3
C．2：7：3：6
D．1：2：4：3
4．（2021?泰安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（　　）
A．2﹣2
B．3﹣
C．4﹣
D．2
5．（2020秋?南岗区校级月考）在同圆或等圆中，下列说法正确的有（　　）
①平分弦的直径垂直于弦；
②圆内接平行四边形是菱形；
③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
④如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．（2021?前郭县三模）如图，四边形ABDE是⊙O的内接四边形，CE是⊙O的直径，连接BC，DC．若∠BDC＝20°，则∠A的度数为（　　）
A．90°
B．100°
C．110°
D．120°
7．（2020?姑苏区一模）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，的度数为60°，则∠B+∠D的度数是（　　）
A．180°
B．120°
C．100°
D．150°
8．（2021?雁塔区校级模拟）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB为圆O的直径，若∠AOD＝40°，弦AC平分∠DAB，则∠ADC＝（　　）
A．140°
B．125°
C．110°
D．105°
二．填空题
9．（2021?高邮市模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠A＝50°，∠E＝45°，则∠F＝　
　°．
10．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝1，∠ACD＝60°，则四边形的面积为　
　．
11．（2021春?越秀区校级月考）如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．其中正确的结论是　
　（填序号）．
①∠MAC＝∠PBC，
②△ABC是等边三角形，
③PC＝PA+PB，
④若PA＝1，PB＝2，则△PCM的面积＝．
三．解答题
12．（2021春?台江区校级月考）如图，在圆内接四边形ABCD中，DC＝DB，M为CA延长线上一点．
求证：AD平分∠BAM．
13．（2020?永嘉县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连接AC．
（1）求证：AB＝AP；
（2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长．
14．（2020秋?温州校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F．
（1）求证：∠FGC＝∠AGD．
（2）当DG平分∠AGC，∠ADG＝45°，AF＝，求弦DC的长．
15．（2021秋?钟楼区校级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．
答案与解析
一．选择题
1．（2020秋?滨江区期末）四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C的度数是（　　）
A．60°
B．80°
C．100°
D．120°
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠C＝120°，
故选：D．
2．（2021?龙港市一模）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC，若∠AOC＝116°，则∠ADC的度数是（　　）
A．122°
B．120°
C．117°
D．116°
【解析】解：∵∠AOC＝116°，
∴∠B＝∠AOC＝58°，
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝122°，
故选：A．
3．（2020秋?拱墅区期末）若四边形ABCD是圆内接四边形，则它的内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比可能是（　　）
A．3：1：2：5
B．1：2：2：3
C．2：7：3：6
D．1：2：4：3
【解析】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，∠B+∠D＝180°，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D，
A．∵∠A：∠B：∠C：∠D＝3：1：2：5，
∴∠A+∠C≠∠B+∠D，故本选项不符合题意；
B．∵∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：2：3，
∴∠A+∠C≠∠B+∠D，故本选项不符合题意；
C．∵∠A：∠B：∠C：∠D＝2：7：3：6，
∴∠A+∠C≠∠B+∠D，故本选项不符合题意；
D．∵∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：4：3，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（2021?泰安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（　　）
A．2﹣2
B．3﹣
C．4﹣
D．2
【解析】解：延长AD、BC交于E，
∵∠BCD＝120°，
∴∠A＝60°，
∵∠B＝90°，
∴∠ADC＝90°，∠E＝30°，
在Rt△ABE中，AE＝2AB＝4，
在Rt△CDE中，DE＝＝，
∴AD＝AE﹣DE＝4﹣，
故选：C．
5．（2020秋?南岗区校级月考）在同圆或等圆中，下列说法正确的有（　　）
①平分弦的直径垂直于弦；②圆内接平行四边形是菱形；
③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
④如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】解：①平分弦的直径垂直于弦，错误，此弦不是直径，才能成立．
②圆内接平行四边形是菱形，错误，圆内接平行四边形是矩形．
③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，正确．
④如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等．错误，弦所对的圆周角有两个，也可能互补．
故选：A．
6．（2021?前郭县三模）如图，四边形ABDE是⊙O的内接四边形，CE是⊙O的直径，连接BC，DC．若∠BDC＝20°，则∠A的度数为（　　）
A．90°
B．100°
C．110°
D．120°
【解析】解：∵CE是⊙O的直径，
∴∠CDE＝90°，
∵∠BDC＝20°，
∴∠BDE＝∠CDE﹣∠BDC＝70°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BDE＝110°，
故选：C．
7．（2020?姑苏区一模）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，的度数为60°，则∠B+∠D的度数是（　　）
A．180°
B．120°
C．100°
D．150°
【解析】解：连接AB、DE，则∠ABE＝∠ADE，
∵的度数为60°，
∴∠ABE＝∠ADE＝30°，
∵点A、B、C、D在⊙O上，
∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABE+∠EBC+∠ADC＝180°，
∴∠EBC+∠ADC＝180°﹣∠ABE＝180°﹣30°＝150°．
解法二：连接DE，利用四边形BCDE是圆内接四边形，解决问题即可．
故选：D．
8．（2021?雁塔区校级模拟）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB为圆O的直径，若∠AOD＝40°，弦AC平分∠DAB，则∠ADC＝（　　）
A．140°
B．125°
C．110°
D．105°
【解析】解：∵∠AOD＝40°，OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO＝（180°﹣∠AOD）＝70°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAB＝DAB＝35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝55°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣55°＝125°，
故选：B．
二．填空题
9．（2021?高邮市模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠A＝50°，∠E＝45°，则∠F＝　35　°．
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ECD＝∠A＝50°，∠BCF＝∠A＝50°，
∴∠EDC+∠FBC＝180°，
∴∠E+∠F＝360°﹣180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵∠E＝45°，
∴∠F＝35°，
故答案为：35．
10．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝1，∠ACD＝60°，则四边形的面积为　　．
【解析】解：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
∵∠ADF+∠ABC＝180（圆的内接四边形对角之和为180），∠ABE+∠ABC＝180，
∴∠ADF＝∠ABE．
∵∠ABE＝∠ADF，AB＝AD，∠AEB＝∠AFD，
∴△AEB≌△AFD，
∴四边形ABCD的面积＝四边形AECF的面积，AE＝AF．
又∵∠E＝∠AFC＝90°，AC＝AC，
∴Rt△AEC≌Rt△AFC．
∵∠ACD＝60°，∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝30°，
∴CF＝，AF＝，
∴四边形ABCD的面积＝2S△ACF＝2×CF×AF＝．
故答案为：．
11．（2021春?越秀区校级月考）如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．其中正确的结论是　①②③④　（填序号）．
①∠MAC＝∠PBC，
②△ABC是等边三角形，
③PC＝PA+PB，
④若PA＝1，PB＝2，则△PCM的面积＝．
【解析】解：∵A、P、B、C是⊙O上的四点，
∴∠PBC+∠PAC＝180°，
∵∠PAC+∠MAC＝180°，
∴∠MAC＝∠PBC；故①正确；
∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，故②正确；
∵四边形APBC是⊙O的内接四边形，
∴∠MAC＝∠PBC，∠ACB+∠APB＝180°；
∵CM∥BP，
∴∠M+∠APB＝180°，
∴∠M＝∠ACB；
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠BAC＝60°，AC＝BC；而∠BPC＝∠BAC＝60°，
∴∠M＝∠BPC；
在△ACM与△BCP中，
，
∴△ACM≌△BCP（AAS）．
∴PB＝AM，PA+PB＝PA+AM＝PM；
∵∠M＝∠BPC＝60°，∠APC＝∠ABC＝60°，
∴△MPC为等边三角形，
∴PC＝PM，
∴PC＝PA+PB，故③正确；
∵△ACM≌△BCP，
∴AM＝PB＝2，
∴PM＝PA+AM＝1+2＝3，
∵△PCM是等边三角形，
∴△PCM的面积＝CM2＝，故④正确，
故答案为：①②③④．
三．解答题
12．（2021春?台江区校级月考）如图，在圆内接四边形ABCD中，DC＝DB，M为CA延长线上一点．
求证：AD平分∠BAM．
【解析】证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠MAD＝∠DBC，
∠DAB＝∠DCB，
∵DC＝DB，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴∠MAD＝∠DAB，
即AD平分∠BAM．
13．（2020?永嘉县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连接AC．
（1）求证：AB＝AP；
（2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长．
【解析】（1）证明：∵C为的中点，
∴∠BAC＝∠CAP，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ACP＝90°，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°，
∴∠ABC＝∠P，
∴AB＝AP．
（2）解：如图，连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDP＝90°，
∵AB＝AP＝10，DP＝2，
∴AD＝10﹣2＝8，
∴BD＝＝＝6，
∴PB＝＝＝2，
∵AB＝AP，AC⊥BP，
∴BC＝PC＝PB＝，
∴PC＝．
14．（2020秋?温州校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F．
（1）求证：∠FGC＝∠AGD．
（2）当DG平分∠AGC，∠ADG＝45°，AF＝，求弦DC的长．
【解析】（1）证明：如图1，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴＝，
∴AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵ADCG在⊙O上，
∴∠CGF＝∠ADC，
∵∠AGD＝∠ACD，
∴∠FGC＝∠AGD；
（2）解：如图2，连接BG，AC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴DE＝CE，
∵DG平分∠AGC，
∴∠AGD＝∠CGD，
∵∠FGC＝∠AGD，
∴∠AGD＝∠CGD＝∠FGC，
∵∠AGD+∠CGD+∠FGC＝180°，
∴∠CGF＝∠AGD＝60°，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∵AB⊥CD，
∴∠CAE＝∠DAE＝30°，
∵∠ADG＝45°，
∴∠CDG＝∠CAG＝60°﹣45°＝15°，
∴∠EAF＝30°+15°＝45°，
Rt△AEF中，AE＝EF，
∵AF＝，
∴AE＝EF＝，
Rt△ADE中，∠DAE＝30°，
∴DE＝1，
∴DC＝2DE＝2．
15．（2021秋?钟楼区校级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．
【解析】（1）证明：∵AD平分∠BDF，
∴∠ADF＝∠ADB，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ADF＝∠ABC，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G．
∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，
∴AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°，
在Rt△AED和Rt△AGD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AGD，
∴GD＝ED＝2，
在Rt△AEC和Rt△AGB中，
，
∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL），
∴BG＝CE，
∵BD＝11，
∴BG＝BD﹣GD＝11﹣2＝9，
∴CE＝BG＝9，
∴CD＝CE﹣DE＝9﹣2＝7．
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