3.8 弧长及扇形的面积 同步练习（含解析）

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浙教版九年级上
3.8弧长及扇形的面积同步练习
一．选择题
1．（2021?衢州）已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（　　）
A．π
B．3π
C．5π
D．15π
2．（2021?平房区三模）一个扇形的半径为3cm，面积为πcm2，则此扇形的圆心角为（　　）
A．30°
B．40°
C．80°
D．120°
3．（2021?南岗区校级一模）某扇形的圆心角为150°，其弧长为20πcm，则此扇形的面积是（　　）
A．120πcm
B．480πcm2
C．240πcm2
D．240cm2
4．（2021?连云港二模）如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧OA和OB的夹角为120°，OA长为10cm，贴纸部分的CA长为5cm，则贴纸部分的面积为（　　）
A．cm2
B．25πcm2
C．48πcm2
D．75πcm2
5．（2021?德城区二模）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，OA是滑轮的一条半径，当OA绕轴心O按逆时针方向旋转180°时，重物上升的高度为（　　）
A．10cm
B．10πcm
C．5cm
D．5πcm
6．（2021?上城区校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为（　　）
A．π
B．π
C．π
D．π
7．（2021?遂宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（　　）
A．16π﹣12
B．16π﹣24
C．20π﹣12
D．20π﹣24
8．（2021?曲江区校级模拟）如图，点C在以AB为直径的半圆上，O为圆心．若∠BAC＝30°，AB＝12，则阴影部分的面积为（　　）
A．6π
B．12π
C．18π
D．9+
9．（2021?庐阳区校级模拟）如图，?ABCD中，∠C＝110°，AB＝2，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（2021?宁波模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的直径AB两侧的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝6，EF＝8，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．π
B．10π
C．24+4π
D．24+5π
二．填空题
11．（2021?南岗区校级二模）一个扇形的弧长是6πcm，面积是15πcm2，则此扇形的圆心角为
　
　度．
12．（2021?道外区三模）某扇形的圆心角为45°，面积为9π，该扇形的弧长为
　
　．
13．（2021?龙湾区二模）如图是一个由三条等弧围成的莱洛三角形，其中的圆心为点A，∠BAC＝60°．若AB＝1cm，则该莱洛三角形的周长是　
　cm．
14．（2021?铁锋区一模）如图，CD是以AB为直径的⊙O的一条弦，CD∥AB，∠CAD＝40°，若⊙O的半径为9cm，则阴影部分的面积为　
　cm2．
15．（2021?凉山州）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC＝3，BC＝2，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为　
　．
16．（2021?碑林区校级模拟）如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转45°后，到Rt△AED，点B经过的路径为弧BE，已知AC＝2，则图中阴影部分的面积为　
　．
三．解答题
17．（2021春?瓯海区月考）如图，∠EAD是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，且∠EAD＝75°，DB＝DC．
（1）求∠BDC的度数．
（2）若⊙O的半径为2，求的长．
18．（2021?海陵区一模）已知：如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，∠ACD＝60°，给出下列信息：
①∠ADC＝50°；②AB是⊙O的直径；③∠CEB＝100°．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是　
　，结论是　
　（只要填写序号）．判断此命题是否正确，并说明理由；
（2）在（1）的情况下，若AD＝2，求的长度．
19．（2019秋?青龙县期末）如图，⊙O的直径AB＝16，半径OC⊥AB，D为上一动点（不包括B，C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E，F．
（1）求EF的长．
（2）若点E为OC的中点，
①求劣弧CD的长度；
②若点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值．
20．（2020春?朝阳区校级月考）如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，＝，BE分别交AD、AC于点F、G．
（1）证明：FA＝FB；
（2）若BD＝DO＝2，求的长度．
21．（2020秋?东莞市期末）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积．
22．（2020秋?海曙区校级期中）已知：如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°．
（1）求∠EBC的大小；
（2）若⊙O的半径为2．求图中阴影部分的面积．
答案与解析
一．选择题
1．（2021?衢州）已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（　　）
A．π
B．3π
C．5π
D．15π
【解析】解：扇形面积＝，
故选：D．
2．（2021?平房区三模）一个扇形的半径为3cm，面积为πcm2，则此扇形的圆心角为（　　）
A．30°
B．40°
C．80°
D．120°
【解析】解：设扇形的圆心角是n°，
根据题意可知：S＝＝π，
解得n＝40°，
故选：B．
3．（2021?南岗区校级一模）某扇形的圆心角为150°，其弧长为20πcm，则此扇形的面积是（　　）
A．120πcm
B．480πcm2
C．240πcm2
D．240cm2
【解析】解：设扇形的半径为rcm，
∵扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20πcm，
∴＝20π，解得r＝24
cm，
∴S扇形＝×20π×24＝240πcm2．
故选：C．
4．（2021?连云港二模）如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧OA和OB的夹角为120°，OA长为10cm，贴纸部分的CA长为5cm，则贴纸部分的面积为（　　）
A．cm2
B．25πcm2
C．48πcm2
D．75πcm2
【解析】解：S＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝﹣＝25π（cm2），
故选：B．
5．（2021?德城区二模）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，OA是滑轮的一条半径，当OA绕轴心O按逆时针方向旋转180°时，重物上升的高度为（　　）
A．10cm
B．10πcm
C．5cm
D．5πcm
【解析】解：根据题意得，重物上升的高度＝＝10π（cm）．
故选：B．
6．（2021?上城区校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为（　　）
A．π
B．π
C．π
D．π
【解析】解：由题意可知：AE＝AD＝BC＝2，
在Rt△ABE中，sin∠AEB＝＝＝，
∴∠AEB＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝60°，
l＝＝＝，
故A、B、D错误，
故选：C．
7．（2021?遂宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（　　）
A．16π﹣12
B．16π﹣24
C．20π﹣12
D．20π﹣24
【解析】解：连接AD，OE
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDF＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠AFD＝90°，
∴∠ADF+∠DAF＝90°，
∴∠CDF＝∠DAC，
∵∠CDF＝15°，
∴∠DAC＝15°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAC＝2∠DAC＝30°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝30°，
∴∠AOE＝120°，
作OH⊥AE于H，
在Rt△AOH中，OA＝4，
∴OH＝sin30°×OA＝2，
AH＝cos30°×OA＝6，
∴AE＝2AH＝12，
∴S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE＝＝16．
故选：A．
8．（2021?曲江区校级模拟）如图，点C在以AB为直径的半圆上，O为圆心．若∠BAC＝30°，AB＝12，则阴影部分的面积为（　　）
A．6π
B．12π
C．18π
D．9+
【解析】解：∵直径AB＝12，点C在半圆上，∠BAC＝30°，
∴OA＝OB＝6，∠ACB＝90°，∠COB＝60°，
∴S△AOC＝S△BOC，
∴阴影部分的面积＝S扇形BCO＝＝6π，
故选：A．
9．（2021?庐阳区校级模拟）如图，?ABCD中，∠C＝110°，AB＝2，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠C＝110°，
∴∠B＝70°，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∴∠OEB＝70°，
∴∠AOE＝∠B+∠OEB＝70°+70°＝140°，
∵AB＝2，AB为⊙O的直径，
∴OA＝OB＝OE＝1，
∴的长为：＝，
故选：C．
10．（2021?宁波模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的直径AB两侧的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝6，EF＝8，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．π
B．10π
C．24+4π
D．24+5π
【解析】解：连接OC、OD、OE、OF，作直径CM，连接DM，如图，
∵AB∥CD∥EF，
∴S△ACD＝S△OCD，S△AEF＝S△OEF，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形COD+S扇形EOF，
∵CM为直径，
∴∠CDM＝90°，
∴DM＝＝8，
∵EF＝8，
∴DM＝EF，
∴S扇形EOF＝S扇形DOM，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形COD+S扇形DOM
＝S半圆CM
＝
＝π．
故选：A．
二．填空题
11．（2021?南岗区校级二模）一个扇形的弧长是6πcm，面积是15πcm2，则此扇形的圆心角为
　216　度．
【解析】解：∵一个扇形的弧长是6πcm，面积是15πcm2，S＝lr，
∴15π＝×6πr，
解得r＝5，
∵l＝，
∴6π＝，
解得n＝216，
即该扇形的圆心角为216°，
故答案为：216．
12．（2021?道外区三模）某扇形的圆心角为45°，面积为9π，该扇形的弧长为
　π　．
【解析】解：∵扇形的圆心角为45°，面积为
9π，
∴9π＝，
∴r＝6，
∵l＝，
∴l＝＝π，
故答案为π．
13．（2021?龙湾区二模）如图是一个由三条等弧围成的莱洛三角形，其中的圆心为点A，∠BAC＝60°．若AB＝1cm，则该莱洛三角形的周长是　π　cm．
【解析】解：图中所在的圆的半径AB＝1cm，相应的圆心角的度数为60°，
∴的长为＝（cm），
∴该莱洛三角形的周长是×3＝π（cm），
故答案为：π．
14．（2021?铁锋区一模）如图，CD是以AB为直径的⊙O的一条弦，CD∥AB，∠CAD＝40°，若⊙O的半径为9cm，则阴影部分的面积为　18π　cm2．
【解析】解：连接OC，OD，
∵∠CAD＝40°，
∴∠COD＝80°，
∵AB∥CD，
∴△ACD的面积＝△COD的面积，
∴阴影部分的面积＝扇形OCD的面积＝＝18π．
故答案为：18π．
15．（2021?凉山州）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC＝3，BC＝2，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为　　．
【解析】解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴S△ABC＝S△A′B′C，∠BCB′＝∠ACA′＝120°．
∵AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，
∴AB扫过的图形的面积＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′，
∴AB扫过的图形的面积＝﹣＝．
故答案为：。
16．（2021?碑林区校级模拟）如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转45°后，到Rt△AED，点B经过的路径为弧BE，已知AC＝2，则图中阴影部分的面积为　2π　．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，
∴tan∠BAC＝＝，
∴∠CAB＝60°，
∴∠ABC＝30°
∴AB＝2AC＝2×2＝4，
由题意得，△ACB≌△ADE，∠BAE＝45°，
则图中阴影部分的面积＝S△AED+S扇形EAB﹣S△ACB＝S扇形EAB＝＝2π，
故答案为：2π．
三．解答题
17．（2021春?瓯海区月考）如图，∠EAD是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，且∠EAD＝75°，DB＝DC．
（1）求∠BDC的度数．
（2）若⊙O的半径为2，求的长．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠DAB+∠C＝180°，
∵∠EAD+∠DAB＝180°，
∴∠C＝∠EAD，
∵∠EAD＝75°，
∴∠C＝75°，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C＝75°，
∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝30°；
（2）连接OB、OC，
∵∠BDC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝60°（圆周角定理），
∵⊙O的半径为2，
∴的长是＝．
18．（2021?海陵区一模）已知：如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，∠ACD＝60°，给出下列信息：
①∠ADC＝50°；②AB是⊙O的直径；③∠CEB＝100°．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论．你选择的条件是　①②　，结论是　③　（只要填写序号）．判断此命题是否正确，并说明理由；
（2）在（1）的情况下，若AD＝2，求的长度．
【解析】解：（1）条件为①②，结论为③，结论正确，理由如下：
连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADC＝50°＝∠ABC，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
∴∠CEB＝∠BAC+∠ACD＝40°+60°＝100°；
故答案为：①②，③；
（2）连接OD，BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵∠ABD＝∠ACD＝60°，AD＝2，
∴AB＝＝＝4，
∴OA＝AB＝2，
又∵∠AOD＝2∠ABD＝2×60°＝120°，
∴的长度为＝．
19．（2019秋?青龙县期末）如图，⊙O的直径AB＝16，半径OC⊥AB，D为上一动点（不包括B，C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E，F．
（1）求EF的长．
（2）若点E为OC的中点，
①求劣弧CD的长度；
②若点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值．
【解析】解：（1）如图，连接OD，
∵⊙O的直径AB＝16，
∴圆的半径为16÷2＝8．
∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，
∴四边形OFDE是矩形，
∴EF＝OD＝8．
（2）①∵点E为OC的中点，
∴，
∴∠EDO＝30°，
∴∠DOE＝60°，
∴劣弧CD的长度为．
②延长CO交⊙O于点G，连接DG交AB于点P，
则PC+PD的最小值为DG．
∵，，
∴，
∴PC+PD的最小值为．
20．（2020春?朝阳区校级月考）如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，＝，BE分别交AD、AC于点F、G．
（1）证明：FA＝FB；
（2）若BD＝DO＝2，求的长度．
【解析】（1）证明：∵BC
是⊙O
的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠AGB＝90°；
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD＝90°；
∵＝，
∴∠C＝∠ABE，
∴∠AGB＝∠CAD，
∵∠C＝∠BAD
∴∠BAD＝∠ABE
∴FA＝FB．
（2）解：如图，连接AO、EO，
，
∵BD＝DO＝2，AD⊥BC，
∴AB＝AO，
∵AO＝BO，
∴AB＝AO＝BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵＝，
∴∠AOE＝60°，
∴∠EOC＝60°，
∴的长度＝＝π．
21．（2020秋?东莞市期末）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积．
【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，
又∵OC为半径，
∴AE＝ED，
（2）解：连接CD，OD，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝∠OCB+∠ABC＝60°，
∵OC⊥AD，
∴＝，
∴∠COD＝∠AOC＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵AB＝6，
∴BD＝3，AD＝3，
∵OA＝OB，AE＝ED，
∴OE＝＝，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣×＝3π﹣．
22．（2020秋?海曙区校级期中）已知：如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°．
（1）求∠EBC的大小；
（2）若⊙O的半径为2．求图中阴影部分的面积．
【解析】解；（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°．
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝67.5°．
∴∠EBC＝22.5°；
（2）连接OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°．
∴AE＝BE，
∵OA＝OB，
∴OE⊥AB，
∵OA＝OB＝OE＝2，
∴S阴影＝S扇形OBE﹣S△OBE＝﹣＝﹣＝π﹣2．
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精品试卷·第
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