第1章 二次函数复习-解答题专项-2021-2022学年浙教版九年级数学上册（word版含解析）

1120140010274300第1章 二次函数复习-解答题专项
1. 已知二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象与x轴交于A、B两点（A左B右），与y轴正半轴交于点C，AB=4，OA=OC，求：二次函数的解析式．
2. （1）已知y=（m2+m） +（m﹣3）x+m2是x的二次函数，求出它的解析式．
（2）用配方法求二次函数y=﹣x2+5x﹣7的顶点坐标并求出函数的最大值或最小值．
3.已知抛物线y＝x2－mx＋m－2.
（1）求证此抛物线与x轴有两个交点；
（2）若抛物线与x轴的一个交点为(2，0)，求m的值及抛物线与x轴另一交点坐标．
4. 图①中是一座钢管混泥土系杆拱桥，桥的拱肋ACB可视为抛物线的一部分（如图②），桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋的跨度AB为200米，与AB中点O相距20米处有一高度为48米的系杆。
若相邻系杆之间的间距均为5米(不考虑系杆的粗细)，则是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半？请说明理由．
（1）求正中间系杆OC的长度
（2）若相邻系杆之间的间距均为5米（不考虑系杆的粗细），则是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半？请说明理由。
5. 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．
6.今年,在端午节前夕,三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况．（售价不低于进价）.请根据小丽提供的信息,解答小华和小明提出的问题．
认真阅读上面三位同学的对话,请根据小丽提供的信息．
（1）解答小华的问题；
（2）解答小明的问题．
7.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A（3，4），C在x轴的负半轴，抛物线y=﹣ （x﹣2）2+k过点A．
（1）求k的值；
（2）若把抛物线y=﹣ （x﹣2）2+k沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点C．试判断点B是否落在平移后的抛物线上，并说明理由．
8.如图，A(?1,?0)，B(2,??3)两点都在一次函数y1=?x+m与二次函数y2=ax2+bx?3的图象上．
(1)求m和a，b的值；
(2)请直接写出当y1>y2时，自变量x的取值范围．
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9.某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元．经市场调查表明，当售价在10元到14元之间（含10元，14元）浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为400瓶．问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润最大？最大日均毛利润为多少元？
?
10.对于上抛物体，在不计空气阻力的情况下，有如下关系式：?=v0t?12gt2，其中?（米）是上抛物体上升的高度，v0（米/秒）是上抛物体的初速度，g（米/秒2）是重力加速度，t（秒）是物体抛出后所经过的时间，如图是?与t的函数关系图．
(1)求：v0和g；
(2)几秒后，物体在离抛出点40米高的地方？
?
11.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A(4,??3)，顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点(0,?2)且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．
(1)求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；
(2)①当P点运动到A点处时，计算：PO=________，PH=________，由此发现，PO________PH（填“>”、“<”或“=”）；
②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想．
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12.某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB=L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD=?称拱高，当L和?确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型，②圆弧型．已知这座桥的跨度L=32米，拱高?=8米．
(1)如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式；
(2)如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；
(3)在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度．
13.如图，已知二次函数y=?x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A(3,?1)，点C(0,?4)，顶点为点M，过点A作AB?//?x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；
(2)若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．
14.某厂生产一种产品，每件成本18元，经调查按40元/件出售，每日可售出20件，为了增加销量，每降价2元，日销售量可增加4件．
(1)求日销售利润y和销售单价x之间的函数关系式；
(2)销售单价是多少元时，每日的利润最大，日最大利润是多少元．
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15.某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件．
(1)若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少？
(2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？
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16.市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克40元，物价部门规定其销售单价不低于进价，利润率不高于50%，经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=40时，y=120；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用200元．
(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
(3)当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
?
17.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，DE?//?AC，交AB与点E，点F在AC上，DC=DF，若BC=3，EB=4，CD=x，CF=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
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18.如图，二次函数y=ax2的图象与一次函数y=x+b的图象相交于A(?2,?2)、B两点，从点A和点B分别引平行于y轴的直线与x轴分别交于C，D两点，点P(t,?0)，为线段CD上的动
点，过点P且平行于y轴的直线与抛物线和直线分别交于R，S．
(1)求一次函数和二次函数的解析式，并求出点B的坐标；
(2)当SR=2RP时，计算线段SR的长；
(3)若线段BD上有一动点Q且其纵坐标为t+3，问是否存在t的值，使S△BRQ=15？若存在，求t的值；若不存在，说明理由．
?
19.已知如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABC0为梯形，BC?//?A0，四个顶点坐标分别为A(4,?0)，B(1,?4)，C(0,?4)，O(0,?O)．一动点P从O出发以每秒1个单位长度的速度沿OA的方向向A运动；同时，动点Q从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的方向向C运动．两个动点若其中一个到达终点，另一个也随之停止．设其运动时间为t秒．
(1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
(2)当t为何值时，PB与AQ互相平分；
(3)连接PQ，设△PAQ的面积为S，探索S与t的函数关系式．求t为何值时，S有最大值？最大值是多少？
1.【答案】解： ?
?
?
∴对称轴为x=1，
设A点坐标为(m,0),B点坐标为(n,0)，
?
∵AB=4，
∴n?m=4，
∴m=?1，n=3，
∴A(?1,0)B(3,0)
∵OC=OA，
∴C(0,1)，
?
将A(?1,0)代入 ?
得0=a+2a+1，
解得 ?
即二次函数的解析式为
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】设A点坐标为(m,0)，B点坐标为(n,0)，利用函数解析式可求出抛物线的对称轴为直线x=1=，得出关于m、n的方程，结合AB=4求出m、n的值，再根据OC=OA，求出点C的坐标，然后将点A的坐标代入函数解析式，求出a的值，就可得出答案。
2.【答案】（1）解：由题意可得： ??
解①得： ??
由②得：m≠0且m≠?1，
∴m=3，
?
（2）解：y=﹣x2+5x﹣7
=﹣（x2﹣5x+ ﹣ ）﹣7
=﹣（x﹣ ）2+ ﹣7
=﹣（x﹣ ）2﹣ ． ，
顶点坐标为：（ ， ﹣ ），有最大值为：﹣
【考点】二次函数的定义，二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）根据二次函数的定义可得出自变量的最高次数=2，二次项的系数≠0，建立方程和不等式，求出m的值，就可得出函数解析式。
（2）利用配方法将二次函数的解析式转化为顶点式，即可解答。
3.【答案】（1）解：∵Δ＝(－m)2－4(m－2)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4＞0，
∴此抛物线与x轴有两个交点
（2）解：将点(2，0)代入，得4－2m＋m－2＝0，解得m＝2，
∴抛物线解析式为y＝x2－2x．
令y＝0，则x2－2x＝0， ∴x1＝0，x2＝2，
∴抛物线与x轴另一交点坐标为(0，0)
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）先求出b2-4ac的值，再将其转化为完全平方加上一个正数的形式，即可解答。
（2）将点（2,0）代入函数解析式，求出m的值，就可得出函数解析式，再由y=0，求出抛物线与x轴的交点坐标。
4.【答案】（1）∵AB=200米，与AB中点O相距20米处有一高度为48米的系杆，
∴由题意可知：B（100，0），M（20，48），
设该抛物线对应的函数关系式为：y=ax2+c，
则：,
解得：
∴y=- ? x2+50；
∴正中间系杆OC的长度为50m；
（2）设存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半，即为25米，则
25=- ? x2+50；
解得 x=±50
∵相邻系杆之间的间距均为5米，
∴每根系杆上点的横坐标均为整数，
x=±50与实际不符，∴不存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半。
【考点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）设该抛物线对应的函数关系式为：y=ax2+c，由题意可知点B、M的坐标，利用待定系数法求出函数解析式，即可得出答案。
（2）设存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半，即为25米，将y=25代入函数解析式，求出x的值，再讨论可得出答案。
5.【答案】（1）解：∵二次函数图象的顶点为A（1，-4），
∴设二次函数解析式为y=a（x-1）2-4，
把点B（3，0）代入二次函数解析式，得：
0=4a-4，解得a=1，∴二次函数解析式为y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3
（2）解：令y=0，得x2-2x-3=0，解方程，得x1=3，x2=-1.
∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（-1，0），
∴二次函数图象上的点（-1，0）向右平移1个单位后结果坐标原点.
故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标所得（4，0）
【考点】二次函数图象的几何变换，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，因此设函数解析式为顶点式，再将点B的坐标代入可解答。
（2）先由y=0，求出抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点坐标，再根据点的坐标平移规律，根据题意可解答。
6.【答案】（1）解：设定价为x元,根据题意得：
（x-2）(500- )=800?
解得x1=4??? x2=6
∵售价不能超过进价的240%
∴x≤2×240%?????? 即x≤4.8
∴x=4；
答：当定价为4元时,能实现每天800元的销售利润.
（2）解：设利润为y元
则y=（x-2）(500- )?
=－10（x－5）2＋900
由（1）知：2≤x≤4.8
由二次函数的性质知,当2≤x≤4.8时,y随x的增大而增大
∴当x=4.8时,y最大=896元
答：800元不是最大利润,当售价为每个4.8元时,利润最大为896元
【考点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设定价为x元，根据销售问题的数量关系：每一件的利润×销售量=总利润，建立方程求出其解即可。
（2）设利润为y元，根据销售问题的数量关系：每一件的利润×销售量=总利润y，表示出y与x之间的关系式，由函数式的性质就可以求出结论。
7.【答案】（1）解：∵ 经过点A（3，4），∴ ，解得：
（2）解：如图所示，设AB与y轴交于点D，则AD⊥y轴，
AD=3，OD=4， ．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=OC=5，BD=AB﹣AD=2，
∴B（﹣2，4）．
令y=0，得 ，
解得：x1=0，x2=4，
∴抛物线 与x轴交点为O（0，0）和E（4，0），OE=4，
当m=OC=5时，平移后的抛物线为 ，
令x=﹣2得， ，
∴点B在平移后的抛物线 上；
当m=CE=9时，平移后的抛物线为 ，
令x=﹣2得， ，
∴点B不在平移后的抛物线 上．
综上，当m=5时，点B在平移后的抛物线上；当m=9时，点B不在平移后的抛物线上．
【考点】二次函数图象的几何变换，二次函数图像与坐标轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式，可得出关于x的一元一次方程，解方程求出k的值。
（2）设AB与y轴交于点D，则AD⊥y轴，利用勾股定理求出OA的长，根据菱形的性质，求出点B、C的坐标，再由y=0，求出抛物线与x轴的两交点坐标，利用平移的性质，得出平移后过点C的二次函数解析式，代入点B的坐标来检验其是否在平移后的图像上，即可解答。
8.解：(1)∵y1=?x+m经过点(?1,?0)，
∴?(?1)+m=0，
∴m=?1；
∵A(?1,?0)，B(2,??3)在二次函数y2=ax2+bx?3的图象上，
∴a?b?3=04a+2b?3=?3，
解得a=1b=?2，
所以，y2=x2?2x?3，
所以，m=?1，a=1，b=?2；(2)由图可知，当y1>y2时，自变量x的取值范围?19.销售价格定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1280元．
10.解：(1)由图可知，?=v0t?12gt2的图象经过(6,?0)、(3,?45)点，
∴0=6v0?18g45=3v0?92g，
解这个方程组，得：v0=30g=10．
∴v0=30（米/秒），g=10（米/秒2）；(2)由(1)得，函数关系式是?=30t?5t2，
当?=40时，则30t?5t2=40，
解这个方程，得t1=2，t2=4，
故经过2秒或4秒的物体在离抛出点40米高的地方．
11.分别为5，5，=．
②结论：PO=PH．
理由：设点P坐标(m,??14m2+1)，
∵PH=2?(?14m2+1)=14m2+1
PO=m2+(?14m2+1)2=(14m2+1)2=14m2+1，
∴PO=PH．55=
12.解：(1)抛物线的解析式为y=ax2+c，
又∵抛物线经过点C(0,?8)和点B(16,?0)，
∴0=256a+8，a=?132．
∴抛物线的解析式为y=?132x2+8(?16≤x≤16)；(2)设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，设⊙O的半径为R，
在Rt△OBD中，OB2=OD2+DB2
∴R2=(R?8)2+162，解得R=20；(3)①在抛物线型中设点F(x,?y)在抛物线上，x=OE=16?4=12，
EF=y=3.5米；
②在圆弧型中设点F'在弧AB上，作F'E'⊥AB于E'，
OH⊥F'E'于H，则OH=D?E'=16?4=12，O?F'=R=20，
在Rt△OH?F'中，H?F'=202?122，
∵HE'=OD=OC?CD=20?8=12，E'F'=HF'?HE'=16?12=4（米）
∴在离桥的一端4米处，抛物线型桥墩高3.5米；?圆弧型桥墩高4米．
13.解：(1)把点A(3,?1)，点C(0,?4)代入二次函数y=?x2+bx+c得，
?32+3b+c=1c=4? 解得b=2c=4
∴二次函数解析式为y=?x2+2x+4，
配方得y=?(x?1)2+5，
∴点M的坐标为(1,?5)；(2)设直线AC解析式为y=kx+b，把点A(3,?1)，C(0,?4)代入得，
3k+b=1b=4?解得k=?1b=4
∴直线AC的解析式为y=?x+4，如图所示，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F
把x=1代入直线AC解析式y=?x+4解得y=3，则点E坐标为(1,?3)，点F坐标为(1,?1)
∴1<5?m<3，解得2∵MG=1，GC=5?4=1
∴MC=MG2+CG2=12+12=2，
把y=5代入y=?x+4解得x=?1，则点N坐标为(?1,?5)，
∵NG=GC，GM=GC，
∴∠NCG=∠GCM=45?，
∴∠NCM=90?，
由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90?，则点D与点C必为相似三角形对应点
①若有△PCM∽△BDC，则有MCCP=CDBD
∵BD=1，CD=3，
∴CP=MC?BDCD=2×13=23，
∵CD=DA=3，
∴∠DCA=45?，
若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，
∵∠PCH=45?，CP=23
∴PH=23÷2=13
把x=13代入y=?x+4，解得y=113，
∴P1(13,113)；
同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=?13代入y=?x+4，解得y=133
∴P2(?13,133)；
②若有△PCM∽△CDB，则有MCCP=BDCD
∴CP=2×31=32
∴PH=32÷2=3，
若点P在y轴右侧，把x=3代入y=?x+4，解得y=1；
若点P在y轴左侧，把x=?3代入y=?x+4，解得y=7
∴P3(3,?1)；P4(?3,?7)．
∴所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1(13,113)，P2(?13,133)，P3(3,?1)，P4(?3,?7)．
14.解：(1)日销售量为20+2(40?x)=100?2x（件），
∴y=(x?18)(100?2x)=?2x2+136x?1800；(2)y=?2x2+136x?1800
=?2(x2?68x+900)
=?2(x?34)2+512，
当x=34时，y有最大值=4ac?b24a=512元．
15.每天的现售价为x元时则每天销售量为(80?2x)件；(2)由题意，得
(x?20)(80?2x)=150，
解得：x1=25，x2=35．
∵x≤28，
∴x=25．
答：想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为25元．
16.当销售单价为60元时，该公司日获利最大，最大获利是1400元．
17.解：∵AB=AC，DC=DF
∴∠B=∠C=∠DFC
又∵DE?//?AC
∴∠BDE=∠C
∴△BDE∽△FCD
∴DBFC=BEFD
∴3?xy=4x
∴y=14x(3?x)=?14x2+34x
自变量x的取值范围018.解：(1)由题意知点A(?2,?2)在y=ax2的图象上，又在y=x+b的图象上
所以得2=a(?2)2和2=?2+b，
∴a=12，b=4．
∴一次函数的解析式为y=x+4．
二次函数的解析式为y=12x2．
由y=x+4y=12x2，
解得x=?2y=2或x=4y=8，
所以B点的坐标为(4,?8)．
(2)因过点P(t,?0)且平行于y轴的直线为x=t，
x=ty=x+4得x=ty=t+4，
所以点S的坐标(t,?t+4)．
由x=ty=12x2得x=ty=12t2，
所以点R的坐标(t,?12t2)．
所以SR=t+4?12t2，RP=12t2．
由SR=2RP得t+4?12t2=2×12t2，
解得t=?43或t=2．
因点P(t,?0)为线段CD上的动点，
所以?2≤t≤4，
所以t=?43或t=2
当t=2时，SR=2+4?12×22=4
所以线段SR的长为169或4．(3)存在符合题意的t．
因BQ=8?(t+3)=5?t，点R到直线BD的距离为4?t，
所以S△BRQ=12(5?t)(4?t)=15．
解得t=?1或t=10．
因为?2≤t≤4，
所以t=?1．
19.答案：解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，代入A、B、C三点，得
16a+4b+c=0a+b+c=4c=4
解得：a=?13b=13c=4
∴y=?13x2+13x+4．(2)∵使得PB与AQ互相平分，
∴四边形BQPA是平行四边形，
∴BQ=PA，
∴2t?5=4?t，
解得：t=3．
(3)由已知得AB=5，CB=1．
①当0设P(xP,?0)，Q(xQ,?yQ)，∠OAB=θ，sinθ=45，
∴S△PAQ=12?yQ?(4?xp)，
∵yQ=2t?sinθ=85t,xP=t，
∴S△PAQ=12?85t?(4?t)=45(4t?t2)，
∴当t=2时，S△PAQ有最大值为165．
②当52≤t≤3时，点Q在线段BC上运动，则S△PAQ=12?4?(4?t)=8?2t
∴当t=52时，S△PAQ有最大值为3．
∴综上所述，当t=2时，S△PAQ有最大值为165．